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1、会计学1平稳随机过程的谱分析平稳随机过程的谱分析第一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。2本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v采样定理采样定理 v白噪声的定义白噪声的定义 第1页/共83页第二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。33.1 3.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一一 预备知识预备知识1 1 付氏变换付氏变换设设x(t)x(t)是时间是时间t t的非周期实函数，且的非
2、周期实函数，且x(t)x(t)满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件 绝对可积，即绝对可积，即 信号的总能量有限，即信号的总能量有限，即 有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点处的值断点处的值为有限值为有限值第2页/共83页第三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。4则则 的傅里叶变换为的傅里叶变换为：其反变换为其反变换为：称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱包含：振幅谱 相位谱相位谱第3页/共83页第四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。52 2 帕塞瓦等式帕塞瓦等式 由上面式子可以得到由上面式子可以得到即即第4页/共83
3、页第五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。6 非周期性时间函数的帕塞瓦非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)(Parseval)等式。等式。物理意义：若物理意义：若x(t)x(t)表示的是电压表示的是电压(或电流或电流)，则上式，则上式左边代表左边代表x(t)x(t)在时间在时间(-(-,)区间的总能量（单位阻抗）。因区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数此，等式右边的被积函数|X|XX X()|)|2 2表示了信号表示了信号x(t)x(t)能量能量按按频率频率分布的情况，故称分布的情况，故称|X|XX X()|)|2 2为能量谱密度为能量谱密度。2 2 帕塞瓦等式帕塞瓦等
4、式第5页/共83页第六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。7二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 随机信号持续时间无限长，对于随机信号持续时间无限长，对于非零非零的样本函数，它的的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。但是它的平均功率是有限的，在特定的条件下，但是它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。仍然可以利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用样本函数做某些限制，
5、最简单的一种方法是应用截取函数截取函数。第6页/共83页第七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。8二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 第7页/共83页第八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。9当当T T为有限值时，为有限值时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 除以除以2T2T取集合平均取集合平均随机变量第8页/共83页第九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。10令令T，再取极限再取极限，交换求数学期望和积分的次序交换求数学期望和积分的次序：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，注意这里由一条样本函数推广到更一般
6、的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用即下面式子对所有的样本函数均适用)功率功率Q Q 非负非负存在存在（1 1）Q Q为确定性值，不是随机变量。为确定性值，不是随机变量。（2 2）为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：第9页/共83页第十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。11两个结论两个结论：1表示时间平均表示时间平均 若平稳若平稳2随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计
7、平均。均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然，显然，Q Q不是随机不是随机变量。变量。第10页/共83页第十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。12功率谱密度功率谱密度：描述了随机过程描述了随机过程X(t)X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布。称为随机称为随机过程过程X(t)X(t)的的功率谱密度功率谱密度。对对 在在X(t)X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)X(t)的功率。的功率。对于平稳随机过程，有：对于平稳随机过程，有：第11页/共83页第十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。13例：设随机过程例：设随
8、机过程 ，其中，其中 皆是实皆是实常数常数，是服从是服从 上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量，求随机过程求随机过程 的平均功率的平均功率。解：解：不是宽平稳不是宽平稳的的第12页/共83页第十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。14第13页/共83页第十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。15三三 功率谱密度和复频率面功率谱密度和复频率面（只是记号相同，函数形式不同）（只是记号相同，函数形式不同）例：例：第14页/共83页第十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。163.23.2平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 一一 功率谱密度的性质功率谱密度的性质 1
9、 1 功率谱密度为功率谱密度为非负非负的的,即即 证明：证明：2 2 功率谱密度功率谱密度是是 的的实函数实函数 第15页/共83页第十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。173 3 对于实随机过程来说，功率谱密度是对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即证明证明：是实函数是实函数又又第16页/共83页第十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。184 4 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限第17页/共83页第十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。19二二 谱分
10、解定理谱分解定理 1 1 谱分解谱分解 在平稳随机过程中有一大类过程，它们的在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许多的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近不满足，也常常可以用有理函数来逼近 。这时。这时 可以表示为两个多项式之比，即可以表示为两个多项式之比，即 第18页/共83页第十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。20 若用复频率若用复频率s s来表示功率谱密度，那么，对于一来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因
11、式分解形式：个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：MMNM。根根据据平平稳稳随随机机过过程程的的功功率率谱谱密密度度的的性性质质，可可以以导导出关于出关于S SX X(s)(s)的零、极点的如下性质的零、极点的如下性质：（5 5）S SX X(s)在实轴上无极点。在实轴上无极点。解释：因为解释：因为S SX X()非负非负、实的偶函数。、实的偶函数。第21页/共83页第二十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。232 2 谱分解定理谱分解定理根据上面的性质，可将根据上面的性质，可将 分解成两项之积，即分解成两项之积，即：其中其中（零极点在零极点在s s上半平面上半平面）（零极点在零极
12、点在s s下半平面下半平面）且且谱分解定理谱分解定理 此时此时由由(3.1.17)式，用式，用s s代代替替j j后得后得第22页/共83页第二十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。243 SX()为有理函数时的均方值求法为有理函数时的均方值求法（1 1）利用）利用（2 2）直接利用积分公式）直接利用积分公式 （3 3）查表法）查表法（4 4）留数法）留数法 第23页/共83页第二十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。25留数定理留数定理设设B(s)B(s)为复变量为复变量s s的函数，且其绕原点的简单闭的函数，且其绕原点的简单闭曲线曲线C C反时针方向上和曲线反时针方向上和曲线C C
13、内部只有几个极点内部只有几个极点s=pi则则：一阶留数一阶留数 二阶留数二阶留数 第24页/共83页第二十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。26 上上式式积积分分路路径径是是沿沿着着j j轴轴，应应用用留留数数法法时时，要要求求积积分分沿沿着着一一个个闭闭合合围围线线进进行行。为为此此，考考虑虑沿沿着着左左半半平平面面上上的的一一个个半半径径为为无无穷穷大大的的半半圆圆积积分分。根根据据留留数定理，不难得出数定理，不难得出第25页/共83页第二十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。27例例:考虑一个广义平稳随机过程考虑一个广义平稳随机过程X(t)X(t)，具有功，具有功率谱密度率谱密
14、度 求过程的均方值求过程的均方值解解:用复频率的方法来求解。用复频率的方法来求解。用用 代代入入上上式式得得用用复复频频率率s s表表示示得得功功率率谱谱密度：密度：第26页/共83页第二十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。28因式分解：因式分解：S SX X(s)(s)在左半平面内有两个极在左半平面内有两个极点：点：-1-1和和-3-3。于是可以分别计。于是可以分别计算这两个极点的留数为：算这两个极点的留数为：故：故：第27页/共83页第二十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。29查表法：查表法：当用复频率当用复频率s=j 来表示功率谱密度时，可以来表示功率谱密度时，可以 SX(s
15、)表表示成如下形式示成如下形式c(s)和和d(s)都是都是s的多项式的多项式满足满足:(1)d(s)的阶次高于的阶次高于c(s)的阶次的阶次;(2)d(s)每项系数都不为零每项系数都不为零。题中题中c(s)=s+2，d(s)=(s+1)(s+2)=s2+4s+3。利用积分表。利用积分表将将c0=2，c1=1，d0=3，d1=4，d2=1代入上式得代入上式得 I2=（3+4）/（2*3*4*1）=7/24于是求得方程的均方值于是求得方程的均方值Ex2(t)=7/24第28页/共83页第二十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。30第29页/共83页第三十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。3
16、13.3 3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。功率谱密度。1 1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)X(t)是是平稳平稳的，自相关函数绝对可积，的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：第30页/共83页第三十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。322.2.证明：证明：第31页/共83页第三十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。33设设则则所以：所以：t1t
17、2-TT2TTu-2Tt/2-=Tut/2+-=Tut/2+=Tut/2-=Tut-T第32页/共83页第三十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。34(注意注意 ，。通常情况下，第二项为通常情况下，第二项为0)0)书上此处有错书上此处有错2TTu-2Tt/2-=Tut/2+-=Tut/2+=Tut/2-=Tut-T第33页/共83页第三十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。35推论：对于一般的随机过程推论：对于一般的随机过程X(t)X(t)，有：，有：平均功率为：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳的性质，又可将维纳辛钦
18、定理表示成：辛钦定理表示成：第34页/共83页第三十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。363 3单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)x(t)的自相关函数的自相关函数R RX X()是是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。率谱。第35页/共83页第三十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。37第36页/共83页第三十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。38第37页/共83页第三十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。39 实际中会遇到实际中
19、会遇到R RX X()不是绝对可积的情况，这时维纳辛钦定理不是绝对可积的情况，这时维纳辛钦定理不成立。但是可以引入不成立。但是可以引入d d函数，在新的意义下将功率谱密度函数，在新的意义下将功率谱密度和自相关函数联系起来。如和自相关函数联系起来。如常见的几种付氏变换关系需要记住常见的几种付氏变换关系需要记住注注意意：第38页/共83页第三十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。40例：平稳随机过程的自相关函数为例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0A0，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。解：应将积分按解：应将积分按t t和和-t t 分成两部分进行分成两部分进行 第39页/共83页第
20、四十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。41例：设例：设X(t)X(t)为随机相位随机过程为随机相位随机过程X(t)=X(t)=A Acos(cos(0 0t+t+q)q)其中，其中，A A，w w0 0为实常数为实常数，q q为随机相位为随机相位，在在(0,2(0,2p p)均匀分均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为数为R RX X(t t)=()=(A A2 2/2)cos(/2)cos(0 0t t)，求，求X(t)X(t)的功率谱密度的功率谱密度S SX X()()。解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不可
21、积，因不是有限值，即不可积，因此此R RX X(t t)的付氏变换不存在，需要引入的付氏变换不存在，需要引入d d函数。函数。第40页/共83页第四十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。42第41页/共83页第四十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。43与时间t有关，非平稳例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆皆为常数，为常数，为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳的平稳随机过程。求过程随机过程。求过程 的功率谱密度。的功率谱密度。解：解：第42页/共83页第四十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。443.4 3.4 离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密
22、度一、离散时间随机过程的功率谱密度一、离散时间随机过程的功率谱密度1 1平稳离散时间随机过程的相关函数平稳离散时间随机过程的相关函数 设设X(n)X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为数为:简写为：简写为：第43页/共83页第四十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。452 2平稳平稳离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密度 当当R Rx x(m)(m)满足条件式满足条件式 时，我们定义时，我们定义X(n)X(n)的功率谱密度为的功率谱密度为R Rx
23、x(m)(m)的离散傅里叶变换，并记的离散傅里叶变换，并记为为S SX X()T T是随机序列相邻各值的时间间隔。是随机序列相邻各值的时间间隔。S SX X()()是频率为是频率为 的周期性连续函数，其周期为的周期性连续函数，其周期为奈奎斯特频率奈奎斯特频率 第44页/共83页第四十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。46因为因为S SX X()为周期函数，周期为为周期函数，周期为 在在m=0时时第45页/共83页第四十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。473.3.谱分解谱分解 z z变换定义变换定义在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随
24、机过程的功率谱密度定义为散时间随机过程的功率谱密度定义为R RX X(m)(m)的的z z变换，并记为变换，并记为 ，即，即 式中式中式中，式中，D D为在为在 的收敛域内环绕的收敛域内环绕z z平面原点反平面原点反时针旋转的一条闭合围线。时针旋转的一条闭合围线。反变换：反变换：第46页/共83页第四十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。48 性质性质（因为因为 ）谱分解定理谱分解定理设设X(n)X(n)是广义平稳是广义平稳实实离散随机过程，具有离散随机过程，具有有理有理功率功率谱密度函数谱密度函数 。则。则 可分解为：可分解为：其中其中包含了包含了单位圆之内单位圆之内的全部零点和极点的全
25、部零点和极点包含了包含了单位圆之外单位圆之外的的全部零点和极点全部零点和极点第47页/共83页第四十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。49例：设例：设 ，求求 ,解：解：将将z=z=代人上式，即可求得代人上式，即可求得第48页/共83页第四十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。50连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号采样采样香农采样定理香农采样定理连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程 采样采样自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数FTDFT第49页/共83页第五十页，编辑
26、于星期一：二十一点 二十三分。51其中，其中，其中，其中，T T T T为采样周期，为采样周期，为采样周期，为采样周期，为在为在为在为在 时对时对时对时对 的采样。的采样。的采样。的采样。1 1 1 1 确知信号的采样定理确知信号的采样定理确知信号的采样定理确知信号的采样定理(香农采样定理香农采样定理香农采样定理香农采样定理)设设设设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围 ，当采样周期，当采样周期，当采样周期，当采样周期T T T T小于或等于小于或等于小于或等于小于或等
27、于 时，可将时，可将时，可将时，可将 展开为展开为展开为展开为二二二二 平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理第50页/共83页第五十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。52 若若若若 为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为 ，则当满足条件，则当满足条件，则当满足条件，则当满足条件 时，可将时，可将时，可将时，可将 按它的振幅采样展开为按它的振幅采样展开为按它的振幅采样展开为按它的振幅采样展开为二二二二 平稳随机
28、过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理第51页/共83页第五十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。53证明证明证明证明:带宽有限，带宽有限，带宽有限，带宽有限，第一步：第一步：(1)(1)的带宽也是有限的带宽也是有限的带宽也是有限的带宽也是有限(2)(2)令令令令 ，则则则则(3)(3)是确知函数，根据维纳是确知函数，根据维纳是确知函数，根据维纳是确知函数，根据维纳-辛钦定理，辛钦定理，辛钦定理，辛钦定理，对 ，对对对对 应用香农采样定理应用香农采样定理应用香农采样定理应用香农采样定理的，的，的，的，对对
29、对对 应用香农采样定理应用香农采样定理应用香农采样定理应用香农采样定理第52页/共83页第五十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。54第二步：第二步：令令令令，则则则则=0(2)(2)这说明，这说明，这说明，这说明，正交正交正交正交 又又又又 是是是是 的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合，因此因此因此因此正交正交正交正交第53页/共83页第五十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。55即即即即 (4)又又又又(5)(3)(3)第三步：第三步：=0即即即即第54页/共83页第五十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。56第一步第一步第一步第一步第二步第二步第二步第二步第三步第三步第
30、三步第三步(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(5)=0第55页/共83页第五十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。57 若平稳连续时间实随机过程若平稳连续时间实随机过程X(t)X(t)，其自相关函数和功率，其自相关函数和功率谱密度分别记为谱密度分别记为R Rc c()和和S Sc c()，对，对X(t)X(t)采样后所得离采样后所得离散时间随机过程散时间随机过程X(n)=X(nT)X(n)=X(nT)，X(n)X(n)的自相关函数和功的自相关函数和功率谱密度分别记为率谱密度分别记为R(R(m m)和和S(S()，则有，则有 三三 功率谱密度的采功率谱密度的采样定理样定理第56页/共
31、83页第五十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。58证明证明:(1)(1)根据定义根据定义=由由可见，可见，即即样可得样可得=(2)(2)进行等间隔的采进行等间隔的采对第57页/共83页第五十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。59连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程采样自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数F TDFT第58页/共83页第五十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。60结论：结论：结论：结论：（1 1 1 1）离散时间随机过程的自相关函数）离散时间随机过程的自相关函数）离散时间随机过
32、程的自相关函数）离散时间随机过程的自相关函数R(m)R(m)R(m)R(m)正是对连续过正是对连续过正是对连续过正是对连续过程自相关函数程自相关函数程自相关函数程自相关函数R R R RC C C C(t t t t )的采样。的采样。的采样。的采样。（2 2 2 2）S S(w w w w)等于等于等于等于S SC C(w w w w)及及及及S SC C(w w w w)的所有各位移之和，的所有各位移之和，的所有各位移之和，的所有各位移之和，即即即即S SC C(w w w w)以以以以2 2 2 2w w w wq q q q为周期延拓，所以为周期延拓，所以为周期延拓，所以为周期延拓，所
33、以S S S S(w w w w)为周期函数。为周期函数。为周期函数。为周期函数。第59页/共83页第六十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。613.5 3.5 联合平稳随机过程的互谱密度联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程考虑两个平稳实随机过程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)，它们的样本它们的样本函数分别为函数分别为x(t)x(t)和和y(t)y(t)，定义两个截断函数，定义两个截断函数x xT T(t)(t)、y yT T(t)(t)为：为：第60页/共83页第六十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。62 因为因为x xT T(t)(t)、y
34、yT T(t)(t)都满足绝对可积的条件，所以它都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T(-T，T)T)内，两个随机内，两个随机过程的互功率过程的互功率Q QXYXY(T)(T)为为:由于由于x xT T(t)(t)、y yT T(t)(t)的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即理对它们也适用，即:第61页/共83页第六十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。63 注意到上式中，注意到上式中，x(t)x(t)和和y(t)y(t)是任一样本函数，因此具是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令有随机
35、性，取数学期望，并令T T得：得：第62页/共83页第六十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。64 定义互功率谱密度为：定义互功率谱密度为：则则同理，有：同理，有：且且第63页/共83页第六十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。65二、互谱密度和互相关函数的关系二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数自相关函数 功率谱密度功率谱密度 F互相关函数互相关函数 互谱密度互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程定义：对于两个实随机过程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)，其，其互谱密度互谱密度 与互相关函数与互相关函数 之间的之间的关系为关系为 即即第64页/共83页第六十五页，编辑于星期一：二
36、十一点 二十三分。66若若X(t)X(t)、Y(t)Y(t)各自平稳且联合平稳，则各自平稳且联合平稳，则有有即即结论：对于两个联合平稳结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平至少是广义联合平稳稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。数互为傅里叶变换。第65页/共83页第六十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。67三、互谱密度的性质三、互谱密度的性质性质性质1 1：证明：证明：（令令 ）第66页/共83页第六十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。68性质性质2 2：证明：证明：由性质由性质1 1知知同理可证同理可证又又 第67
37、页/共83页第六十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。69性质性质3 3：证明：类似性质证明：类似性质2 2证明。证明。性质性质4 4：若若X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交，则有正交，则有 证明：证明：若若X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交，则正交，则 所所以以第68页/共83页第六十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。70性质性质5 5：若若X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)不相关，不相关，X(t)X(t)、Y(t)Y(t)分别分别具有常数均值具有常数均值m mX X和和m mY Y,则则 证明：证明：因为因为X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)不相关，所以不相关，所
38、以（）第69页/共83页第七十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。71性质性质6 6：注意：注意：互功率谱密度和功率谱密度不互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率同，它不再是频率 的的正的、实的、偶正的、实的、偶函数。函数。第70页/共83页第七十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。72解：解：例：设两个随机过程例：设两个随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)联合平稳，其互相关函数联合平稳，其互相关函数R RXYXY(t)(t)为为:求互谱密度求互谱密度 ，。第71页/共83页第七十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。733.6 3.6 白噪声白噪声一、理想白噪声一、理想白
39、噪声定义：若定义：若N(t)N(t)为一个具有为一个具有零均值零均值的的平稳平稳随机过程，其随机过程，其功率谱密度均匀分布在功率谱密度均匀分布在(-(-,),)的整个频率区间，即的整个频率区间，即 其中其中,N,N0 0为一正实常数，则称为一正实常数，则称N(t)N(t)为白噪声过程或为白噪声过程或简称为白噪声。简称为白噪声。第72页/共83页第七十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。74自相关函数为自相关函数为 自相关系数为自相关系数为 第73页/共83页第七十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。75总结：总结：（1 1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。）白噪声只是一种理想化
40、的模型，是不存在的。（2 2）白噪声的均方值为无限大）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。（3 3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。第74页/共83页第七十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。76二、限带白噪声二、限带白噪声1 1低通低通型型定义：若过程的功率谱密度满足定义：若过程的功率谱密度满足 则称此过程为则称此过程为低通型低通型限带白噪声。将白噪限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，可产生低通型声通过一个理想低通滤波器，可产生低通型限带白噪声。限带白噪声。
41、第75页/共83页第七十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。77低通型限带白噪声的自相关函数为低通型限带白噪声的自相关函数为第76页/共83页第七十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。78图图3.113.11示出了低通型限带白噪声的示出了低通型限带白噪声的S SX X()和和R RX X()的图形，的图形，注意，时间间隔注意，时间间隔/W/W为整数倍的那些随机变量，彼此是不相为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为关的（均值为0 0，相关函数值为，相关函数值为0 0）。）。第77页/共83页第七十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。792.2.带通带通型型带通型限带白噪声的功
42、率谱密度为带通型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳由维纳辛钦定理，得到相应的自相关函数为辛钦定理，得到相应的自相关函数为 第78页/共83页第七十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。80带通型限带白带通型限带白噪声的噪声的 和和 的图形的图形 第79页/共83页第八十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。81三、色噪声三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。或简称色噪声。第80页/共83页第八十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。82小小 结结
43、 1.1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即若随机过程若随机过程X(t)X(t)平稳，则平稳，则 第81页/共83页第八十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。832.2.平均功率的四种求法：平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有个查表；留数；对功率谱密度求积分（有个 系数）；求相关函数后令系数）；求相关函数后令 .一般过程：一般过程：3.3.随机过程的平均功率：随机过程的平均功率：即即集合平均统计平均集合平均统计平均。4.4.特定函数的付氏变换需记忆。特定函数的付氏变换需记忆。第82页/共83页第八十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。