函数及函数的合成.ppt

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1、第第6章章 函数函数基础上讨论无限集和基数。基础上讨论无限集和基数。函数、映射等术语是同义词，函数、映射等术语是同义词，函数概念是基本的数学概念之一函数概念是基本的数学概念之一,也是最重要的数学工具。也是最重要的数学工具。本章把函数看作一种特殊的关系本章把函数看作一种特殊的关系对其进行讨论对其进行讨论,扼要的介绍函数的扼要的介绍函数的基本概念和性质基本概念和性质,并在函数概念并在函数概念的的6.1 函数及函数的合成函数及函数的合成6.1.1 函数的基本概念函数的基本概念定义定义 设设X和和Y是集合，是集合，如果如果f是是X到到Y的关系的关系,且对每一个且对每一个xX，都有唯一的都有唯一的yY，

2、使得，使得f,则称关系则称关系f 为函数，记作为函数，记作如果如果f，则，则x称为自变量，称为自变量，y称为在称为在f作用下作用下x的像的像(或或f在在x处的处的函数值函数值)。一般用一般用y=f(x)表示表示f。例例 设设X=a,b,c,张三张三，Y=1,2,5,4,李四李四，f=,则则f是从是从X到到Y的函数。的函数。函数函数f的定义域的定义域Dom(f)=X函数函数f的值域的值域Ran(f)=1,2,李四李四,5f(a)=1,f(b)=李四李四,f(c)=5,f(张三张三)=2由定义可以看出，由定义可以看出，函数是特殊的关系，函数是特殊的关系，它与关系的区别：它与关系的区别：函数的定义域

3、必须等于函数的定义域必须等于X，而关系的定义域可以是而关系的定义域可以是X的某个的某个真子集。真子集。函数中一个函数中一个x只能对应一个只能对应一个y，而关系中一个而关系中一个x可对应多个不同可对应多个不同y所以，函数一定是关系，所以，函数一定是关系，但关系不一定是函数。但关系不一定是函数。例例 判断以下各关系判断以下各关系f是否为函数是否为函数?(1)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,ef=,(2)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,ef=,(3)X=1,2,3,4,5，Y=a,b,c,d,ef=,(4)f=|x,yN且且x+y10(5)f=|x,yR且且y2=x(6)X,

4、Y为实数集，为实数集，f=x2-x(7)X,Y为实数集，为实数集，解：根据函数定义判断，解：根据函数定义判断，(1),(6),(7)中中 f是函数；是函数；其余不是函数其余不是函数.定义定义 设函数设函数 如果如果,且对于所有且对于所有 有有，则称函数，则称函数f和和g相等相等记作记作 例例 设设A,B都是有限集都是有限集,|A|=m,|B|=n,则从则从A到到B共有多少种不同的关系共有多少种不同的关系?多少种不同的函数？多少种不同的函数？解：解：，则，则有有种子集，所以种子集，所以A到到B就有就有 种不种不同关系同关系。因为从因为从A到到B的任一函数的任一函数f，其定义域为其定义域为A,故故

5、f中应有中应有m个序偶个序偶;对于任意对于任意xA，可以对应，可以对应Y的的n个个元素中的任一个。元素中的任一个。因此从因此从A到到B共有共有个不同函数个不同函数。例例 设设A是有限集是有限集,|A|=3，则，则(1)A到到A可定义不同的函数个数为可定义不同的函数个数为33种。种。(2)AA到到A可定义不同的函数个可定义不同的函数个数为数为39 种。种。定义定义 设设A,B为集合，为集合，所有从所有从A到到B的函数构成集合的函数构成集合BA，读作读作“B上上A”。即。即 例例 设设A=a,b,c，B=0,1，求，求BA。解：从解：从A到到B共有共有23=8个不同函数个不同函数故故BA=f1,f

6、2,f3,f4,f5,f6,f7,f8，其中其中f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,6.1.2 特殊函数特殊函数定义定义 设函数设函数(1)对任意对任意x1,x2X,当当x1x2时时,必有必有f(x1)f(x2)，或者或者f(x1)f(x2)时必有时必有x1x2，则称则称f是单射的是单射的(一对一映射一对一映射)。(2)对任意对任意yY,均有均有xX,使使y=f(x)，即，即Ran(f)=Y，则称则称f是满射的。是满射的。(3)若若f既是单射又是满射，既是单射又是满射，则称则称f是双射的是双射的(一一对应映射一一对应映射)。单射满射双射例例 设有函数设有函数 判断判

7、断f是单射、满射还是双射？是单射、满射还是双射？(1)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,(2)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,(3)X=a,b,c,Y=1,2,3,4，f=,(4)X=a,b,c,d,Y=1,2,3，f=,(5)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,解：解：(1)是双射；是双射；(2)因为函数定义域不是因为函数定义域不是X，故故f不是函数；不是函数；(3)f是单射而不是满射；是单射而不是满射；(4)f是满射而不是单射；是满射而不是单射；(5)f是函数，但既不是单射也不是函数，但既不是单射也不是满射。是满射。定义定义 设有函数设有函数 如果存在某

8、个如果存在某个y0Y，对于每个对于每个xX都有都有f(x)=y0，则则f称为常值函数。称为常值函数。定义定义 设有函数设有函数 如果对于每个如果对于每个xX都有都有IX(x)=x，即即IX=|xX，则则IX称为恒等函数。称为恒等函数。例例 设有函数设有函数 判断判断f是常值函数还是恒等函数？是常值函数还是恒等函数？(1)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,(2)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,(3)X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,解：解：(1)不是常值函数，不是恒等函不是常值函数，不是恒等函数数(2)常值函数常值函数(3)恒等函数恒等函数6.1.3 逆函数

9、逆函数一般说，一个关系的逆关系总是一般说，一个关系的逆关系总是存在的，但是一个函数的逆函数存在的，但是一个函数的逆函数未必总是存在的未必总是存在的,下面的定理说明下面的定理说明一个函数存在逆函数的充分必要一个函数存在逆函数的充分必要条件。条件。定理定理 设设 是一双射函数，是一双射函数，则其逆关系则其逆关系f 1为从为从Y到到X的双射的双射函数。函数。证明：因为证明：因为f是满射，是满射，所以对每一个所以对每一个yY，均有均有xX使得使得f(x)=y，从而从而f 1，则表明则表明f1的定义域为的定义域为Y。又又f是单射是单射,所以对每一个所以对每一个yY，恰有一个恰有一个xX使得使得f(x)=

10、y，即仅有一个即仅有一个xX使得使得f1即即y对应唯一的对应唯一的x。综上两点逆关系综上两点逆关系f1是函数。是函数。再证再证f1是双射。是双射。因为因为Dom(f1)=Ran(f)=Y，所以所以f1是满射函数。是满射函数。反证法证明反证法证明f1是单射。是单射。假设假设y1y2时有时有f1(y1)f1(y2)。因为因为f1(y1)x1,f1(y2)x2，所以所以x1x2根据根据f是双射，是双射，应有应有f(x1)f(x2)，则，则y1y2，与已知矛盾，假设不成立，与已知矛盾，假设不成立，所以所以f1是单射是单射.综上综上f1是双射。是双射。定义定义 设设 是一双射函数，是一双射函数，则称其逆

11、关系则称其逆关系f1为为f的逆函数，的逆函数，并称并称f是可逆的。是可逆的。例例 设设X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4，f=,g=,判断判断f,g是否可逆，是否可逆，若可逆则求其逆函数。若可逆则求其逆函数。解：解：f是可逆是可逆f1=,g不可逆不可逆显然，显然，若若 是可逆函数，是可逆函数，则则(f1)1=f 6.1.4 复合函数复合函数定义定义 设设 是两个函数，则称其复合关系是两个函数，则称其复合关系 为复合函数，记作为复合函数，记作 注意：复合函数的写法注意：复合函数的写法 相当于复合关系相当于复合关系 根据复合函数定义有根据复合函数定义有 函数函数f和和g复合的示意图如下：复合的

12、示意图如下：XYZfgXZ例例 设设X=a,b,c,d,Y=1,2,3,4,Z=a,b,c，并有，并有 f=,g=,，求复合函数求复合函数 解：解：=,函数与自己复合运算时，函数与自己复合运算时，即是函数的幂运算。即是函数的幂运算。函数幂运算遵循以下规则：函数幂运算遵循以下规则：f 0(x)x，即，即f 0IXf n+1(x)f(f n(x)f n(f(x)定理定理 设设 是两个函数，那么是两个函数，那么 (1)若若f,g均是满射，则均是满射，则 g f也是满射也是满射(2)若若f,g均是单射，则均是单射，则 g f也是单射也是单射(3)若若f,g均是双射，则均是双射，则 g f也是双射也是双

13、射定理定理 设设 是函数，是函数，且且IX是是X上的恒等函数，上的恒等函数，IY是是Y上上的恒等函数，则有的恒等函数，则有 定理定理 设设 是两个一一对应函数函数，是两个一一对应函数函数，则则证明：令证明：令z为为Z集合的任意元素，集合的任意元素，因因g是双射是双射,故必存在唯一元素故必存在唯一元素yY使得使得g(y)=z，又，又f也是双射也是双射故必存在唯一元素故必存在唯一元素xX使使f(x)=y因此因此 g 1(z)=y,f 1(y)=x，则有，则有 有有 则有则有 因此因此 例例 设设A=-2,-1,0,B=-2,-1,0,1,2C=0,1,2,3,4且函数且函数f:AB,y=f(x)=

14、x2-2函数函数g:B C,z=g(y)=y2试求复合函数试求复合函数gof(x)及各函数值。及各函数值。解：由复合函数定义可得解：由复合函数定义可得gof(x)=g(f(x)=(x2-2)2故故gof(-2)=(4-2)2=4故故gof(-1)=(1-2)2=1故故gof(0)=(0-2)2=4例例 设设X=0,1,2,在在XX中找出满足中找出满足下列条件的函数下列条件的函数(1)f2(x)=f(x)(2)f2(x)=x(3)f3(x)=x解：由复合函数定义可得解：由复合函数定义可得(1)f2(x)=f(x)f2(x)=f(f(x)=f(x)=f(y)=y即即f(x)=x故故f=(0,0),

15、(1,1),(2,2)(2)f2(x)=x因为因为 f2(0)=0f2(1)=1f2(2)=2故令故令 f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0故故f=(0,2),(1,1),(2,0)(3)f3(x)=x因为因为 f3(0)=0f3(1)=1f3(2)=2故令故令 f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0故故f=(0,1),(1,2),(2,0)设设 f:RZ，f(x)=x 称为底函数，称为底函数，表示小于或等于表示小于或等于x的最大整数。的最大整数。设设 f:RZ，f(x)=x 称为顶函数，称为顶函数，表示大于或等于表示大于或等于x的最小整数。的最小整数。例如例如 3.1=4 0.5=1

16、0.5=0-0.5=-1 3.1=3例例 存在计算机磁盘上的数据或数存在计算机磁盘上的数据或数据网络上传输的数据通常表示为字据网络上传输的数据通常表示为字节串。每个字节由节串。每个字节由8个字位组成，个字位组成，要表示要表示100字位数据需要多少字节字位数据需要多少字节解：要决定需要的字节数，就要解：要决定需要的字节数，就要找出这样的最小整数找出这样的最小整数:它至少要与它至少要与100除以除以8的商一样大，的商一样大，8是每个字是每个字节的字位数。故需要字节数为节的字位数。故需要字节数为 100 8=12.8=13例例 设设A,B是集合，是集合，求求A到到B可定义多少个单射函数？可定义多少个单射函数？B到到A可定义多少个满射函数？可定义多少个满射函数？B到到B可定义多少个双射函数？可定义多少个双射函数？解解A到到B可定义单射函数个数为可定义单射函数个数为B到到A可定义满射函数个数为可定义满射函数个数为B到到B可定义双射函数个数为可定义双射函数个数为例例 设设f是是A到到B的函数，的函数，g是是B到到C的函数，的函数，gof是是A到到C的复合函数，的复合函数，则则gof是单射函数时，是单射函数时，f必须是单射必须是单射gof是满射函数时，是满射函数时，g必须是满射必须是满射gof是双射函数时，是双射函数时，f必须是单射必须是单射g必须是满射必须是满射