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1、高中数学课程标准实验教科书数学5第二章“数列”简介郭玉峰数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。一、内容与课程学习目标本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系。通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：1通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数2通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；
2、探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系二、内容安排本章共有五节内容，教学时间约需12课时，具体安排如下(仅供参考)：21数列的概念与简单表示法 约2课时22等差数列 约2课时23等差数列的前n项和 约2课时24等比数列 约2课时25等比数列的前n项和 约2课时小结与复习 约2课时本章的知识结构如下： 1本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概
3、念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。作为最基本的递推关系等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。最后，通过“九连环”问题的阅读与思
4、考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。2人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是一种函数，是刻画离散过程的一种重要数学模型。教科书的这种编排和呈现方式，一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用，提高
5、对本章内容的学习兴趣，为下面将要开始的有关等差数列与等比数列的学习做好铺垫。3等差数列在日常生活中有着广泛的应用，并且大量存在于学生周围教科书首先从学生熟悉的四个实例入手，引出了等差数列的概念，并且结合实例（衬衫的尺码）对等差数列作了说明。随后由等差数列的概念导出等差中项的概念，然后推导出了等差数列的通项公式。这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程，加强了对等差数列基本概念、性质的理解，初步培养了学生运用等差数列模型解决问题的能力。 用函数观点去看等差数列，可以帮助学生理解等差数列的本质：是在特殊定义域上的一次函数，通项公式就是这个特殊函数的解析式2.2节例3和探究题注
6、意到了等差数列与一次函数（包括代数式和图像）之间的联系。另外，有关等差数列的概念、通项公式的推导都是由归纳得到，对培养学生观察分析、探索归纳能力提供了很好的素材。4对等差数列前n项和公式的推导及应用，体现了特殊到一般、一般到特殊的思想： 教科书是从求1+2+3+100的高斯算法出发，并以1+2+3+n求和为过渡，目的是为了让学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律。教科书给出的探究题就是为了让学生在前面基础上，把数列1+2+3+n内在的这种规律性推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和思路。2.3节的例1突出了等差数列求和公式的实际应用；例3强调了等差数列前n
7、项和公式与二次函数之间的关系，探究题是为了进一步认识等差数列前n项和公式是一个常数项为0的二次函数，例4是对等差数列前n项和公式性质（二次型）的一个应用。从特殊到一般，可以帮助学生获取一般等差数列求和思路；从一般到特殊，可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题，使其来于实际，用于实际。 5.与等差数列类似，等比数列概念的引入也是通过日常生活中的实例抽象出了等比数列的模型。2.4节所列的4个背景实例和所传达的思想为： 1. 细胞分裂模型生命科学中的数列模型；类似的有人口增长的模型2.庄子中“一尺之棰”的论述中国古代学者的极限思想3. 计算机病毒的传播计算机科学中的数列模型；计算机病毒的危害
8、；“指数爆炸”的例子4. 储蓄中复利的计算日常经济生活中的数列模型这4个实例，既让学生感受到等比数列也是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数学模型的过程。紧跟在实例之后的“观察”栏目，是为了给学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等比数列的特性。等比数列的通项公式类比差数列通项公式的得出过程，用不完全归纳法得出。6.“为什么要求等比数列的前n项和呢”？2.5节开篇用诺贝尔奖金的计算问题从奖金开始发放的第一年（1897）到今年（2004）所发放奖金的总额来引入了这个问题。等比数列前n项和公式的推导采用了“错位相减”的方法，其中体现了等比数列与
9、指数函数、方程、程序框图中的循环结构等内容的前后联系。本节课后有关“九连环”的阅读与思考，进一步体现了从具体问题中抽象出数列模型，借助数列的相关知识解决问题的思想。三、编写中考虑的几个问题1体现“现实问题情境数学模型应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数 数列概念
10、数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例 等差数列概念 等差数列通项公式 等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题 等比数列前n项和公式 等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方
11、面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。2加强数学知识内容之间的相互联系数学学习绝不是孤立的学习。数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，我们称为数学外部的联系；另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系。本章数列
12、与其他知识内容的联系，主要体现在：（1）数列与“函数”知识内容的联系数列可以看成是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式。由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数。本章内容的设计，突出了数列的这一函数背景，在通过实际问题引入数列概念后，教材对数列的函数背景进行了分析，指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。对两类特殊数列等差数列与等比数列的概念、通项公式，求和公式的研究，也是类比函数展开的：首先，它们是特殊数列，也是特
13、殊函数，等差数列实际是一次型函数，是最简单的递推数列，等比数列实际是指数型函数；其次，它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，这两类数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等。（2）数列与“算法”、“微积分”内容的联系首先，本章对数列内容的整体研究，体现了一种算法思想。具体而言，如对等差数列、等比数列前n项和公式的推导实际就是一种算法。前者是通过高斯算法推广到一般等差数列的前n项求和，后者是通过“错位相减”推导求得。其次，联系算法中的程序以及程序框图，对数列问题进行了研究。如P57例2、P65例3。另外，结合了微积
14、分中的“分割、取值、近似求和”思想，对数列问题进行了研究。如P65例3中对区域面积的求和。3加强学生的数学探索活动根据学习的现代建构理论，学生的数学学习是在已有认知的基础上，经过学习主体的主动建构产生的。数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的。本章内容的设计，充分体现了学生是学习的主体这一特点。例如：等差数列概念的教科书设置就是在对日常生活中大量实际问题分析的基础上，通过学生的观察、分析、猜想、归纳给出的，教科书对学生的自主性学习提供了一定时间和空间：在给出大量的生活实例之后，教科书没有立刻给出等差数列的概念，紧跟在实
15、例之后的“观察”栏目，是为了给学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等差数列的特性。通过对数列、共同特点的探索，学生可以发现这几个数列的前后项的差值都是一个常数（不同数列的常数可能不相同），从而总结出等差数列的一般概念。等差数列前n项和公式的导出也给学生留有了充分发挥和自主学习的空间。教科书是从求1+2+3+100的高斯算法出发，并以1+2+3+n求和为过渡，目的是为了启发学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律。紧接的探究题是为了让学生在前面基础上，把数列1+2+3+n内在的这种规律性推广到一般等差数列，从而获得一般等差数列的求和思路
16、。随后的思考题进一步给学生提供了反思、回味的空间和余地，对知识内容之间的相互联系以及深入理解公式，回顾、调整前面的思考过程，起到了很好的启发和引导作用。4突出了数学思想方法的教学本章内容设置，突出了数学思想方法的教学，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般，以及数列的函数思想、类比思想等。有关等差数列前n项和公式的推导及应用，就体现了特殊到一般、一般到特殊的思想：从特殊到一般，可以由前100个自然数求和的高斯算法过渡到一般等差数列求和思路的获得；从一般到特殊，可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题，使其来于实际，用于实际。函数思想、类比思想几乎贯穿整章内容。本章开始对数列概念的介绍，突出了数
17、列的函数背景。对具体内容的展开，也充分体现了函数思想、类比思想：对两类特殊数列等差数列与等比数列的概念、通项公式，求和公式的研究，是类比函数展开的；类比于实数的加、减、乘、除运算，等差数列与等比数列实际是对数列中的项施行加法、乘法运算得到的；类比等差数列的通项、性质、前n项和，可以得出对等比数列相应问题的研究；类比函数概念、性质、表达式，可以得出对数列、等差数列、等比数列相应问题的研究。函数思想、类比思想的运用，是本章设计的主要特色。另外，数形结合的思想、方程思想等，在本章也有体现。本章注重了数学思想方法的教学，注重了对学生从实际问题抽象出数列模型的能力的培养。而对涉及数列中各量之间基本关系的
18、繁难的技能训练题目，要求有所降低，只要保证能达到基本技能训练目的就可以了。四、对教学的几个建议1重视学生自主性学习能力和创新意识的培养自主性学习能力是一个人今后生存和发展的前提和先决条件，而适应未来社会发展要求的创新意识的培养又是现代社会培养人才的方向和目标。本章内容的设计，考虑到了培养学生的自主性学习能力和创新意识的社会要求，提供了可供学生自主探索的空间和余地。实际教学中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，要尽可能的让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程，鼓励学生说出各种可能的设想和猜测。教师在教学中是组织者、引导者，要把人类已发现的这些“现成的数学”，经过教
19、学法的加工，变为学生在教师指导下亲自“发现”的结论，也就是学生自己“做出来的数学”。这种亲身体验和经历的过程，如同是重新经历数学的发现过程，也就是学生的“再发现”过程，可以启迪学生发现问题、再创造的解决问题，为以后适应社会发展，解决面临的新问题、新情况做好基础的铺垫。本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓广。如有关等差数列的前n项求和和等比数列的前n项求和，可以鼓励学生探索其他可能的解答思路。对教材中有关探索等差数列、等比数列的基本数量关系的题目，也可以有相应的问题拓展。这种已有资源的挖掘和拓广，对学生自主性学习能力的培养是很有好处的。2重视探究题、练习题、阅读与思考、探究与发现等内容的学习本章
20、的探究题、练习题、阅读与思考、探究与发现的内容素材很多是来源于古代或现实生活情境的题目，一方面加强了与实际生活的联系，另一方面可以提高学生学习本章内容的兴趣，教学中要注意相关内容的知识准备和问题解答和拓广的准备。这些题目设置的特点是贴近现实，有一定挑战性和趣味性，具体教学时，可以结合这些题目进行，如等比数列概念引入可以结合练习题中有关“古印度国王奖赏国际象棋发明者”的题目，以设置悬念，从而更加激发学生学习兴趣，调动学习积极性。3重视本章内容与其他学习内容的联系，重视借助信息技术学习本章内容本章内容与函数、一次函数、指数函数、算法、微积分等内容都有直接联系，与物理、化学、生物、经济、天文、历法等
21、领域也有关联，教学中既要注重数学知识内部的联系，也要结合其他学科，使学生体会到数列在现实生活中是有着非常广泛的应用的。为更好理解教学内容，可借助信息技术学习本章内容，除课本提供的有关信息技术的内容外，有条件的学校，可借助多媒体等展示例题、习题中的内容，通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容。2004-09-10下载： 8月16日：原专题六（教学设计第二次作业） 屈直(6501060074) 发表于 2007-08-18 18:37:56 地址： 高中新课程中新增了一部分内容，同时对一些原有的传统内容在教学要求上、内容定位上、教材编写理念上发生了变化，作为教师应认真分析这
22、些变化，使自己的教学理念符合新课改的教学要求. 8月16日第六次作业 专题三第二讲 对高中新课程必修数学5“数列”内容的的教学思考乌鲁木齐市研修（1）班 屈直 帐号：6501060074 高中新课程中新增了一部分内容，同时对一些原有的传统内容在教学要求上、内容定位上、教材编写理念上发生了变化，作为教师应认真分析这些变化，使自己的教学理念符合新课改的教学要求，使自己的经验和新课改的要求有机的结合，更好地完成新课标的教学要求。现以高中新课程必修数学5“数列”内容为例，谈一些自己的体会和设想。 高中数学课程标准必修模块数学5中的第二部分“数列”是高中阶段传统内容，普通高中数学课程标准（实验）与原全日
23、制普通高级中学数学教学大纲相比，对数列进行了改革，课程内容安排有一定的变化，从对新课程与原课程关于数列内容的对比分析可知发生了如下变化：（1）教学要求上的变化。 原大纲及现标准对“数列”各个知识点的要求如下表：要求数列等差数列等比数列数列概念数列表示方法递推公式与函数的关系等差数列概念通项公式前n项和公式与函数的关系等比数列概念通项公式前n项和公式与函数的关系大纲要求理解了解了解了解理解掌握运用掌握运用理解掌握运用掌握运用标准要求了解了解了解理解掌握运用掌握运用体会理解掌握运用掌握运用体会 从以上表格可以看出：现标准与原大纲？相比，对数列内容的要求变化不大，最大变化是现标准突出了数列与函数的内
24、在联系。（2）内容定位上的变化。 以往数列内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形，在新课程中对数列内容的处理突出了函数思想、数列模型思想以及离散于连续的关系，强调他们的函数本质；重视在探索等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的过程中，对学生观察、猜想、归纳、类比、抽象和概括能力的培养；强调应用，通过解决诸如存款利息、购房贷款、资产折旧等计算问题，使学生进一步体会数学的应用价值。（3）教材编写与理念的变化。 新课标教材对“数列”内容的呈现方式发生了一定的变化：（1）注重知识的形成过程。如概念的呈现都是从一些实际例子开始，通过引导学生观察与概括其特点，建立相关的概念。（2）强化了用函数的观点呈
25、现数列。如数列的表示方法：解析法（通项公式、前n项和公式、递推公式）、列表法、图像法，这些表示法都是与函数的表示法相一致的。再如用函数的观点研究数列的性质等。（3）注重数列知识在解决现实生活问题中的应用。（4）注重体现数学的文化价值。如各教材都选择了一些来源于古代数学和现代数学的数列问题，有“正方形筛子”、“三角形数”、“雪花曲线”、“斐波那契数列”、“第七届国际数学教育大会会徽”等。 根据高中新课程必修数学5“数列”内容的变化和影响，在高中新课程必修数学5“数列”的教学中应做好以下几方面的工作:（1）重视培养学生的数学建模能力。 等差数列和等比数列是描述离散现象的两种重要模型，有着广泛的应用
26、，教学中应重视通过具体实例，使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型并用其解决问题的能力。例题、习题的选择应注意两点：一是问题情境学生要熟悉，最好是与学生生活息息相关的；二是控制难度，定位在数列的基本技能训练上，不要复杂化。例题教学可以按以下思路设计：（1）引导学生从问题中抽象出数列模型，经历数学建模过程；（2）引导学生运用数列模型中相关知识解决问题；（3）引导学生使用多种数学模型解决问题，提高分析问题和解决问题的能力。（2）让学生充分体验数学知识的形成过程。 新课程要求“让学生经历知识产生和发展过程”，强调了数学中要重视知识的形成过程。因此，在“数列”的有关概念、公
27、式教学中要根据实际情况尽可能的引导学生对知识的形成过程进行探究，让学生充分体验知识的形成过程，从而使他们在学习中能够积极的思考和主动建构，不要把数列的有关概念、公使生硬的塞给学生去认识、去理解。案例1.数列概念形成过程的教学设计（1）问题情境 大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生长模式到葵花种子、鹦鹉螺壳花纹的排列等，他们都有其生长的方式和特点，如：情景1：树木生长规律1，1，2，3，5，6，；情景2：彗星每隔83年出现一次1740，1823，1906，1989，2072；情景3：一尺之棰，日取其半，万世不竭；情景4：从1984年到2004年我国参加6次奥运会
28、获得的金牌总数分别为15，5，16，16，28，32。 问题：上述例子有何共同点？（2）学生活动 通过观察发现：（1）每个情境中都是一列数；（2）这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒。共同的特点是都有一组按照一定次序排列的数。（3）建构数学 归纳总结，形成数列的概念。（3）注重数学思想方法的渗透 问题是数学的心脏，只是是数学的躯体，数学思想方法是数学的灵魂。数学思想方法的掌握和运用对培养能力，发展智力，提高数学素养都有十分重要的作用。在数列的教学中，数学思想方法可以从以下两个渠道渗透：（1）在设计知识形成的过程中向学生渗透观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等数学思想方法；（2）在等差数列
29、通项公式的推导中要揭示出“累加法”；在等比数列通项公式的推导中要提炼出“叠乘法”；在等差数列前n项和公式的推导中要概括出“倒序求和法”；在等比数列前n项和公式的推导中要领悟出“错位相减法”的精髓。这些数学思想方法都是反映数学本质的东西，教学中可以设计一些用这些思想方法解决问题的例题、习题。（4）高屋建瓴，要以函数的观点来统领数列教学 要突出数列与函数的内在联系，在概念教学中，对概念形成过程要充分利用函数这一“上位”的概念，进行“同化”。对等差、等比数列公式的教学，要以一次函数、二次函数、指数函数来贯通。（5）注重体验数学的文化价值 数学是人类文化的重要组成部分，是打开科学大门的钥匙，使思维的工
30、具，是一种思想方法。因此，数学对于人类文化发展有着特殊意义，在教学中，可以选取一些古今中外的与数列有关的学习背景材料，让学生了解数学与人类社会发展之间的关系，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值等，提高自身的文化素养和创新意识。案例2.斐波那契数列 斐波那契数列是一个很有意义的数列，教学中可以按一下方式向学生介绍该数列。（1） 在数列概念教学中，可以通过“兔子的繁殖问题”引入“斐波那契数列”；（2）简要介绍在自然界中的许多现象都与该数列有关，如许多花的花瓣的数目都具有斐波那契数列的形式，在植物的叶、枝、茎等排列中也发现斐波那契数列等，（3）让学生课下通过上网、查阅资料来收集与斐波那
31、契数列有关的材料进行阅读。44 数列教材分析这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点教学目标1. 理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式2. 了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项3. 进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想教学设计一、问题
32、情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们研究过1，3，6，10，由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数类似地，1，4，9，16，能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数二、建立模型1. 引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列练 习下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，（2）19962002年某
33、市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132（3）无穷多个3构成数列3，3，3，3，（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01（5）1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列1，1，1，1，（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1，1.4，1.41，1.414，2，1.5，1.42，1.415，2. 引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系如：数列1，2，0，1，3，8，第1项是1
34、，第4项是1，由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定一般地，数列可以看作定义域为（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，时的一系列函数值问 题数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式三、解释应用例 题1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数（1）1，（2）2，0，2，0解：（1）.（2）可以写成也可以写成an1（1）n-1，（其中n1，2，）注：对于（2），可以引导学生
35、得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一2. 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1所以，这个数列的一个通项公式是an3n-1在直角坐标系中的图像见下图：3. 设数列满足试写出这个数列的前5项解：a11，注：像这样给出数列的方法叫逆推法练 习1. 数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式2. 已知数列an满足a
36、11，an1（n1），试写出它的前5项3. 已知数列的通项公式为ann210n10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？四、拓展延伸教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：1. 已知数列an满足，问：此数列有无最大项和最小项？2. 通常用Sn表示数列an的前n项的和，即Sna1a2a3an已知an的前n项和Snn23n2，试求an的通项公式一般地，如何用Sn表示an呢？点 评这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当
37、；总体设计完整，清晰另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简“数列的概念与简单表示法(第一课时)”教学案例分析山东省滕州市第一中学/时科峰摘自：中教网 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.作为数列的起始课，为达到新课标的要求，
38、从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).2.教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类.(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系.3.教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型.难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的
39、关系.二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合.三、教学情境设计 问题设计 设计意图 师生活动 问题一：根据实际例子，归纳数列的概念.（1）棋盘中的数学 （2）一尺之棰，日取其半，万世不竭.-庄子 （3）三角形数； （4）正方形数； （5）观察树枝数目； （6）餐馆一周的营业额.从生活实例引入，让学生认识数列是一种重要的数学模型.认识数列具有顺序性.并总结数列的定义.师：引导学生分析每一列数的规律，并利用所发现的规律求出下一个数.生：分析每一个数的规律并利用规律求出下一个数.师：让学生体会从实际生活中提炼出一列数据，分析这些数据的规律，利用这些规律解决一些实际生活问题，引出数列是一种重
40、要的数学模型.（板书课题-2-1-1数列的概念） 师：请分析六组数的共同特征，总结数列的概念.生：分析并找出规律，总结数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.问题二：思考下面两个问题，并举几个数列的例子.（1）.1，3，5，7和7，5，3，1是同一数列吗？ （2）.-1,1,-1,1,是不是一个数列呢?数列中的数可以重复吗?认识数列是有顺序的，且数字可以重复出现.师：肯定学生的回答，并引导学生分析问题（1）.生：回答不是，并说明数列是有顺序的.师：引导学生分析问题2.生：回答是数列，符合定义，定义不要求数字不能重复.师：让学生举出几个数列的例子.生：举例.师：肯定学生的举例，并以一个学
41、生的例子为例引出项的概念：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项.排在第n位的数称为这个数列的第n项.板书记法：a1，a2，a3，.，an，.，简记为：an问题三：分析下列5个数列，按照给定的标准分类.让学生根据所给的标准对数列分类.进一步认识数列的规律性.师：引导学生根据项数的多少分类.并给出定义.生：根据项数的多少分类可以分为：有穷数列如（1）和（4），无穷数列如（2），（3）和（5）.有穷数列：项数有限的数列叫有穷数列； 无穷数列：项数无限的数列叫无穷数列.师：引导学生根据项的大小分类，并给出定义.生：根据项的大
42、小可以分为：递增数列如（1）和（4），递减数列如（2），摆动数列如（4），常数列如（5）.递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些小于它的前一项的数列叫摆动数列； 常数列：各项都相等的数列叫做常数列.问题四：分析下列两个数列的项与序号之间的关系.让学生认识数列是一种特殊函数.总结通项公式的概念.师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列.生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域.师：举出一个定义域
43、为正整数集的函数，求出其函数值，排成一列，让学生举例说明.得出从函数角度对数列的认识.生：合作讨论后举一例说明，并给出函数角度的说明：数列可以看成以正整集（或它的有限子集）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义.分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念.生：总结并给出通项公式的概念：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.问题五：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.让学生学会
44、分析数列中项与序号的关系，并会求数列的通项公式； 学会用联系的观点看问题.师：引导学生分析数列通项的求法，解决（1）至（4）题； 生：口答（1）至（4）题； 师：让学生分析解题思路，并通过第（5）小题向学生说明数列的通项公式不唯一.生：回答第（5）至（8）小题.师：引导学生学会用联系的观点看问题，寻找各个小题之间的联系，使问题简单化.生：发现并分析（5）和（6）之间的关系，（7）和（4）、（5）之间的关系，（8）和（6）之间的关系.师：引导学生利用“寻联系，找差异，化异求同”的观点解决（8）至（10）题.生：发现规律并应用.问题五：通过本节课的学习，你有何收获？ 学生小结.师：回到上课前的引例
45、，说明“棋盘中的数学问题”的简单解决需要后面所学的知识，第6个问题给我们什么启发，根据这些数据，如果你是老板，你将如何安排？ 生：分析并回答：在周五和周六多准备食物和让更多的员工上班，在周一和周二少准备些食物安排少量几个员工上班.并说明原因：周一和周二营业额小，说明这两天吃饭的人少，周五和周六营业额大说明这两天吃饭的人多.师：这节课你有什么收获呢？ 生：点明本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数，是定义在正整数列集（或其有限子集）上的函数.五.板书设计 2-1-1数列的概念 一、数学模型-数列 1.定义： 2.记法： 3.分类： 二、数列是一种特殊的函数 通项公式： 例1六、教学评价与反思 新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的