函数误差与误差合成.ppt

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1、第,5,章,函数误差与误差合成,知识点和教学目标,?,函数系统误差,?,函数随机误差,?,误差分布的模拟计算,?,误差合成,?,误差分配,?,微小误差取舍准则,?,最佳测量方案,第一节,函数误差,误差传递,?,当要测量截球体的体积时,，最方便的方法是先测量,圆截面的直径,d,和高度,h,，,在按下式计算体积,V,2,3,2,4,3,hd,h,V,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,如果在直接测得值,d,和,h,中含有误差,d,和,h,，则由,V,=,f,(,h,，,d,),计算出的体积,V,中，也,必然会有误差,V,，而且与,d,和,h,之间,也有一定的函数关系,这就是误差传递。,误差的合

2、成与分配,?,由两个（如,h,d,）或多个误差值合并成,一个误差值（如,V,），叫作,误差的合成,。,?,它是间接测量计算误差的基本方法。,?,反过来如上例中已知对,V,的要求，进而要,确定具体测量时对,h,和,d,的要求，这就,是,误差的分配,或误差的分解。,?,它是设计仪器和装置时不可缺少的步骤，,即从仪器总的精度要求出发，确定仪器各,个组成部分和环节（包括零件、部件和装,调等）的精度要求。,函数误差,?,间接测量,?,通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算,出被测量,?,间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的,函数,?,函数误差,?,间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的

3、函,数，故称这种间接测量的误差为,函数误差,?,研究函数误差的内容，实质上就是研究误差,的传递问题。而对于这种具有确定关系的误,差计算，也有称之为,误差合成,。,间接测量数学模型,?,某类间接测量的数学模型（显函数）,?,与被测量有函数关系的各个直接测,量值及其他非测量值，又称,输入量,?,y,间接测量值,又称,输出量,1,2,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,1,2,n,x,x,x,K,),(,2,1,N,X,X,X,f,Y,?,?,被测量,Y,的最佳估计值,?,重复测量时，被测量,Y,的最佳估计值,y,，可以有以下两,种方法获得：,?,第一种方法,?,第二种方法,?,第一种方法适用于

4、输入量彼此相关，输入量受环境,条件在内的影响量的影响,?,第二种方法适用于输入量不相关，且不受环境条件,的影响，或环境条件发生变化时做了适当的修正,?,以上两种方法，当,f,是输入量,X,i,的线性函数时，它们,的结果相同。但当,f,是,X,i,的非线性函数时，应采用第一,种的计算方法。,1,2,1,1,1,1,(,),n,n,i,k,k,Nk,k,k,y,y,y,f,x,x,x,n,n,?,?,?,?,?,?,?,L,1,2,(,),N,y,f,x,x,x,?,L,一、函数系统误差计算,函数系统误差公式,?,由高等数学可知，对于多元函数，其增量可,用函数的全微分表示，则函数增量,?,各个,直

5、接测得值的系统误差,由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分,量,1,2,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,1,2,1,2,.,n,n,f,f,f,dy,dx,dx,dx,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,x,x,x,?,?,?,2,1,?,1,2,n,dx,dx,dx,L,函数系统误差,的近似计算公式,y,?,1,2,1,2,.,n,n,f,f,f,y,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,为各个输入量在该测量,点,处的误差传播系数,(,1,2,),i,f,x,i,n,?,?,?,L,1,2,(,),n,x,x,x,K,

6、?,和,的量纲或单位相同，则,起到误差放大或缩小的作用,i,x,?,y,?,i,f,x,?,?,?,和,的量纲或单位不相同，则,起到误差单位换算的作用,i,x,?,y,?,i,f,x,?,?,函数系统误差的计算,?,直接测得值的系统误差,?,对直接测得值进行修正，得到,?,被测量的近似真值,?,系统误差,n,x,x,x,?,?,?,2,1,?,10,1,1,20,2,2,0,n,n,n,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,0,10,20,0,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,0,1,2,10,20,0,(,.,),(,.,),n,n,y,y,y,f

7、,x,x,x,f,x,x,x,?,?,?,?,?,1,2,1,2,.,n,n,f,f,f,y,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,函数系统误差的计算,?,?,1,2,n,i,i,f,f,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,L,L,0,10,20,0,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,0,1,2,10,20,0,(,.,),(,.,),n,n,y,y,y,f,x,x,x,f,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,1,1,2,2,n,n,f,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,L,i,i,f,y,x,x,?,?,?,?

8、,?,?,?,L,常见函数的系统误差计算,?,若函数形式为线性公式,?,函数的系统误差为,?,式中的各误差传播系数,a,i,为常数。,?,当,a,i,=1,时，则有,?,函数为各个测得值的和时，其函数系统误,差亦为各测得值系统误差之和。,1,1,2,2,.,n,n,y,a,x,a,x,a,x,?,?,?,?,1,1,2,2,.,n,n,y,a,x,a,x,a,x,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,.,n,y,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,常见函数的系统误差计算,?,在间接测量中，也常遇到角度测量，其函,数关系为三角函数式，它常以,、,、,等形式出现。,?,若三角函数为,?,

9、可得三角函数的系统误差为,?,在角度测量中，需要求得的误差不是三角,函数误差，而是所求角度的误差。,?,?,1,2,sin,.,n,f,x,x,x,?,?,1,2,1,2,sin,.,n,n,f,f,f,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin,?,cos,?,tan,?,常见函数的系统误差计算,?,对正弦函数微分得,?,用系统误差代替相应的微分量，则有,?,正弦函数的角度系统误差公式为,sin,cos,d,d,?,?,?,?,sin,cos,d,d,?,?,?,?,sin,cos,?,?,?,?,?,?,1,1,cos,n,i,i,i,f,x

10、,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,【例】,用弓高弦长法间接测量大工件直径。,如图所示，车间工人用一把卡尺量得,弓高,，弦长,，工厂,检验部门又用高准确度等级的卡尺量,得弓高,，弦长,试问,车间工人测量该工件直径的系统误差，,并求修正后的测量结果。,50mm,h,?,500mm,l,?,50.1mm,h,?,499mm,l,?,【解】,建立间接测量大工件直径的函数模型,2,4,l,D,h,h,?,?,D,2,l,h,2,2,0,500,50,1300mm,4,4,50,l,D,h,h,?,?,?,?,?,?,不考虑测量值的系统误差，可求出在,处的直径测量值,500mm,l,?,50mm,

11、h,?,车间工人测量弓高,、弦长,的系统误差,h,l,50,50.1,0.1mm,h,?,?,?,?,?,500,499,1mm,l,?,?,?,?,直径的系统误差,5,1,24,(,0.1),7.4mm,f,f,D,l,h,l,h,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,500,5,2,2,50,f,l,l,h,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,500,1,1,24,4,4,50,f,l,h,h,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,故修正后的测量结果,0,1300,7.4,1292.6mm,D,D,D,?,?,

12、?,?,?,?,计算结果,误差传播系数为,2,(,),4,l,D,f,l,h,h,h,?,?,?,若,直接,用,h=50.1,和,L=499,计算得：,1292.62,mm,。,?,以上讲的都是恒定系统误差，对于可变系,统误差，其合成非常复杂，往往难以计算,，故宜在合成前做修正或消除。,?,至于复杂规律变化的系统误差，按传统习,惯是当作随机误差来处理。,二、函数随机误差计算,二、函数随机误差计算,?,随机误差常用表征其取值分散程度的标,准偏差来评定，对于函数的随机误差，,也可用函数的标准偏差来评定。,?,因此，函数随机误差计算的一个基本问,题就是研究函数,的标准偏差与各测量,值,的标准偏差之间

13、的关系。,y,n,x,x,x,.,2,1,1,2,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,变量中有随机误差，即,泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得,函数的一般形式（显函数）,1,1,2,2,(,),n,n,y,y,f,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,2,1,2,1,2,(,.,),n,n,n,f,f,f,y,y,f,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,得到,1,2,1,2,n,n,f,f,f,y,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,数学模型

14、,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,1,2,2,n,y,x,x,xn,ij,i,j,n,i,j,f,f,f,f,f,D,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,1,2,2,n,y,x,x,xn,ij,xi,xj,i,j,n,i,j,f,f,f,f,f,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

15、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,或,?,第,i,个直接测得量,的标准偏差,xi,?,i,x,?,第,i,个测量值和第,j,个测量值之间的相关系数,ij,?,?,第,i,个测量值和第,j,个测量值之间的协方差,ij,ij,xi,xj,D,?,?,?,?,?,第,i,个直接测得量,对间接量,在该测量点,处的误差传播系数,i,f,x,?,?,i,x,y,1,2,(,),n,x,x,x,K,1,、,函数标准偏差计算公式,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,y,x,x,xn,n,f,f,f,x,x,x,?,?,?,?,?,?,

16、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,y,x,x,xn,n,f,f,f,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,或,0,ij,ij,D,?,?,?,相互独立的函数标准偏差计算,若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项,i,i,f,a,x,?,?,?,令,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,y,x,x,n,xn,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,L,三角形式的函数随机误差

17、公式,函数形式为,1,2,sin,(,.,),n,f,x,x,x,?,?,函数随机误差公式为,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,cos,x,x,xn,n,f,f,f,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,例,用千分尺直接测量圆柱体的直径,d,和高度,h,（,d,和,h,的基本尺寸,均为,10mm,）各,6,次，测得值列于下表，求圆柱体体积,V,及标,准偏差。,直径,d,10.085,10.085,10.090,10.080,10.085,10.080,高度,h,10.10

18、5,10.115,10.115,10.110,10.110,10.105,解,：,mm,h,mm,d,110,.,10,;,084,.,10,?,?,3,2,2,4,.,807,4,110,.,10,084,.,10,1416,.,3,4,mm,h,d,V,?,?,?,?,?,?,按贝塞尔式计算,和,的标准偏差分别为,d,h,m,s,m,s,h,d,?,?,8,.,1,82,.,1,;,5,.,1,54,.,1,?,?,?,?,2,2,2,2,(,),(,),(,),V,V,s,V,s,d,s,h,d,h,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,.,15

19、7,2,10,10,2,mm,dh,d,V,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,6,.,78,4,10,4,mm,d,h,V,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,2,2,2,27,.,0,0018,.,0,6,.,78,0015,.,0,1,.,157,),(,mm,V,s,c,?,?,?,?,?,例,直径,d,10.085,10.085,10.090,10.080,10.085,10.080,高度,h,10.105,10.115,10.115,10.110,10.110,10.105,V,807.194,807.993,808.794,806.793,807.593,806.

20、394,?,?,2,3,1,1,(,),0.87,1,N,i,i,s,V,V,V,mm,N,?,?,?,?,?,?,3,0.87,(,),0.36,6,s,V,mm,?,?,【例】,用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得,弓高,，弦长,，工厂检验部门又用高准确度等级,的卡尺量得弓高,，弦长,。已知车间工人测量,该工件弓高的标准偏差,，弦长的标准偏,差,，试求测量该工件直径的标准偏差，并求修正后,的测量结果。,50mm,h,?,500mm,l,?,50.1mm,h,?,499mm,l,?,【解】,0.005mm,h,?,?,0.01mm,l,?,?,2,2,2,2,2,2,2,2

21、,2,4,(,),(,),5,0.01,24,0.005,169,10,mm,D,l,h,f,f,l,h,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0.13mm,D,?,?,有,故修正后的测量结果,0,1292.6mm,D,D,D,?,?,?,?,0.13mm,D,?,?,函数的极限误差公式,当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标,准偏差用极限误差代替，可得函数的极限误差公,式,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,y,x,x,n,xn,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,L,?,第,i,个直接测得量,的极限误差,xi,?,i,x,1,1,x,p,x,xn,p

22、,xn,k,k,?,?,?,?,?,?,M,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,2,x,x,x,y,n,p,p,p,a,a,a,k,k,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,例,1,1,2,2,1,p,n,n,p,n,i,i,p,x,p,p,x,p,x,p,x,x,p,x,x,?,?,?,?,?,?,?,L,令有,，,求加权平均值,的标准偏差,和各,的关系。,1,2,1,2,1,1,1,=,=,=,p,p,p,n,n,n,n,n,i,i,i,i,i,i,x,x,x,p,p,p,x,x,x,p,

23、p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,1,1,p,n,n,x,x,x,x,n,n,n,i,i,i,i,i,i,p,p,p,p,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,1,1,p,n,n,x,x,x,x,n,n,n,i,i,i,i,i,i,p,p,p,p,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

24、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,?,?,1,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,1,1,p,n,x,x,x,n,x,n,i,i,p,p,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,?,?,2,2,2,1,2,2,1,1,p,x,n,n,i,i,p,p,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,p,x,n,i,i,p,?,?,?,?,?,2,、,相关系数估计,相关系数对函数误差的影响,2,2,2,2,2,2,2,1,2,

25、1,1,2,2,n,y,x,x,xn,ij,xi,xj,i,j,n,i,j,f,f,f,f,f,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,?,反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响,2,2,2,2,2,2,1,1,2,2,y,x,x,n,xn,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,1,2,2,y,x,x,n,xn,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,L,0,ij,?,?,1

26、,ij,?,?,?,?,函数标准偏差与各随机误差分量标准偏差之间具有正线性叠加的传播,关系,?,思考：,以两个自变量情形，讨论相关系数分别为,0,、,-1,、,+1,的误差传播关系,函数随机误差公式,ij,?,当相关系数,当相关系数,相关系数的确定直接判断法,可判断,的情形,0,ij,?,?,?,断定,与,两分量之间没有相互依赖关系的影响,i,x,j,x,?,当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负,交替变化，反之亦然,?,与,属于完全不相干的两类体系分量，如人员,操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量,i,x,j,x,?,与,虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽,略不计的弱相关,i,x

27、,j,x,相关系数的确定直接判断法,可判断,或,的情形,?,可断定,与,两分量间近似呈现正的线性关,系或负的线性关系,i,x,j,x,?,当一个分量依次增大时，引起另一个分量依,次增大或减小，反之亦然,?,与,属于同一体系的分量，如用,1m,基准,尺测,2m,尺，则各米分量间完全正相关,i,x,j,x,1,ij,?,?,?,1,ij,?,?,?,相关系数的统计计算与实验估计,2,2,(,)(,),(,),(,),(,),ik,i,jk,j,k,i,j,ik,i,jk,j,k,k,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,根据,的多组测量的对应值,，按如,下统计

28、公式计算相关系数,(,),i,j,x,x,?,?,ik,jk,x,x,),(,),(,),(,j,xj,i,xi,j,i,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,3,、,函数误差分布的模拟计算,随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征,1,2,(,.,),n,y,f,x,x,x,?,1,(,),p,x,2,(,),p,x,(,),n,p,x,分布密度函数,(,),p,y,解析方法,难以求得,计算机数值仿真计算,计算机随机模拟法的步骤,输入各输入量,及其算术平均值,和标,准偏差,产生各种所需误差分布的大样本,伪随机数,，并绘制,其统计直方图（,伪随机数产生：线性同余法、变换法、,中心极限定理法

29、等,),按函数测量模型公式计算该大样本数的间接量,，,并绘制该函数误差分布的统计直方图,统计并输出该间接量的最佳估计值、标准偏差与及,误差分布区间半宽度等特征量。,1,2,n,x,x,x,L,1,2,n,?,?,?,L,y,1,2,n,x,x,x,L,计算机模拟测量系统,y,0,x,y,F,x,=,(,),x,x,s,y,F,x,=,(,),y,s,y,(,),y,(,),y,【例】,1,2,3,4,5,6,1,2,1,4,5,3,6,(,),(,),y,f,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,用相同标称长度,50mm,的标准块规校准某块规，通过,两块规长度

30、的直接比较，输出两者的长度差有如下公,式,假设各个量之间的相关系数均为,0,。试用仿真计,算的方法分析该校准的误差分布及其标准偏差，并,用误差传播公式核算标准偏差。,【解】核算,2,2,2,2,2,6,2,2,6,2,2,2,2,2,2,(25,),(9.7,),(50,),(,0.1),(0.58,10,),(50,),11.5,10,(0.029),(25,),(9.7,),(2.9,),(16.6,),1002,y,nm,nm,mm,mm,nm,nm,nm,nm,nm,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（,）,32,y,nm,?,?,故有,输入量的误差性质,

31、输入量,1,x,2,x,3,x,4,x,6,x,5,x,名称,分布,标准偏,差,数值,受校块规长度值在,20,o,C,时的校准长度,两块规长度差值在,20,o,C,时的长度,标准块规的热膨胀系数,试验座温度偏离标准温度,两块规的热膨胀系数,两块规间温度差,50.000623mm,215nm,6,11.5,10,?,?,o,-1,C,0.1,?,o,C,0,0,正态,正态,均匀,均匀,均匀,反正弦,1,25nm,x,?,?,2,9.7nm,x,?,?,6,1.2,10,?,?,o,-1,C,0.41,o,C,6,0.58,10,?,?,o,-1,C,0.029,o,C,六个输入量分布,输入量,直

32、方图,x,6,输入量,直方图,x,4,输入量,直方图,x,2,输入量,直方图,x,5,输入量,直方图,x,3,输入量,直方图,x,1,=0.0,s,=0.029,=,0.11,s,=0.42,=0.00022,s,=0.0000097,=50.00062,s,=,0.000025,=0.000011,s,=0.0000012,=0.0,s,=0.00000058,90,80,70,60,50,40,30,20,10,90,80,70,60,50,40,30,20,10,90,80,70,60,50,40,30,20,10,400,300,200,100,200,100,200,100,_,均值

33、,均值,均值,均值,均值,均值,输出量分布,Var,_,y,1,-,=,50.000838,s,=,0.000028,Left=50.000743Right=50.000920,200,100,均值,直方图,讨论：,比较解析公式法与数值仿真法。,（线性精确程度、解析难度等）,第二节,随机误差的合成,任何测量结果都包含有一定的测量误差，这,是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的,结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些,误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综,合影响。,?,标准偏差合成,?,极限误差合成,解决随机误差的合成问题一般基于标准偏,差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差,传播系数以

34、及各个误差之间的相关性影响,一、标准偏差合成,合成标准偏差,2,1,1,(,),2,q,q,i,i,ij,i,j,i,j,i,i,j,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,个单项随机误差，标准偏差,1,2,q,?,?,?,L,?,误差传播系数,1,2,q,a,a,a,L,?,由间接测量的显函数模型求得,?,根据实际经验给出,i,i,a,f,x,?,?,?,?,用标准偏差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且,无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个,标准偏差，均可计算出总的标准偏差,当误差传播系数,、且各相关系数均可视为,0,的情形,合成标准偏差的特殊情形,各

35、个误差互不相关，相关系数,2,1,(,),q,i,i,i,a,?,?,?,?,?,2,1,q,i,i,?,?,?,?,?,0,ij,?,?,1,i,a,?,合成标准偏差,?,视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，,或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量,纲的分量,二、极限误差合成,单项极限误差,1,2,.,i,i,i,k,i,q,?,?,?,?,?,单项随机误差的标准偏差,?,单项极限误差的置信系数,合成极限误差,k,?,?,?,i,?,i,k,?,合成标准偏差,?,合成极限误差的置信系数,?,k,合成极限误差计算公式,2,1,1,(,),2,q,q,j,i,i,i,ij,i,j

36、,i,i,j,i,i,j,a,k,a,a,k,k,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置,信系数，即可进行极限误差的合成,?,各个置信系数,、,不仅与置信概率有关，而且,与随机误差的分布有关,i,k,k,?,对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，,其相应的各个置信系数相同,?,对于不同分布的误差，即使选定相同的置信概,率，其相应的各个置信系数也不相同,合成极限误差特殊情形,2,1,1,(,),2,q,q,i,i,ij,i,j,i,j,i,i,j,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,q,i,i,?,?,?

37、,?,?,0,ij,?,?,1,i,a,?,当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项,误差的数目,q,较多、各项误差大小相近和独立时，,此时合成的总误差接近于正态分布，此时,1,2,q,k,k,k,k,?,?,?,?,L,合成极限误差,若,和,?,各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分,布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，,是较为广泛使用的极限误差合成公式,第三节,系统误差合成,一、已定系统误差的合成,系统误差的分类：,1,）,已定系统误差,2,）,未定系统误差,定义,：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差,表示符号：,?,合成方法,：,按照代数和法进行合成,?,?,r,i,i

38、,i,a,?,?,?,?,i,为第,i,个系统误差，,a,i,为其传递系数,?,系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测,量结果中消除,二、未定系统误差的合成,（一）,未定系统误差的特征及其评定,定义,：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精,力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围,?,e,的系统误差,也就是说，在一定条件下客观存在的某一系统误差，一定是落,在所估计的误差区间,(-,e,，,e,),内的一个取值。,当测量条件改变时，该系统误差又是误差区间,(-,e,，,e,),内的另一,个取值。,当测量条件在某一范围内多次改变时，未定系统误差也随之改,变，其相应的取值在

39、误差区间,(-,e,，,e,),内服从某一概率分布。,二、未定系统误差的合成,（一）,未定系统误差的特征及其评定,对于某一单项未定系统误差，其概率分布取决于该误差源变,化时所引起的系统误差变化规律。理论上此概率分布是可知,的，但实际上常常较难求得。,目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况,的分析与判断来确定的，并采用两种假设：一种是按正态,分布处理；另一种是按均匀分布处理。,对于某一单项未定系统误差的极限范围，是根据该误差源具,体情况的掌握程度以及测量人员的经验和判断能力。,二、未定系统误差的合成,（一）,未定系统误差的特征及其评定,特征,：,1,）,在测量条件不变时为一恒定值，多

40、次重复测量时其值固,定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性,2,）,随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某,极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有,随机误差的特性。,表示符号：,极限误差：,e,标准偏差：,u,1,、标准偏差合成,（一）,未定系统误差的合成,未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率,分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具,有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相,似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合,成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。,同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照,标

41、准偏差合成，也可以按照极限误差的形式合成。,若测量过程中有,s,个单项未定系统误差，它们的标准偏差,分别为,u,1,，,u,2,，,，,u,s,，其相应的误差传递系数为,a,1,，,a,2,，,，,a,s,，则合成后未定系统误差的总标准偏差,u,为,:,则由各单项未定系统误差标准偏差得到的合成未定系统误差,极限误差为：,式中，,?,ij,为第,i,个和第,j,个误差项的相关系数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,j,i,j,i,j,i,ij,s,i,i,i,u,u,a,a,u,a,u,1,1,2,2,?,?,?,?,?,?,s,i,i,i,u,a,u,1,2,i,i,i,u,t,e,?,

42、?,当,?,ij,=0,时,2,、极限误差的合成,因为各个单项未定系统误差的极限误差为,:,s,i,2,1,?,?,tu,e,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,j,i,j,i,j,i,ij,s,i,i,i,u,u,a,a,u,a,t,e,1,1,2,2,?,若总的未定系统误差极限误差表示为：,则有：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,j,i,j,j,i,i,j,i,ij,s,i,i,i,i,t,u,t,u,a,a,t,u,a,t,e,1,1,2,2,?,?,?,?,?,?,?,s,i,i,i,e,a,t,u,1,2,或者，由各单项未定系统

43、误差极限误差得到的合成未定系统,误差极限误差为：,当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独,立无关，即,，则上式可简化为：,0,?,ij,?,第四节,系统误差与随机误差的合成,一、按极限误差合成,误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合,成、按标准偏差形式合成。,测量过程中，假定有,r,个单项已定系统误差，,s,个单项未定系统,误差，,q,个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：,q,s,r,e,e,e,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,2,1,?,?,?,1,、单次测量情况,若各个误差的传递系数取,1,，则测量结果总的极限误差为：,R,t,t,e,t,q,i,i

44、,i,s,i,i,i,r,i,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,?,?,?,总,式中，,R,为各个误差之间的协方差之和。,当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结,果总的极限误差可简化为：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,i,i,s,i,i,r,i,i,e,1,2,1,2,1,?,?,?,总,一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就,是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：,?,?,?,?,?,?,?,q,i,i,s,i,i,e,1,2,1,2,?,?,

45、总,2,、,n,次重复测量情况,当每项误差都进行,n,次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、,系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中,的随机误差项应除以重复测量次数,n,。,?,?,?,?,?,?,?,q,i,i,s,i,i,n,e,1,2,1,2,1,?,?,总,总极限误差变为：,二、按标准偏差合成,测量过程中，假定有,s,个单项未定系统误差，,q,个单项随机误差，,它们的标准偏差分别为：,q,s,u,u,u,?,?,?,2,1,2,1,?,?,1,、单次测量情况,若各个误差的传递系数取,1,，则测量结果总的极限误差为：,式中，,R,为各个误差之间的协方差之和。,若用标

46、准偏差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑,未定系统误差与随机误差的合成。,R,u,q,i,i,s,i,i,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,?,?,当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结,果总标准偏差为：,?,?,?,?,?,?,q,i,i,s,i,i,u,1,2,1,2,?,?,2,、,n,次重复测量情况,当每项误差都进行,n,次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、,系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中,的随机误差项应除以重复测量次数,n,。,?,?,?,?,?,?,?,q,i,i,s,i,i,n,u,1,2,1,2,1,?,?,

47、总极限误差变为：,第五节,误差分配,基本思想,误差分配,由给定测量结果允许的总误差，合理确定各单,项误差。,假设各误差因素互不相关，有,2,2,2,1,2,y,y,y,yn,?,?,?,?,?,?,?,?,L,给定,，如何确定,，满足,y,?,yi,?,2,2,2,1,2,y,y,yn,y,?,?,?,?,?,?,?,L,yi,i,i,i,i,f,a,x,?,?,?,?,?,?,?,一、按等影响原则分配误差,等影响原则,各分项误差对函数误差的影响相等，即,1,2,y,y,y,yn,n,?,?,?,?,?,?,?,?,L,可得到,1,1,/,y,y,i,i,i,f,x,a,n,n,?,?,?,?

48、,?,?,?,极限误差表示,1,1,/,i,i,i,f,x,a,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,函数的总极限误差,?,?,各单项误差的极限误差,i,?,二、按可能性调整误差,(1),对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差,的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求难以达到。,这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加,测量次数及测量成本为代价。,按等影响原则分配误差的不合理性,(2),当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传,播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误,差并不相等，有时可能相差较大。,在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当,调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误,差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。,三、验算调整后的总误差,误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调,整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定,的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进,行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实,现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行,比较，直到满足要求为止。,例,【解】,测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径,及高度,，根据函数式,D,h,2,4,D,V,h,?,?,求得体积,，若要求测量体积的相对误差为,1,，,已知直径和高度的公称值分别为,，,试确定直