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1、方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点邯邯郸郸市市荀荀子子中中学学-胡胡明明“巍巍深山藏古寺，巍巍深山藏古寺，寺内不知几多僧，寺内不知几多僧，寺内有碗三百六十四，寺内有碗三百六十四，看看用尽不差争。看看用尽不差争。三僧共用一碗饭，三僧共用一碗饭，四僧同用一碗羹。四僧同用一碗羹。寺中僧人有几何？寺中僧人有几何？”问题问题1 1+=364,x=624设有设有x个僧人个僧人我国古代数学家已比较我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公的求解的问题。如约公元元50年年100年编成的年编成的九章算术，就给出九章算术，就给出了求一次方程、二次方了求一次方程、二次方程
2、和三次方程根的具体程和三次方程根的具体方法方法花拉子米花拉子米(约约780780约约850)850)给出了一次方程和二次方给出了一次方程和二次方程的一般解法。程的一般解法。阿贝尔阿贝尔(1802(18021829)1829)证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程没有求根公式。方程解法史话方程解法史话:方程方程x22x+1=0 x22x+3=0f(x)=x22x3f(x)=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x
3、3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112f(x)=x22x+3问题问题2 2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并写出函数图象与应的二次函数图象，并写出函数图象与x x轴交点的轴交点的坐标。坐标。方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,
4、0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2问题问题3 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与次方程及相应的二次函数的图象与x x轴交点的关系，上述结轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？论是否仍然成立？结论：结论：二次函数二次函数ax2+bx+c=0(a0)图象与图象与x x轴交点的轴交点的横坐标就是相应方程横坐标就是相应方程f(x)=ax2+bx+c(a0)的的实数根。实数根。推广：推广：函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点和相应的方程轴交点和相应的方程f(x)=
5、0f(x)=0的根有何关系呢？的根有何关系呢？结论结论:函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标就是方程就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根。的实数根。对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做叫做函数函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点。函数零点的定义：函数零点的定义：注：注：（1 1）函数零点是一个实数，不是一个点坐标；）函数零点是一个实数，不是一个点坐标；（2 2）函数的零点也就是函数图象与）函数的零点也就是函数图象与x x轴交点轴交点 的横坐标；的横坐标；（3 3）求零
6、点就是求方程）求零点就是求方程f(x)=0的实数根。的实数根。方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系等价关系1.1.观察下面函数观察下面函数观察下面函数观察下面函数y=f(x)图象：图象：图象：图象：哪个哪个哪个哪个函数在区间函数在区间(a,b)内内有零点？有零点？练习：练习：2.2.函数函数 的零点是的零点是:（）A.A.（-1-1，0 0），（），（3 3，0 0）；）；B Bx=-1x=-1；C C x=3 x=3；D D-1-1和和3 3 练习：练习：D示例练习示例练
7、习1.1.求下列函数的零点求下列函数的零点（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）2 22,30无零点无零点2.函数函数 有一个零点为有一个零点为 ，则则 ()()A.0 B.10 A.0 B.10 C.-3 D.C.-3 D.由由m m而定的其他常数而定的其他常数A小结：求函数零点的方法：小结：求函数零点的方法：代数法代数法图象法图象法问题问题4：函数函数y=f(x)在某个区间上是否一定有零点？在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数怎样的条件下，函数y=f(x)一定有零点？一定有零点？0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究探究(1)观察二次函数观察二次函数 的图象
8、：的图象：1.1.在区间在区间 上有零点上有零点_；_0 _0（或）（或）.2.2.在区间在区间 上有零点上有零点_；_0 _0（或）（或）-13（2）观察下面函数）观察下面函数y=f(x)图象图象1.1.在区间在区间 上上_(_(有有/无无)零点；零点；_0 _0（或）（或）2.2.在区间在区间 上上_(_(有有/无无)零点；零点；_0 _0（或（或)有有有有(3)(3)观察下面函数观察下面函数观察下面函数观察下面函数y=f(x)图象：图象：图象：图象：哪个哪个哪个哪个函数在区间函数在区间(a,b)内内有有零点？零点？满足什么条件函数满足什么条件函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内必
9、有必有零点？零点？结论结论:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，的一条曲线，并且有并且有f(a)f(b)0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，内有零点，即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就也就是方程是方程f(x)=0的根。的根。函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，且的一条曲线，且f(a)f(b)0函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点试一试：试一试：1.对于定义在对于定义在R上的函数上的函数y=f(x),若若
10、f(a).f(b)0(a,b R,且且ab),则函数则函数y=f(x)在在(a,b)内（内（）A.只有一个零点只有一个零点 B.至少有一个零点至少有一个零点C.无零点无零点 D.无法确定有无零点无法确定有无零点B例题解析例题解析：画出函数画出函数 的图象，判断函的图象，判断函 数在以下区间（数在以下区间（-1.5-1.5，-1-1），（），（0 0，0.50.5），），（0.80.8，1.51.5）内有无零点，并判断零点的个数。）内有无零点，并判断零点的个数。试一试：试一试：2.已知函数已知函数 ，问方程，问方程 在区间在区间-1,0内有没有实数内有没有实数根？为什么？根？为什么？试一试：试一
11、试：3.函数函数 在（在（-1，1）上存）上存在在 ，使，使 ，则，则a的取值范围是（的取值范围是（）A.-1a C.a D.a-1C 4.若方程若方程 在在R内恰有一解，内恰有一解，则则a的取值情况是的取值情况是（）A.a-1 B.a=C.-1a1 D.0 a1B5.若方程若方程 在（在（0，1）内恰有一）内恰有一 解，则解，则a的取值范围是（的取值范围是（）A.a1 C.-1a1 D.0 a1B1 1、函数、函数y=f(x)y=f(x)的零点的定义。的零点的定义。2 2、三个等价关系。三个等价关系。3 3、函数、函数y=f(x)y=f(x)的零点存在性的判定。的零点存在性的判定。小结小结布置作业：布置作业：P P8888 练习练习 第第1 1题题 第第2 2题题函数零点方程根，函数零点方程根，形数本是同根生。形数本是同根生。函数零点端点判，函数零点端点判，图象连续不能忘。图象连续不能忘。谢谢谢谢！再再再再见见见见