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1、数理统计数理统计(sh l tn j)4第一页，共68页。定义定义(dng(dngy)1y)1设离散型随机变量设离散型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的分布律为的分布律为 如果如果(rgu)(rgu)级级数数 绝对收敛绝对收敛，称为随机变量称为随机变量X的数学期望，的数学期望，记为记为即即的和的和则级数则级数简称简称期望期望或或均值均值。一、数字特征一、数字特征若若 不绝对收敛不绝对收敛，则，则X的数学期望不存在。的数学期望不存在。1、随机变量的、随机变量的数学期望数学期望第1页/共68页第二页，共68页。定义定义(dng(dngy)2y)2设连续型随机变量设连续
2、型随机变量(su j bin lin)X 的概率的概率密度为密度为 若积分若积分(jfn)绝对收敛绝对收敛，则称该积分值为随，则称该积分值为随机变量机变量X X 的数学期望的数学期望或或平均值平均值，简称期望或均值，简称期望或均值记为记为即即离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示此积分是此积分是Lebesgue-Stieltjes积分，当积分，当X为离散型时，为离散型时，其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。第2页/共68页第三页，共68页。此积分此积分(jfn)是是Lebesgue-Sti
3、eltjes积分积分(jfn)，当，当X为连续型时，为连续型时，该积分该积分(jfn)化为化为此积分此积分(jfn)是是Riemann积分积分(jfn)。第3页/共68页第四页，共68页。2 2 2 2、随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin(su j bin(su j bin(su j bin lin)lin)lin)lin)函数的数学期望函数的数学期望函数的数学期望函数的数学期望定理定理 设随机变量设随机变量(su j bin lin)Y 是随机变量是随机变量(su j bin lin)X 的函数，的函数，1)设设X 为离散型随机变量为离散型随机变量(su j bin lin)
4、，其，其分布律为分布律为 若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则有则有第4页/共68页第五页，共68页。2)设设X 为连续型随机变量为连续型随机变量(su j bin lin)，其，其概率密度为概率密度为 若积分若积分(jfn)绝对绝对(judu)收敛收敛,则有则有第5页/共68页第六页，共68页。设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为求求 的数学期望。的数学期望。例例2 2解解 第6页/共68页第七页，共68页。设设X 服从服从(fcng)N(0，1)分布，求分布，求E(X2),E(X3),E(X4)例例例例3 3 3 3解：解：第7页/共68页第八页，共68页。结结论论(jiln)第8页
5、/共68页第九页，共68页。3 二维随机向量函数的数学(shxu)期望这里要求广义这里要求广义(gungy)二重积分是绝对收敛二重积分是绝对收敛的。的。第9页/共68页第十页，共68页。第10页/共68页第十一页，共68页。第11页/共68页第十二页，共68页。1.1.设设C C 是常数是常数(chngsh)(chngsh)，则，则E(C)=C;E(C)=C;4.4.设设X X、Y Y 独立独立(dl)(dl)，则，则 E(XY)=E(X)E(Y);E(XY)=E(X)E(Y);2.2.若若k k是常数是常数(chngsh)(chngsh)，则，则E(k X)=k E(k X)=k E(X);
6、E(X);3.3.E E(X X1 1+X X2 2)=)=E E(X X1 1)+)+E E(X X2 2););（诸（诸X Xi i独立时）独立时）注意注意:由由E E(XY XY)=)=E E(X X)E E(Y Y)不一定能推出不一定能推出X X,Y Y独立独立4 4 4 4、数学期望的性质、数学期望的性质、数学期望的性质、数学期望的性质第12页/共68页第十三页，共68页。4.4.若若 X X 与与 Y Y 独立独立(dl)(dl)，则，则 E(X Y)=E(X)E(Y).E(X Y)=E(X)E(Y).证明证明(zhngmng):(zhngmng):设设第13页/共68页第十四页，
7、共68页。定义定义(dngy)(dngy)1 1 设设 X 是一个是一个(y)随机变量，若随机变量，若 存在存在(cnzi)，则称，则称为为 X 的方差，记为的方差，记为 或或即即称称 为为 X 的均方差或标准差的均方差或标准差.5 5、方差、方差第14页/共68页第十五页，共68页。X为离散为离散(lsn)型，型，P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量(su j bin lin)X 的函数的函数g(X)=X-E(X)2 的数学期望的数学期望.X为连续型，为连续型，f(x)第15页/共68页第十六页，共68页。重要重要(zhngyo)公式公式 事实上事实上:第1
8、6页/共68页第十七页，共68页。方差方差(fn ch)的性质的性质可推广可推广(tugung)(tugung)为：若为：若X1,X2,XnX1,X2,Xn相互独立相互独立,则则第17页/共68页第十八页，共68页。1 1）（0-10-1）分分布布(fnb)(fnb)参参数数为为P P 0 15 5 5 5常见分布的数学期望常见分布的数学期望常见分布的数学期望常见分布的数学期望(qwng)(qwng)(qwng)(qwng)和方差和方差和方差和方差 2 2）二项分布）二项分布 X XB(n,p)B(n,p)参数参数(cnsh)(cnsh)为为n,p.n,p.X的分布律的分布律第18页/共68页
9、第十九页，共68页。若设则 X=X1+X2+Xn若若X1,XnX1,Xn相互相互(xingh)(xingh)独立独立,则则第19页/共68页第二十页，共68页。3 3 3 3）泊松分布）泊松分布）泊松分布）泊松分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)：分布分布(fnb)律律参数为参数为第20页/共68页第二十一页，共68页。密度(md)函数4 4 4 4）均匀分布：）均匀分布：）均匀分布：）均匀分布：参数为第21页/共68页第二十二页，共68页。密度(md)函数5 5 5 5）指数分布：）指数分布：）指数分布：）指数分布：参数为第22页/共68页第二十三页，共68页。6 6 6 6）正态分
10、布：）正态分布：）正态分布：）正态分布：密度密度(md)函数函数参数为参数为第23页/共68页第二十四页，共68页。例例例例4 4 4 4 已知已知求解解第24页/共68页第二十五页，共68页。已知随机变量已知随机变量(su j bin lin)解解 例例5 5且且X,Y相互相互(xingh)独立。独立。求求 E(Z)。第25页/共68页第二十六页，共68页。U=U=（2X+3Y)(4Z-1)2X+3Y)(4Z-1)的数学的数学(shxu)(shxu)期望期望答答:设随机变量设随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X N(0,1)N(0,1)，Y Y U(0,1)U
11、(0,1)，例例例例6 6 6 6Z Z B(5,0.5),B(5,0.5),且且X X，Y Y，Z Z 独立独立(dl)(dl)，求随机变量，求随机变量第26页/共68页第二十七页，共68页。称称Y Y 是是随随机机变变量量(su(su j j bin bin lin)X lin)X 的的标标准准化了的随机变量化了的随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)。注：为了方便注：为了方便(fngbin)(fngbin)计算，计算，EX,DX EX,DX均为常数均为常数(chngsh)(chngsh)。常对常对X进行进行标准化。标准化。即当即当X的期望的期望和方差都存在时，考
12、虑它的和方差都存在时，考虑它的标准化。标准化。第27页/共68页第二十八页，共68页。则则第28页/共68页第二十九页，共68页。二、二、协方差及相关系数协方差及相关系数1、定定 义义(dngy)称称COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为为随随机机变变量量(su j bin lin)X,Y的协方差的协方差.而而COV(X,X)=DX.为随机变量为随机变量(su j bin lin)X,Y的相关系数。的相关系数。协方差的计算公式协方差的计算公式第29页/共68页第三十页，共68页。2、协协 方方 差差 的的 性性 质质(xngzh)D(aX+bY)=第30页/共68页第三十一页，共68页
13、。定理：若定理：若X，Y独立独立(dl)，则，则X,Y不相关。不相关。证明证明(zhngmng)：由数学期望的性质有：由数学期望的性质有E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又又 E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0 所以所以(suy)E(X-EX)(Y-EY)=0。即即 COV(X,Y)=0注意：若注意：若E(X-EX)(Y-EY)0,即即EXY-EX EY 0，即即X，Y一定相关，则一定相关，则X，Y一定不独立。一定不独立。第31页/共68页第三十二页，共68页。一般情况一般情况(qngkung)下下,对于对于个随机变量个随机变量(su j bin lin)有有第32页
14、/共68页第三十三页，共68页。3、相相关关系系数数的的性性质质(xngzh)说说 明明X X与与Y Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有线性关系并不表示它们(t men)(t men)之间没有关系。之间没有关系。第33页/共68页第三十四页，共68页。例例7解解第34页/共68页第三十五页，共68页。第35页/共68页第三十六页，共68页。X，Y独立 =0X，Y不相关。注意独立与不相关并不是注意独立与不相关并不是(b shi)等价的等价的.当当(X,Y)服从服从(fcng)二维正态分布时，有二维正态分布时，有X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关第36页/共68页第三十七页，共68页。三、三
15、、矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵(j zhn)第37页/共68页第三十八页，共68页。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合二阶混合(hnh)中心矩中心矩.称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合阶混合(hnh)（原点）矩（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合阶混合(hnh)中心矩中心矩.设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，第38页/共68页第三十九页，共68页。协方差矩阵协方差矩阵(j zhn)的的定义定义 将二维随机变量将二维随机变量(su j bin lin)（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排
16、成矩阵排成矩阵(j zhn)的形式的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵第39页/共68页第四十页，共68页。类似类似(li s)定义定义n维随机变量维随机变量X=(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵(j zhn)称矩阵称矩阵都存在都存在,i,j=1,2,n若若也常记为也常记为DX或者或者(huzh)Cov(X,X).第40页/共68页第四十一页，共68页。协方差矩阵协方差矩阵(j zhn)的性质的性质对于对于(duy)任一任一n元实列向量元实列向量有有2）是一个）是一个
17、(y)非负定矩非负定矩阵阵1）是一个对称矩阵）是一个对称矩阵第41页/共68页第四十二页，共68页。3）设）设 为为n元随机元随机(su j)向向量，量，有有a)对于对于(duy)定义定义(dngy)b)第42页/共68页第四十三页，共68页。p(x1,x2,xn)则称则称X服从服从(fcng)n元正态分布元正态分布.其中其中(qzhng)B是是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.|B|是它的行列式，是它的行列式，表示表示B的逆矩阵，的逆矩阵，X和和 是是n维列向量，维列向量，表示表示X的转置的转置.设设 =(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它
18、的概率密度为四、下面四、下面(xi mian)给出给出n元正态分布的概率密度的定义元正态分布的概率密度的定义.第43页/共68页第四十四页，共68页。n元正态分布的几条重要元正态分布的几条重要(zhngyo)性质性质1.X=(X1,X2,Xn)服从服从(fcng)n元正态分布元正态分布a1X1+a2 X2+an Xn均服从一维正态分布均服从一维正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数a1,a2,an，2.若若 X=(X1,X2,Xn)服从服从(fcng)n元正态分布，元正态分布，Y1,Y2,，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数，）的线性函数，则则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正
19、态分布也服从多元正态分布.这一性质称为正态变这一性质称为正态变量的线性变换不变性量的线性变换不变性.第44页/共68页第四十五页，共68页。3.设设(X1,X2,Xn)服从服从(fcng)n元正态分布，则元正态分布，则“X1,X2,Xn相互相互(xingh)独立独立”等价等价(dngji)于于“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”第45页/共68页第四十六页，共68页。例例8 设随机变量设随机变量X和和Y相互相互(xingh)独立独立且且XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X和和Y的任意的任意(rny)线性组合是正态分布线性组合是正态分布.解解:
20、XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立(dl),D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z),D(Z)ZN(5,32)第46页/共68页第四十七页，共68页。例例9解：解：第47页/共68页第四十八页，共68页。例例10 10 已知随机变量已知随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)服从服从(fcng)(fcng)二维正态分布二维正态分布,X 和和 Y分别分别(fnbi)(fnbi)服从正态分布服从正态分布X X和和Y Y的相关系数的相关系数设设求（求（1 1）的数学期望的数学期望和方差和
21、方差（2 2）求）求X与与Z 的相关系数的相关系数并且并且解（解（1）Z的数学期望为的数学期望为X X与与Z Z是否独立是否独立,为什么为什么?第48页/共68页第四十九页，共68页。又又 第49页/共68页第五十页，共68页。(2)X与与Z 的协方差为的协方差为所以所以(suy)与与Z的相关系数为的相关系数为X与与Z是独立是独立(dl)的的.因因(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,而而所以所以(suy)X,Z也是服从二维正态分布也是服从二维正态分布,又又若若(X,Y)不是服从二维正态分布不是服从二维正态分布,结论不成立结论不成立故故X与与Z是独立的是独立的.第50页/共68页第五十一
22、页，共68页。或或对任意对任意(rny)(rny)不等式不等式成立成立(chngl)(chngl)，五、两个五、两个(lin)重要的不等式重要的不等式1)切比雪夫不等式切比雪夫不等式.对任意具有有限方差的随机变量对任意具有有限方差的随机变量X,都有都有proof第51页/共68页第五十二页，共68页。运用切比雪夫不等式证明运用切比雪夫不等式证明(zhngmng)结论结论proofproof第52页/共68页第五十三页，共68页。对任意对任意(rny)(rny)实数实数证：证：2)A.L.CauchySchwarz不等式不等式.考虑考虑(kol)(kol)函数函数即即第53页/共68页第五十四页
23、，共68页。运用运用(ynyng)A.L.CauchySchwarz不等式证明结论不等式证明结论相相 关关 系系 数数 的的 性性 质质(xngzh)二次方程二次方程(r c fng chng)(r c fng chng)有一重根，即有一重根，即第54页/共68页第五十五页，共68页。第55页/共68页第五十六页，共68页。1.1.特征函数的定义特征函数的定义(dngy)(dngy)设设是定义在概率是定义在概率(gil)(gil)空间空间六、六、特征函数特征函数引进特征函数引进特征函数(hnsh)(hnsh)的目的在于有些问题用分布函的目的在于有些问题用分布函数数(hnsh)(hnsh)不好不
24、好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布的分布.使用特征函数使用特征函数(hnsh)(hnsh)就会特别方便，在极就会特别方便，在极限理论限理论的研究中也发挥了很大作用。的研究中也发挥了很大作用。上的实随机变量，则上的实随机变量，则称为复随机变量。称为复随机变量。相互独立，就称复随机变量相互独立，就称复随机变量第56页/共68页第五十七页，共68页。特征函数的定义特征函数的定义(dngy)(dngy)设设的分布的分布(fnb)(fnb)函数为函数为称称为为 X 的特征函数。的特征函数。任一随机变量任一随机变量(su j bin lin)(
25、su j bin lin)的的的的特征函数均存在。特征函数均存在。第57页/共68页第五十八页，共68页。2.2.特征函数的性质特征函数的性质(xngzh)(xngzh)设设是是 X 的特征函数，则的特征函数，则2)2)特征函数特征函数在在 R R 上一致上一致(yzh)(yzh)连续连续3)3)特征函数特征函数是非是非(shfi)(shfi)负定的，即对任意实数负定的，即对任意实数及复数及复数第58页/共68页第五十九页，共68页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)第59页/共68页第六十页，共68页。(4(4）设设是常数是常数(chngsh)(chngsh)，则则(5)(5)随机
26、变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)相互相互(xingh)(xingh)独立，则独立，则此性质可推广至多个此性质可推广至多个第60页/共68页第六十一页，共68页。随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)相互相互(xingh)(xingh)独立，则独立，则(6)设随机变量设随机变量(su j bin lin)则它的特征函数可微分则它的特征函数可微分n n次，且次，且第61页/共68页第六十二页，共68页。(7)唯一性定理：分布函数唯一性定理：分布函数(hnsh)由其特征函数由其特征函数(hnsh)唯一确定唯一确定相应的分布相应的分
27、布(fnb)(fnb)函数函数 F(x F(x）可导且导函数连续，）可导且导函数连续，则有则有第62页/共68页第六十三页，共68页。(1)(1)二项分布二项分布参数为参数为X的分布的分布(fnb)律律3 3 常见的几个常见的几个(j)(j)分布的特征函数分布的特征函数第63页/共68页第六十四页，共68页。(2)(2)(2)(2)泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)分布分布(fnb)律律参数为参数为第64页/共68页第六十五页，共68页。密度(md)函数(3)(3)(3)(3)指数分布指数分布指数分布指数分布参数为第65页/共68页第六十六页，共68页。(
28、4)(4)正态分布正态分布正态分布正态分布密度密度(md)函数函数参数为参数为特征函数特征函数第66页/共68页第六十七页，共68页。(5)(5)卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)的特征函数：的特征函数：的特征函数：的特征函数：某些独立随机变量某些独立随机变量某些独立随机变量某些独立随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)(su j bin lin)(su j bin lin)的分布函数的可加性的分布函数的可加性的分布函数的可加性的分布函数的可加性 可用特征函数证明：可用特征函数证明：可用特征函数证明：可用特征函数证明：如：二项分布如：二项分布(fnb)(fnb)，泊松分布，泊松分布(fnb)(fnb)，正态分布，正态分布(fnb)(fnb)，卡方分布，卡方分布(fnb)(fnb)均具有可加性。均具有可加性。第67页/共68页第六十八页，共68页。