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1、.数理统计(四)充分统计量赵 联 文数学学院统计系March 22,20101赵联文数理统计(四).内容提要.1充分统计量的定义.2因子分解定理2赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分性当采用一个统计模型时，期望从存在于数据中的信息中分离出不相干的信息，对信息进行加工。统计量把样本中的信息进行加工处理，对样本数据进行压缩进而用于统计推断。自然希望这种仅仅记录或考察统计量T的值(达到数据压缩的目的)而获得的信息与样本数据中的信息一致，不损失原有样本中的信息。3赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分性当采用一个统计模型时，期望从存在于数据中的信息中分离出不相干的信息，对信息进行加工。统计量
2、把样本中的信息进行加工处理，对样本数据进行压缩进而用于统计推断。自然希望这种仅仅记录或考察统计量T的值(达到数据压缩的目的)而获得的信息与样本数据中的信息一致，不损失原有样本中的信息。3赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分性当采用一个统计模型时，期望从存在于数据中的信息中分离出不相干的信息，对信息进行加工。统计量把样本中的信息进行加工处理，对样本数据进行压缩进而用于统计推断。自然希望这种仅仅记录或考察统计量T的值(达到数据压缩的目的)而获得的信息与样本数据中的信息一致，不损失原有样本中的信息。3赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分性当采用一个统计模型时，期望从存在于数据中的信息中分
3、离出不相干的信息，对信息进行加工。统计量把样本中的信息进行加工处理，对样本数据进行压缩进而用于统计推断。自然希望这种仅仅记录或考察统计量T的值(达到数据压缩的目的)而获得的信息与样本数据中的信息一致，不损失原有样本中的信息。3赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分性当采用一个统计模型时，期望从存在于数据中的信息中分离出不相干的信息，对信息进行加工。统计量把样本中的信息进行加工处理，对样本数据进行压缩进而用于统计推断。自然希望这种仅仅记录或考察统计量T的值(达到数据压缩的目的)而获得的信息与样本数据中的信息一致，不损失原有样本中的信息。3赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.
4、在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)
5、的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的
6、数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计
7、(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni
8、=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例.例 1.1.在一批产品中进行抽样检查，记录每一个抽检的产品是否是不合格品，得到样本(X1,.,Xn)所表示的数据，其中Xi=1,第i次抽检的产品是不合格品，0,第i次抽检的产品是合格品.不合格总数T=ni=1Xi是一个统计量，(X1,.,Xn)的很多不同值可以对应相同的T值。但显然，记录T值并不会丢掉关于不合格品率的信息。4赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位
9、和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T
10、=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两
11、种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不
12、含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有
13、重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息
14、。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T
15、=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的引入“既包含而又不丢失信息的统计量”在统计学中具有重要的地位和作用，这样的统计量即为充分统计量。样本X=(x1,.,xn)的分布F(X,)包含了样本中关于参数的所有信息。统计量T=T(x1,.,xn)也有一个抽样分布FT(t,)，当统计量T的取值为t的情况下样本X的条件分布F(X,|T=t)有两种可能情形：F(X,|T=t)依赖于参数，条件分布中仍然含有的有关信息；F(X,|T=t)不依赖于参数，此条
16、件分布中不含有的有关信息。5赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的
17、样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统
18、计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵
19、联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,
20、)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.充分统计量的定义由于F(X,)=F(X,|T=t)FT(t,),因此，统计量T中包含了样本中有关参数的所有信息。.定义 1.1(充分统计量).设X=(x1,.,xn)是来自总体X的样本，总体的分布函数为F(x,)，若统计量T=T(x1,.,xn)满足：给定T,X的条件分布F(X,|T)与无关，则称T为充分统计量。6赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1
21、xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1
22、(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1
23、,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn
24、)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上
25、例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)
26、充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量
27、。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)t(1)nt=1(nt)
28、与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)充分统计量的定义.例续上例，X=(x1,.,xn)的分布为P(X1=x1,.,Xn=xn)=x1(1)1xixn(1)1xn,xi=0,1,i=1,.,n，统计量T=ni=1Xi的分布为P(T=t)=(nt)t(1)nt,t=1,.,n，故给定T,X的条件分布为P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)=P(X1=x1,.,Xn=xn,T=t)P(T=t)=P(X1=x1,.,Xn1=xn1,Xn=t n1i=1xi)(nt)t(1)nt=tn1i=1xi(1)1t+n1i=1xin1i=1xi(1)1xi(nt)t(1)nt=t(1)nt(nt)
29、t(1)nt=1(nt)与无关，故T是充分统计量。7赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)
30、因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布
31、。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常
32、称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离
33、散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为
34、p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统
35、计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足
36、：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn)
37、.8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困
38、难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充
39、分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连
40、续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理
41、).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(
42、X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理由定义验证充分性是很困难的，这需要计算条件分布。Fisher，Neyman给出了一个统计量是充分统计量的充要条件，通常称为因子分解定理。记号：随机变量X概率函数，在连续情形为概率密度函数，离散情形为概率分布列。.定理 2.1(因子分解定理).设总体X的概率函数为p(x,),参数空间为，取值于I的统计量T=T(X1,.,Xn)为充分统计量的充要条件为：存在定义于I的函数g(t,)和
43、定义与Rn的函数h，满足：p(x1.,xn,)=g(T(x1,.,xn),)h(x1,.,xn).8赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形
44、证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，
45、记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)
46、=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分
47、统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1
48、,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅
49、对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn
50、)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中g(t,)=P(T=t,)。9赵联文数理统计(四)因子分解定理.因子分解定理的证明证明:仅对离散情形证明。p(x1,.,xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,).“”设T是充分统计量，则给定P(X1=x1,.,Xn=xn|T=t)与无关，为(x1,.,xn)的函数，记为h(x1,.,xn)，因此P(X1=x1,.,Xn=xn,)=P(X1=x1,.,Xn=xn,|T=t)P(T=t,)=g(t,)h(x1,.,xn),其中