利支付下的具有时滞的股票期权定价.pdf-淘文阁

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1、第3 6 卷第1 2 期20 09 年12 月湖南大学学报(自然科学版)J o u r n a lo fH u n a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e s)V 0 1 3 6，N o 1 2D e c 20 09文章编号：1 6 7 4 2 9 7 4(2 0 0 9)1 2-0 0 8 9 0 4红利支付下的具有时滞的股票期权定价李亚琼+，黄立宏(湖南大学数学与计量经济学院湖南长沙4 1 0 0 8 2)摘要：利用随机泛函微分方程理论和无套利对冲原理获得股票具有时滞影响且支付红利的期权定价公式研究表明，股票价格具有时滞时，股票支

2、付红利对欧式看涨期权的影响呈现出复杂，l!生关键词：随机微分方程；时滞影响；期权模型；红利；对冲中图分类号：F 8 3 0 9 1；0 2 1 1 9文献标识码：AT h eP r i c i n go fO p t i o n so naD i v i d e n d p a y i n gS t o c kw i t hD e l a y e dR e s p o n s eL IY a q i o n g+，H U A N GL i h o n g(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dE c o n o m e t r i c s-H u

3、n a nU n i v-C h a n g s h a-H u n a n4 1 0 0 8 2-C h i n a lA b s t r a c t：U s i n gt h et h e o r yo fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ep r i n c i p l eo fn o a r b i t r a g eh e d g e，w eo b t a i n e dt h ef o r m u l ao fo p t i o np r i c

4、i n g T h er e s u l t ss h o wt h a ts t o c kp r i c e sh a v eat i m ed e l a yw h e nt h ep a y m e n to fd i v i d e n d so ns h a r e so fE u r o p e a nc a l lo p t i o n s K e yw o r d s：s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n；d e l a yi m p a c t s；o p t i o n sm o d e l；d

5、 i v i d e n d s；h e d g e s欧式期权定价一般是在完备市场假设下进行的，但是理论结果和实际是有偏离的大量文献和实证研究表明，波动率是常数的假设与实际不吻合 1 q 另外根据模型是常数的波动率假设，同种标的资产的期权应有相同的隐含波动率，但实证研究表明，同种标的资产、相同到期日的期权、敲定价格偏离现货价越多，隐含波动率往往越大n 已经有一些学者采用随机泛函微分方程理论，研究了股票价格具有时滞的股票期权定价问题旷副，例如。M A r r i o j a s 等利用随机泛函微分方程理论和风险中性鞅测度理论、计价单位变化研究了股票价格在扩散项和漂移项均具有时滞的期权定价引Y

6、 K a z m e r c h u k 等利用随机泛函微分方程理论和无套利对冲原理，研究了股票价格在扩散项具有时滞的期权定价”但是他们都仅考虑了不支付红利的情形本文在文献-7 3 讨论的具有时滞的股票期权定价的框架下，进一步研究股票支付红利的情形1 股票支付红利具有时滞的期权定价对于任意的路径z：一r，)一R 4，在任意0定义z，：一r，o 一R 4，即2。(s)：=z(+s)，a s，o，s f f 一r，o 记C：=c(一r，0)一R 4)是所有连续路径叩：=一r，o)一R 4 组成的B a n a c h 空间，相应的范数是*收稿日期：2 0 0 9 0 3 1 6基金项目：湖南省科技

7、厅计划资助项目(2 0 0 9 Z K 3 1 1 0)作者简介：李亚琼(1 9 6 2 一)女，云南昆明人，湖南大学副教授，博士十通讯联系人E m a i l：l i y a q i o n g l 9 6 2 1 2 6 c o r n万方数据9 0湖南大学学报(自然科学版)2 0 0 9 矩l 一，。掣。I7(s)I 一掣，T EC 考虑下面的随机微分方程(S D D E)f d r()=H(t，五)d t+G(，五)删()，o 1(1)【X o=9 c在一个过滤的概率空间(Q，F，(F)，。，P)满足通常的条件即过滤(F，)是右连续的，每个F，0，在F 中包含所有的P 一零集，w()表

9、可测的样本连续过程，使得z I 0 即是(F，)。，1-一适应的，并且z 几乎处处满足式(1)另外，M o h a m m e d 已经证明假如假设H成立，则对任意妒C 随机泛函微分方程(1)有唯一解z 9：一r，)Q R“，z 9r 0”=妒C 和一z r C，o，丁是样本函数，且是连续的假设期权的价格是以下面的方式依赖于现在和以前股票的价值：r OF(t，S，)=Ie 吲H(S(t+曰)，S()，)d O，(3)J 一7其中H C o 卫1(R R 艮)我们有：引理1假如一个泛函F：l L C R 有下面的形式广OF(t，S，)一Ih(口)H(S，(口)，S。(o)，t)d O，J o对

10、H C o 2 J(R R l)和C 1=C(一r，o)，R)，则F(t，S。)一F(O，妒)+IA F(s，s 5)d s+几l 盯(s，S s)s(s)B F(s，S s)d w(s)(4)其中A F(t，z)一h(0)爿(z(0)，z(0)，t)一(r)H(z(一r)，z(O)，)一h。(口)H(z(口)，z(0)，t)d O+广Oh(口)L H(z(口)，z(0)，)d O，J rB F(f，z)一Ih(曰)H；(z(口)，z(o)，)d O，L H(z(曰)，z(o)，)=理(o)H；(z(臼)，z(o)，)+亟生婴盟碰。(z(口)，z(o)，)+H 3(工(口)，x(O)，)其中H

11、：，i 一1，2，3，表示H(s c(O)，z(o)，)关于第i项的导数证明见文献1-7 3 利用引理1，我们进一步有下面的结论推论在引理1 的条件下，有d F A F d f+岱B F d W 证明由I t 6 随机微分的定义，这个随机微分方程等价于式(4)的随机积分方程假设股票以常数和连续的方式支付标的资产的红利，红利率记为q，股票价格遵从下面的随机泛函微分方程：d S(t)=r S()d t+d(t，S，)S(z)d W(f)(5)定理l假如泛函F 由式(3)给出，S()满足式(2)并且H C o 2 1(R R R+)，则H(S(t+日)，S(f)，)满足下面的微分方程HI 口，。一e

12、卅HI 口；一。+le 一坩(H：+r S()H；+i 1 盯2(，S，)s 2()碰2)d O 一0(6)证明先构建一个投资组合记为I I(t)一一F(t，S，)+A S(f)由于需要对标的资产支付红利，因此d 玎一一d F+d S 一书d 另外利用引理l 和式(5)有：d 一一A F d 一凼B F d W+r S d t+格d w 一q S A d t 这个投资组合的收益应该等于无风险的收益，即有：d I I 一d t 令A=B F 此时可以得到：A F(，S。)+q s(t)B F(f，S。)=r F(，S，)，即万方数据第1 2 期李亚琼等：红利支付下的具有时滞的股票期权定价9 1

13、一一一(o)H(z(f)，z()，f)一(一r)H(z(r)，证明由式(7)有：z(f)，)一O (口)H(z(f+口)，2()，t)d O+H(S(t+口)，s()，)=孑-三玎 l(s()，)+r 0 (口)-(r-q)s()H：(s(+目)，s()，)+2 s+口，a 2(t,S,，)S z(0)2(s(+口)，s()，)+F(，s，)：f。e-柙H(s(+8)，s()，)d O f。(口)H：(s(-I-O)，s(f)，f)的+将H(S(t+口)，s()，)代人式(6)有：J h，(S()，t)一e”丘2(S(t-r)，t)一r h l(S()，)+，ng S“j 一：以碰。“枷h“砒

14、D 2E e 一坩(南瓦3 h 1+3 瓦h 2 I+r s 南1 嘉+J fo、1、7，r3 C。心卅川s。?鲨墨扣心南瑚一o，选择从一e 一上式可以化为式L三(s()，)一e。i(s(二S，)一旃。(s()，)+l 下舢L v 面p 我们进一步考虑一个简单的情形：a a h-A-1+r S(c)鲁+专仃z(，s，)s 2()甍笋+定理2假设一个股票价格满足式(5)，支付红利q 的欧式看涨期权的价格由fF(s r)2 1(5(f)，)+J!-。e _ 坩 z(s(c+口)，)d 日，(7)【F(T，s T)：m a x(s(T)一E，o)给出，并且h。满足：3 h 1+12S 2 碧+(

15、r 叫s 嘉呐-o Ih 1(T，h l(T)=m a x(s(n E，o)(8)其中孑z 为股票的长期波动率则欧式看涨期权韵价格可以由下式确定：F(t，S，)=h l(S()，)+l f T e-俨w(的)一-2)奶)碧(s 桫姑一虿1J f。T e-删q S 碧(s 煳姑(9)支付函数为F(T，S 丁)=m a x(S(T)一E，O)且h l(S(f)，f)=e-q 卜S(f)N(d,o)一E e-一卜”N(d z o)其中九=蝼幽戈等等塑型，d：。=d。一石可而卜帕O d h。2d 8=。利用等式等+r s 嘉一侪。一一号那2 碧+庐嘉有：姒s 一眠(s(h m)+卜柙等由一扣阢s s

16、龟)等一q S 等另外由式(6)得到：瓦a F=鲁+象0 叫“(s 嘲一3 d h-f 1+h 2(s(龇)一e 1 2(s(t-r)，)+J，t，e-r r-t h 2 h(s，t)d s+L e-r (H 鲁d s=I(s(s)，)+I“等=Jr r f”堕3 t“r-r e 删 2(s(s d s+扣托)S 2 等一q c s 嘉=鲁+D e 嘞2(s(f d 口+扣一s s 2 等一g S 嘉故有：誓+r SO a h 5,+i 1 仃2(f，s 2 再O Z h l=r F 注意到：O d h-L+(，一一q)s 两8 h,十虿1 盯-2 s 2 雩争=碗-，万方数据9 2湖南大学学

17、报(自然科学版)有：!兰立二垒!垡!：!卫：a f，(F(t，S。)一h l(s(f)，)+丢(卜d )5 2 碧一q S 嘉解上面的一阶线性微分方程得：F(t，S，)-h l(s()，)一告Ie“H 盯2(，S，)一1广力s 2(s()，0-q S 碧(s 弗弛证毕2 结论本文利用随机泛函微分方程理论和无套利对冲原理获得股票具有时滞影响且支付红利的期权定价公式由定理2 的假设，可以将h，(S()，f)认为是到期日为T，敲定价格为E，波动率为盯，的欧式看涨期权的价格通过计算F。，由于(盯2(，S。)-a 2)的符号不能确定，以及其他一些因素，致使F。的符号不确定在一般的欧式看涨期权中，股票的红

18、利支付会使看涨期权的价格下降，但是在考虑股票价格的变化有时滞响应时，股票支付红利对欧式看涨期权的影响呈现出复杂性在一般的欧式期权定价中，当已知欧式看涨期权的价格时，可以利用看涨期权和看跌期权的平价关系容易得到看跌期权的价格考虑到这里问题的复杂性，可以采用与定理2 类似方法可得到相应的欧式看跌期权的定价结论在本文中，我们讨论了股票价格在扩散项具有时滞且支付红利的期权定价对于股票价格在扩散项和漂移项均具有时滞及其扩展性问题的期权定价是我们将来继续研究的主题参考文献 1 1R U B I N S T E I NM I m p l i e db i n o m i a lt r e e s J J o

19、 u r n a lo fF i n a n c e。1 9 9 4，4 9(2)：7 1 1 8 1 8 2 3I T OK，N I S I OM O ns t a t i o n a r ys o l u t i o n so fas t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n J M a t hK y o t oU n i v e r s i t y，19 6 4，41：1 7 5 3 W I G G I N SJB O p t i o nv a l u e su n d e rs t o c h a s t i cv

20、o l a t i l i t y：t h e o r ya n de m p i r i c a le s t i m a t e s J F i n a nE c o n 1 9 8 7，1 9：3 5 1 3 7 2 4 M O H A M M E DSE S t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hm e m o r y：t h e o r y，e x a m p l e sa n da p p l i c a t i o n s E B 0 L 2 0 0 8 6一z o h t t p：o p e n

21、s i u c 1 i b s i u e d u m a t ha r t i c l e s 5 0 5 3M I Z E LVJ，T R U T Z E RV S t o c h a s t i ch e r e d i t a r ye q u a t i o n s：e x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cs t a b i l i t y J J o u r n a lo fI n t e g r a lE q u a t i o n s，1 9 8 4(7)：1 7 2 6-1A R R I O J A SM H UY，M O H A M

22、 M E DSE，e ta 1 Ad e l a y e db l a c ka n ds e h o l e sf o r m u l a J S t o c h a s t i cA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s，2 0 0 7，2 5：4 7 l 一4 9 2 E 7 lK A Z M E R C H U KY，S W I S H C H U KA W UJ T h ep r i c i n go fo p t i o nf o rs e c u r i t i e sm a r k e t sw i t hd e l a y e dr e s p o n s e J M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e r sS i m u l a t i o n，2 0 0 7，7 5；6 9 7 9 8 H O B S O ND，R O G E R SLCG C o m p l e t em a r k e t sw i t hs t o e h a s t i cv o l a t i l i t y J M a t hF i n a n c e，1 9 9 8，8：2 7 4 8 万方数据

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