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1、微分微分(wi fn)中值定理中值定理78534第一页，共22页。2023/2/262023/2/262 2一一一一 问题问题问题问题(wnt)(wnt)的提出的提出的提出的提出(Introduction)(Introduction)我们我们(w men)知道，导数是刻划函数在一点知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性
2、态有何关系呢？中数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展是解决微分学自身发展(fzhn)的一种理论性数学模型。的一种理论性数学模型。第1页/共22页第二页，共22页。2023/2/262023/2/263 3二二 微分微分(wi fn)中值定理中值定理(The
3、 Mean Value Theorem)微分中值定理的核心微分中值定理的核心(hxn)是拉格朗日是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。是它的特例，柯西定理是它的推广。1 预备预备(ybi)定理定理费马（费马（Fermat）定理）定理 费马（费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。第2页/共22页第三页，共22页。2023/2/262023/2/264 4几
4、何几何(j h)(j h)解解释释:第3页/共22页第四页，共22页。2023/2/262023/2/265 5证明证明(zhngmng):第4页/共22页第五页，共22页。2023/2/262023/2/266 6几何几何(j h)(j h)解解释释:2 罗尔(Rolle)定理(dngl)(Rolles Theorem)第5页/共22页第六页，共22页。2023/2/262023/2/267 7证证第6页/共22页第七页，共22页。2023/2/262023/2/268 8第7页/共22页第八页，共22页。2023/2/262023/2/269 9注注1:若罗尔定理的三个条件若罗尔定理的三个
5、条件(tiojin)中有一个不满足中有一个不满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如(lr),例如例如(lr),XY-110注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.第8页/共22页第九页，共22页。2023/2/262023/2/261010例例1 12）唯一性）唯一性由零点由零点(ln din)定理定理即为方程即为方程(fngchng)的正实根的正实根.矛盾矛盾(modn),证：证：1）存在性）存在性第9页/共22页第十页，共22页。2023/2/262023/2/2611113 拉格朗日(Lagrange)中值定理(dngl)第10
6、页/共22页第十一页，共22页。2023/2/262023/2/261212几何几何(j h)解解释释:证证分析分析(fnx):弦弦AB方程方程(fngchng)为为化化归归证证明明法法第11页/共22页第十二页，共22页。2023/2/262023/2/261313作辅助作辅助(fzh)函函数数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)注意注意:拉氏公式精确地表达拉氏公式精确地表达(biod)(biod)了函数在一个区了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系关系.第12页/共22页第十三页，共22页。2023/2/2620
7、23/2/261414拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)又称有限增量公式又称有限增量公式(gngsh).推论推论(tuln)1拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)另外的表达方式：另外的表达方式：第13页/共22页第十四页，共22页。2023/2/262023/2/261515例例2 2证证由上式得由上式得第14页/共22页第十五页，共22页。2023/2/262023/2/2616164 柯西(Cauchy)中值定理(dngl)第15页/共22页第十六页，共22页。2023/2/262023/2/261717几何几何(j h)解释解释:证证作辅助作辅助(fzh)函数函数第
8、16页/共22页第十七页，共22页。2023/2/262023/2/261818第17页/共22页第十八页，共22页。2023/2/262023/2/261919例例4 4第18页/共22页第十九页，共22页。2023/2/262023/2/262020第19页/共22页第二十页，共22页。2023/2/262023/2/262121三三 小结小结(xioji)(xioji)与思与思考判断题考判断题Rolle定理定理(dngl)Lagrange中值定理中值定理(dngl)Cauchy中值定理中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理第20页/共22页第二十一页，共22页。2023/2/262023/2/262222思考题思考题 1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能就可能(knng)不成立不成立.2第21页/共22页第二十二页，共22页。