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1、课程标准的设计思路整体的把握数学课程（一）作者：王尚志 来源：义务教育课标的修改情况有老师提议我讲一讲义务教育课标的情况。义务教育课标的修改是由东北师大校长史宁中教授负责的，共14人参与修改，目的是完善这个课程标准。整个的教育理念是对的，修改组深入到试验区进行调查，听课。维持原来的四大块不改变，综合实践不能去掉。一致认为“实践”不应减弱，而应加强。每一部分都有“魂”的东西，应该交给学生。四个关键词（key words）：数感、符号意识、运算、模型。首先是符号意识，数学的符号是成体系的，要抓住符号体系，就能很快学会模型函数、不等式、方程、空间观念、几何直观、推理（合情推理：归纳演绎，类比推理）、
2、图形的变化（对称、旋转、反射、相似、压缩、投影）等等。大家一致认为将来有可能在这些部分展开，因为它不需要很多的知识，可以变很大的花样。数学走到哪，它就跟到哪。把能力强化了：在双基的基础上又增加了基本思想和数学活动经验。课程标准的设计思路整体的把握数学课程一、整体的把握数学课程，分两个纬度来把握：1、高中数学课程内容的基本脉络主线2、高中数学课程内容的基本结构，这个结构分为必修结构和选修结构二、高中数学课程内容主线函数几何运算算法统计概率应用（一）高中数学课程内容主线函数20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念
3、和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。” 小学是从量开始的，形成了数的概念和量，讨论量与量之间：常量与变量的关系。已知常量与未知变量之间的关系。附注：数形结合在高中课本的三座桥：解析几何、函数、向量。找到一个好的充要条件就开拓了一个新的领域。函数是循序渐进的，在学习中要不断的加深印象和认识。在学生脑海中搁住一些模型。三角函数是周期函数。学数列要把它当函数来学习。中学阶段对函数考虑到什么层面，一是变化，二是形状。函数要从变化角度来理解，函数最重要的是强调变化，如单调性，再研究其变化的快慢一阶导数、二阶导
4、数，再观察周期性。从图形角度来刻画函数。形状了解清楚了，那么它的奇偶性、对称性也就清楚了。就单调性、奇偶性、周期性来讲，它们不在一个层面上，单调性最重要。高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线。这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分
5、析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。我们希望能拓展视野，要认识到，高中99.9%的函数都是好函数连续且存在任意阶导数，对于坏函数要了解分段函数。用函数的观念来理解方程，二分法算根、切线法算根（如果函数存在一阶导数）、泰勒法算根（如果函数存在任意阶导数）。再研究算法中的循环时，本质就是体现函数的思想。1对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型（2）函数是联结两类对象的桥梁（3）函数是“图形”以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习
6、是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。2中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。 第一阶段，用运算的性质研究单调性； 第二阶段，用导数的性质研究单调性。3具体函数模型 简单的幂函数及其拓展 实际函数的模型分段函数 指数函数 对数函数 三角函数 数列4函数与其
7、他内容的联系 函数与方程 函数与数列 函数与不等式 函数与线性规划 函数与算法总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”（二）高中数学课程内容主线几何仅仅把几何视为训练逻辑的重要载体，是小看了几何。解析几何是几何，不能讲成代数，要画图。用图形解决问题、刻画问题，寻求解决思路可
8、以简单化。通过几何课的教学让学生养成用图说话的习惯。要善于把复杂的问题变简单。而不是把简单的问题弄复杂。 画图的好处在于：1、用图形语言刻画问题2、用图形语言寻求解决问题的思路3、用图形语言描述问题的结果把难的变容易的有两招：有没有具体的容易的载体，画图注：立体几何初步通过三个载体：直观图、三视图、点线面的位置关系（特别是长方体这个载体，即直角坐标系），帮助形成空间想象力。三视图用切萝卜、切土豆做试验。例如用平面截长方体所得截面的图形，可以在长方体中灌红墨水，可以得到不同的截面。证明和度量的问题放在了第二块（向量、坐标）。学几何时，要让学生把一些基本的几何体放在脑子里。如长方体，柱，锥，球等。
9、例如立体几何都能在我们这间屋子（长方体）里面找到。研究几何的两个基本关系，一个是位置，一个是度量。向量能进入中学教材，是一件大的不得了的事。几何的教育功能高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片
10、面的。在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。2中学几何研究的对象中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面
11、图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。3几何研究图形的方法中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。4几何内容的设计几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整
12、个数学课程的始终。另一部分是设计了相应的几何内容。几何问题要画图，解析几何初步，分成两个载体直线和圆要把几何的要素说清楚，要选择适当的语言把它们刻画出来，找出一个几何问题的代数表示，选择适当的方法，要对得到的代数。高中课程中为什么要讲圆锥曲线，圆锥曲线在高中数学中的地位是打不倒的，因为力学运动轨迹大多是圆锥曲线、在物理的光学中也有广泛应用），讲这部分内容要定位在标准方程和内容结构两个方面，几何课程所呈现出来的数学能力要渗透在教学中。5、向量向量属于代数（可以利用规律去算的东西）；向量属于几何的对象，因此向量是连接代数与几何的天然的桥梁，提高了数形结合的能力。还要强调其物理背景。数学老师应该和语
13、文老师、物理老师经常交流，对自己只有好处没有坏处。此外向量是一个模型。课程标准的设计思路整体的把握数学课程（二）作者：王尚志一、高中数学课程内容主线运算对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。1对运算的认识 运算是数
14、学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。 2运算的作用 （1）运算与推理 （2）运算与算法 （3）运算与恒等变形3运算内容的设计 在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。 注：1、加法-二元运算（1）结合性（2）0元（3）5
15、+（-5）=0（4）交换律2、多项式乘法这个基本功要加强3、解方程：配方、消元强化：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法，二元到三元与一元到二元没什么本质区别，就是代入消元或加减消元。对于复合函数不强调中间变量，对于复合函数新标准要求不高，只要求，如，大纲的变化由以方程为核心变化为以函数为核心4、二元一次方程组体现在线性规划的可行域。5、课例 如何讲 （1）计算与，（2）展开后的结果（同类项不合并）每一项是怎么构成的？每一项都是每个括号取一项作乘法的结果（3）问展开式的每一项是怎么构成的？（4）展开式每个项都是形式（5）结果一共有多少项？（6）有多少个同类项？（7）写出展开式（8）
16、研究，引发问题：对数列的研究小结：探究式的教学方式在这个过程中，老师与学生共同探讨，探讨这样的探索性证明方法与数学归纳法有什么区别？如何讲好课，取决于教师的人格魅力和选择合适的教学方式让学生活跃起来。一个好的老师在于帮助了学生，但学生没感觉到，从而有了学数学的信心！不要赶进度，给学生多思考。北京22中孙维刚的观念“三个月的初一；二个月的初二；一个月的初三。”做到这一点在很大程度上是因为数学老师的人格魅力而学好数学。6、到了高中阶段，运算有了两个飞越：一是向量、二是把函数看成是一个运算。以指数为例，因为其运算满足一定的规则：满足 的连续函数就是指数函数，要从运算角度、函数角度认识指数，把这个思想
17、留给学生。二、高中数学课程内容主线算法算法也是设计高中数学课程的一条主线。有三方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。算法教学应该采用“案例教学”，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中、在处理具体问题过程中，使学生理解：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。1算法的作用（1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力；（2）算法学习有助于学生全面的理解运算；（3）算法学习有助于提高学生的信息素养。2算法的基本思想算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方
18、程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一系列的步骤，一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中数学课程中没有给出“算法”这个名词，但是，我们却熟悉许多问题的算法，一直在利用算法的思想。例如，我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法，等等。要用学生熟悉的具体的实例给学生讲算法。3算法的基本结构 （1）顺序结构;（2）分叉（选择）结构;（3）循环结构。4算法的基本语句输入输出语句 条件语句循环语句5算法内容的设计在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。一部分主要介绍算法的基础知识
19、，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。算法实例分析什么是算法？基本思想、算法的基本结构、算法的基本特点、算法的描述、算法学习的意义、算法教学中要注意的问题。实例分析在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格。主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答高了、低了或者正确。下面是主持人和参与者的一段对话：参与者：800元！主持人：高了！参与者：400元！主持人：低了！参与者：600元！主持人：低了！如果你是参与者，你接下来会怎么猜？实例分析如果我们用P表示商品的价格.由主持人的第一个判断， P
20、在0至800元之间；由主持人的第二个判断， P在400至800元之间；由主持人的第三个判断， P在600至800元之间；根据参与者的猜测，我们知道，首先参与者需要确定商品价格的范围，数学上一般可以用区间来表示，然后报出区间中点，根据主持人的判断，将价格区间缩小一半。因此，我们知道下一步参与者要猜的数应是700元，根据主持人的判断继续报价。实例分析实际上，我们可以把上述过程概括如下：报出首次价格；根据主持人的判断确定价格区间 （1）如果报价小于商品价格，则继续报出较高价格，如果报出商品准确价格，游戏结束；否则，某次价格P1会大于实际价格P，从而确定商品的价格区间为(P,P1)，其中P是P1之前报
21、出的价格; （2）如果报价大于商品价格，并记报价为P1,则商品的价格区间为(0, P1); （3）如果报价等于商品价格，则游戏结束。实例分析如果游戏没有结束，并设得到的价格区间为（T1,T2）报出价格区间的中点T3；根据主持人的判断确定价格区间如果P T3，则商品价格区间为（T3，T2）；如果P T3，则商品的价格区间为(0, T3);如果PT3，则游戏结束。按照上述方法，继续判断，直到游戏结束。像上面那样通过一系列确定的步骤解决问题的方法叫算法。任何人按照这个步骤都可以得到这一结果。现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤。例如二分法 算法举例消元法解线性方程组
22、解一元二次方程算法的基本结构顺序结构条件结构循环结构顺序结构的算法尺规作图，确定线段AB的一个5等分点顺序结构的特点：算法按照书写顺序执行选择结构选择结构的算法求三个数中的最大数选择结构的 特点算法中需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤。循环结构：循环结构的算法输出1000以内所有能被3和5整除的正整数。循环结构的三个要素 1）循环变量 2）循环体 3）循环终止条件注：（）讲算法，强调算理是不是很清楚！算法很重要，要求我们清楚地说出每一步是什么？能不能把解决这个问题的思路说出来。（）三个结构中，循环结构是个难点，可以通过实例来讲，通过框图培养逻辑思维能力。（）循环结构的关键循环变量。（）循环
23、结构比较困难的是，决定循环结束的条件，我们通常都是用变量表示循环结束的条件，一般有两种情况：一是，用循环变量表示循环的次数；（如找10000个数的最大者，数到9999次）二是，给出了一个特清楚的标准，判断循环变量是否达到某个给定的标准，例如，精度就是一种常用的标准，达到精度就结束循环。又如：二分法求方程在可解区间内的解，到可解区间达到我们要求的精度为止。基本语句输入输出语句赋值语句条件语句循环语句一定要注意每个语句的含义，不同的算法语言有不同的符号。不会算法，数学照算无误，会了算法，可以理解得更清楚，其意义在于有利于培养学生的思维能力 ；有利于培养学生理性精神和实践能力 ；有利于学生理解构造性
24、数学。算法思想是贯穿高中课程的基本思想，体现在代数中用框图表示出一种内在的联系。方程求解不等式求解如：解一元二次不等式：第一步讨论二次项的系数的正负；第二步判断判别式的正负；如果大于零，求出根，写出解集。如果等于零，求出根，写出解集。如果小于零，求出根，写出解集。又如几何中研究点到直线的距离：点已知，直线已知。法一：先写出过已知点与已知直线垂直的直线，再求出两直线的交点，最后求两点之间的距离，实质是一种算法。法二：在已知直线上任取一点，构造出向量，求出其在已知直线上的投影，再用勾股定理。异面直线的距离注：建议教师要学会画框图，交给学生，对其每一部分要清楚，弄清楚每一节课起到什么作用，用框图梳理
25、我们的知识。在数学中不说最好，最好的也有不足的地方。讲高中课程时，要善于思考教材，思考每一章、每一节、每一课时。做好每一节课，要思考清楚这节课的作用。三、高中数学课程内容主线数学应用我们不是为搞应用而搞应用，一要能用学过的数学语言描述问题，二要会套用数学模型解决一些问题，第三个层面就是建模。注：清华面试的问题：两个抛物线的相似，矩形面积为什么是长宽之积？除一个数为什么等于乘其倒数？今后的趋势是加强应用，而不是减弱。认识导数，要认识到生活中处处存在。数学应用的意义在于： （1）有助于认识本质。（2）帮助积累经验。（3）有助于阅读理解的能力。不要狭隘的理解数学应用，数学老师不能只能解题，人们心目中
26、的老师绝对不能仅仅会解题。课程改革对老师是一个很大的发展空间，要联系数学与物理，结合数学与其它学科的联系，形成知识的整体性。例如：透镜中蕴含着数学中的相似，可惜一般的物理老师讲透镜不讲相似，数学老师讲相似却不讲透镜。总结，不管用什么方式，作为一名好的老师要清楚总体脉络，要掌握高中数学课程内容的基本结构，要具体到每一部分内容，每一节课的设计，这样才能更好的把握课程。课程标准的设计思路整体的把握数学课程（三）集 合主讲人：王尚志教授思考的问题：（1）整个教材中哪些部分需要集合的语言来表示它？（2）用集合这种形式化的语言好还是用通俗的语言好？内容：集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算定位：
27、集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，因此，这里4个学时的学习要求是阶段性的要求，学生还将在整个高中数学课程中，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。集合是一种语言。既然是语言就要学习，在高中阶段就要使用最标准的语言。到上海说上海话，到合肥说合肥话。几个需要注意的问题：关于集合的概念集合是在数学中不加定义名词。在我们高中数学的学习中，所给出的集合都是清楚准确的。不要在集合的概念上做文章，不要去抠集合的概念。集合论是一门独立的分支，主要研究对象是序数和基数理论，在高中阶段不做专
28、门的学习。学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。因此要坚强起来，不要在集合概念上弄很多花样。；弄“花样”不是真正的数学。在集合这部分内容的教学中，应以学生熟悉的内容为载体，特别是已经学过的数学内容为载体。在学习集合这部分知识时，主要讨论与数集有关的集合。如果使用实际生活中的例子，一定要保证其准确性。有的参考书有这样的题目：今年参加高考的考生算不算集合？答案是高考前不确定，不能叫集合。高考时才能叫集合。这样的例子不好。要把精力集中在数学上。不要选一些不熟悉的载体，建议不熟悉的载体放到后面去讲解。选用什么样的载体，可根据学生的情况，不熟悉的既达不到目的，也没必
29、要。选用什么样的载体，帮助学生学习，这是第一位的。对生活中的实例一定要慎重，否则自己给自己找麻烦。在集合教学中，不宜采用学生还没有很好掌握的数学内容为载体。例如，平面点集中，关于区域、曲线等的讨论。如，对于平面点集（a, b）|ab的含义的理解暂不做要求。关于平面上点的集合的表示，在解析几何、线性规划等的学习中，再根据具体的问题讨论。又例如，一元二次不等式解的集合表示，应放在一元二次不等式的教学中讨论。在教学过程中，集合运算的公式没有必要进一步拓展。应强调学生使用Venn图表达集合的关系及运算，从中体会直观示意图对理解抽象概念的作用。集合作为一种语言，要在今后的教学中不断的使用。例如，我们在导
30、数、线性规划、解析几何等学习中会不断地运用集合的表示。常用逻辑用语定位 “正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”面临的争论（1）“常用逻辑用语”和“简易逻辑”存在定位上的区别“常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使
31、用过程中产生错误。高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老师们特别注意。（2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用。事实上，在高中阶段，没有必要形式的理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义。重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用。（要从具体的例子说起）（3）“常用逻辑用语”的学习重在使用对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后
32、继的数学学习中。因此，“常用逻辑用语”的学习重在使用，在使用中不断地加深对于常用逻辑用语的认识。（4）标准对“常用逻辑用语”的要求，既是阶段性要求也是终结性要求，正确的使用常用逻辑用语，不仅是学习这一部分内容的要求，而且还需要在今后的学习中，通过不断的正确使用常用逻辑用语，加深对常用逻辑用语的认识。有兴趣选修“开关电路与布尔代数”的同学还会接触到有关命题的一些知识，了解“命题演算”是布尔代数的一个具体模型。重点（一）理解充分条件、必要条件与充要条件的意义在数学中，寻求充分条件是一件很重要的事情。特别是在引入新的数学对象后，常常需要判断一个对象是不是我们引入的新对象。判定定理中的条件是给出判定一
33、个事物的充分条件。把充分条件与判定定理结合起来，对学生将来的学习是要紧的。可以给学生留思考题：请你梳理学过的判定定理，谁是谁的充分条件。仅停留在上，没有解决什么实质性的问题。性质都是必要条件。例如：在引入平行四边形后，就需要寻找判定一个图形是不是平行四边形的条件，一组对边平行且相等就是判定一个四边形是平行四边形的充分条件。用命题形式表达就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。在引入方程的解的概念后，需要寻找判定方程有解的条件。像这些条件都是充分条件。对于区间a,b上的连续函数f(x)，f(a) f(b)0就是判定方程f(x)=0在区间a,b内有解的充分条件。用命题形式表达就是：对于区间a
34、,b上的连续函数f(x)，若f(a) f(b)3.明确的给出了条件和结论，并能判断真假。虽然没有明确的给出条件和结论，但是能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，即如果三个角是一个三角形的内角，则这三个角的和等于 。不能判断真假，所以它不是一个命题。（二）教学中只要求用这些逻辑联结词作“合成”，不要求对复合命题“分解”。例如：“高二一班全体同学考试合格”，这是一个非常明了的命题，没有必要说成“高二一班的张三考试合格且李四同学合格、且”。 （三）新课标对真值表不做要求，只要学生理解其含义，尽量避免形式化的讨论。例如：给出条件p、q的真值表 p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1
35、 1（四）在本部分内容的教学中，要通过具体实例来帮助学生按标准要求了解或理解常用逻辑用语，并学会正确使用逻辑用语，避免形式化的讨论。因为本部分内容不是为逻辑学和数学逻辑奠定基础，而是学习正确的使用逻辑用语来清晰的表达数学内容。例如，对于一个具体命题，理解它的否定命题的真假并不难。但是，对于一般形式的命题“若p则q”，认识这个命题否定的含义就比较困难，因此不要求形式的讨论这类问题。总结：这部分内容的学习很有必要，可以加深我们的认识和了解。如对定义的理解。欲速则不达，对于好学生怎么教都可以，但对稍差的学生如果不选择好的教学方式，就会打消他们的积极性。导 数三个思考题：1、不讲极限，能不能讲导数2、
36、如何认识导数特殊的极限学生脑海中有速度，我们帮助学生重新认识速度。3、 怎么理解导数这个特殊的极限理解平均速度用路程去除以时间。如：所以，越小越精确推 理 与 证 明“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合
37、情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理与演绎推理的作用合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。合情推理与演绎推理的关系两者紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和
38、特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。 合情推理与演绎推理的关系合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。内容结构建议数学史要讲！ 归纳推理是针对一类事物S而言的
39、，如图所示： S 的部分事物A和B共同具有的某种特性，是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理过程。例如，1）解线性方程组时，由二元线性方程组的解法，推广到多元线性方程组的解法。2）平面向量推广到空间向量再推广到向量空间。类比推理是针对的两类事物，如图所示，在A和B两类事物中，A类中有性质P成立，B类中也有性质P成立，A类中还有性质Q成立，那么B类中是否也具有性质Q成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。例如，1）平面几何与球面几何的类比。2）等式和不等式的类比。3）有理数与无理数的类比。4）数的运算与符号的运算的类比。5）平面上直角三角形
40、三边的关系与直 三棱锥三个平面的关系的类比。直接证明综合法：直接证明分析法：直接证明数学归纳法（顺序结构）间接证明反证法 教学要求标准要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现-猜想-证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。 对于“合情推理”和“演绎推理”，要通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。模块中设置的证明问题应选材于学生已学过的数学内容，有助于对于基本证明方法
41、的总结，标准要求仅限于“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理”，因此，应结合教材提供的具体实例组织教学，补充的实例也应以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，对证明的问题的难度也要加以控制。建议结合已经学过的数学实例，让学生了解直接证明和间接证明的思考过程、特点.计 数1、研究问题：估计给定集合所含元素的多少2、高中阶段两个通性通法：分类加法定理、分步乘法定理3、排列、排列数、组合、组合数4、二项式定理思考：分类加法定理和分步乘法定理是不是贯穿整个高中的通性通法？用分类加法定理和分步乘法定理去理
42、解。例：从所在的84人中选出10个代表，可以分为两类，一类是有班主任郭老师，二类是不选班主任郭老师，方法数分别为 ，从而用分类加法定理给出了的一个探索性证明。小结：讲了集合、常用逻辑用语、导数、推理与证明、计数集合的概念不要“抠”。集合、常用逻辑用语、推理与证明可以帮助我们加深对所学过内容和未学过内容的认识。概率与统计主讲人：张饴慈教授第一部分：必修中的概率目标：（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。注：古