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1、微分微分(wi fn)中值定理赵树嫄中值定理赵树嫄第一页，共28页。一、罗尔定理一、罗尔定理(dngl)二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)三、柯西中值定理三、柯西中值定理 第三章 第1页/共28页第二页，共28页。问题问题(wnt)(wnt)的提出的提出 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映学模型，它反映(fnyng)的是函数在一点处的局部变的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变函数在某区间上
2、的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识是利用微分学知识(zh shi)解决应用问题的数学模型，解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。第2页/共28页第三页，共28页。费马引理费马引理费马引理费马引理一、罗尔定理一、罗
3、尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理(dngl)(dngl)且 存在(cnzi)证证:设则证毕证毕第3页/共28页第四页，共28页。几何几何(j h)(j h)解解释释:导数等于零的点称为(chn wi)函数的驻点(或稳定点、临界点)第4页/共28页第五页，共28页。罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理(dngl)(dngl)满足(mnz):(1)在闭区间(q jin)a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点第5页/共28页第六页，共28页。若若 M m,M m,则则 M M 和
4、和 m m 中至少中至少(zhsho)(zhsho)有一个与端点有一个与端点值不等值不等,不妨(bfng)设 则至少(zhsho)存在一点使注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得 第6页/共28页第七页，共28页。使2)2)定理条件定理条件(tiojin)(tiojin)只是只是充分的充分的.本定理(dngl)可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在(cnzi)一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.第7页/共28页第八页，共28页。例例例例1.1.证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)方程方程方程方程有且仅有
5、一个(y)小于1的正实根.证证:1):1)存在存在(cnzi)(cnzi)性性.则在 0,1 连续,且由零点定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设第8页/共28页第九页，共28页。二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)(dngl)(1)在闭区间(q jin)a,b 上连续满足(mnz):(2)在开区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化
6、为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕证毕几何解释几何解释:在曲线弧在曲线弧AB上至少有一点上至少有一点,在该点处的在该点处的 切线平行于弦切线平行于弦AB第9页/共28页第十页，共28页。拉格朗日中值定理的有限增量拉格朗日中值定理的有限增量(zn(zn lin)lin)形式形式:推论推论(tul(tuln):n):若函数(hnsh)在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证证:在 I 上任取两点格朗日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.令则第10页/共28页第十一页，共28页。例例例例2.2.证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)等式等式等式等式证证:设由推
7、论(tuln)可知 (常数(chngsh)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上第11页/共28页第十二页，共28页。例例例例3.3.3.3.证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)不等式不等式不等式不等式证证:设中值定理(dngl)条件,即因为(yn wi)故因此应有第12页/共28页第十三页，共28页。三、柯西中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理(dngl)(dngl)分析分析(fnx)(fnx):及(1)在闭区间(q jin)a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3
8、)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证第13页/共28页第十四页，共28页。证证证证:作辅助作辅助作辅助作辅助(fzh)(fzh)(fzh)(fzh)函数函数函数函数且使即由罗尔定理知,至少存在(cnzi)一点思考思考:柯西定理柯西定理(dngl)(dngl)的下述证法对吗的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.第14页/共28页第十五页，共28页。柯西定理的几何柯西定理的几何柯西定理的几何柯西定理的几何(j h)(j h)(j h)(j h)意义意义意义意义:注意(zh y):弦的斜率(xil)切线斜率第15页/共28页第十六页，共28页。例例例例4 4.设设至少
9、(zhsho)存在一点使证证:结论结论(jiln)(jiln)可变可变形为形为设则在 0,1 上满足(mnz)柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明第16页/共28页第十七页，共28页。例例例例5.5.试证至少存在试证至少存在试证至少存在试证至少存在(cnzi)(cnzi)一一一一点点点点使证证:法法1 1 用柯西中值定理用柯西中值定理(dngl).(dngl).则 f(x),F(x)在 1,e 上满足(mnz)柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:第17页/共28页第十八页，共28页。例例例例5.5.试证至少存在试证至少存在试证至少存在试证至少存在(cnzi)(cnzi
10、)一点一点一点一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足(mnz)罗尔中值定理条件,使因此(ync)存在第18页/共28页第十九页，共28页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)小小小小结结结结1.微分(wi fn)中值定理的条件、结论及关系罗尔定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理第19页/共28页第二十页，共28页。思考思考思考思考(sko)(sko)与练习与练习与练习与练习1.填空题填空题1)函数(hnsh)在区间(q jin)1,2 上满足拉格朗日
11、定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程第20页/共28页第二十一页，共28页。2.2.设设且在内可导,证明(zhngmng)至少存在一点(y din)使提示提示(tsh(tsh):):由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设第21页/共28页第二十二页，共28页。3.3.若若可导,试证在其两个零点(ln din)间一定有的零点(ln din).提示提示(tsh(tsh):):设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.第22页/共28页第二十三页，共28页。4.4.思考思考思考思考(sko):(sko):在在在在即当时问是否问是否(sh fu)可可由此得出由此
12、得出 不能不能!因为(yn wi)是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得上对函数第23页/共28页第二十四页，共28页。作业作业(zuy)P132 7,8,10,12,14,15提示提示(tsh)(tsh):题15.题14.考虑(kol)第24页/共28页第二十五页，共28页。柯西柯西柯西柯西(17891789 1857)1857)法国(f u)数学家,他对数学(shxu)的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,第27页/共28页第二十八页，共28页。