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1、会计学1微积分三大中值定理微积分三大中值定理(dngl)详解详解第一页，共52页。一、引言一、引言一、引言一、引言(y(y nyn)(Introduction)nyn)(Introduction)导数刻划函数在一点处的变化率，它反映导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。整体变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质质(xngzh)与该区间内某一点导数之间的关与该区间内某一点导数之间的
2、关系。系。中值定理既是利用微分学解决应用问题的中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。第2页/共52页第二页，共52页。二、微分二、微分二、微分二、微分(wi fn)(wi fn)中值定理中值定理中值定理中值定理The Mean The Mean Value TheoremValue Theorem 在在微微分分中中值值定定理理的的三三个个定定理理中中，拉拉格格朗朗日日(Lagrange)中中值值定定理理是是核核心心定定理理，罗罗尔尔中中值值定定理理是是它它的特例，柯西中值定理是它的推广的特例，柯西中值定理是它的推广(
3、tugung)。下面我们逐一介绍微分中值定理。下面我们逐一介绍微分中值定理。第3页/共52页第三页，共52页。1、罗尔、罗尔(Rolle)定理定理(dngl)(R-Th)1)在闭区间在闭区间 上连续上连续;2)在开区间在开区间 内可导内可导;有一点有一点则则在在内至少内至少 使使若函数若函数满足：满足：3)aboyABx第4页/共52页第四页，共52页。几何几何(j h)意义意义:在在两两端端点点高高度度相相同同的的连连续续光光滑滑的的曲曲线线弧弧上上,若若除除端端点点外外处处处处(chch)有有不不垂垂直直于于x轴轴的的切切线线,则则此此曲曲线线弧弧上上至至少少有有一一点点处处的的切切线线是
4、是水水平平的的.或或者者说说切切线线与与端端点点的的连连线线AB平行平行.aboyABx第5页/共52页第五页，共52页。证明证明(zhngmng)xaboyAB1)若若即即恒为常数恒为常数,可取可取(a,b)内任一点作为内任一点作为2)若若由由知知,M,m 至少有一个要在至少有一个要在内取得内取得.不妨设不妨设 M 在在内点内点处取得处取得,即即所以所以(suy),证毕证毕.第6页/共52页第六页，共52页。注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件(chn fn tio jin)，任一条都不是必要条件。，任一条都不是必要条件。若函数不满足条件组，则
5、不一定有罗尔定理的结若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。论。第7页/共52页第七页，共52页。xyo1 11再如再如,在右端点在右端点(dun din)不连续不连续,但但第8页/共52页第八页，共52页。然而然而(rn r),w注注 意意：零零 值值 定定 理理 求求 函函 数数 的的 零零 点点(函函 数数 方方 程程(fngchng)的的实实根根)，罗罗尔尔定定理理求求导导数数的的零零点点(导导数方程数方程(fngchng)的实根的实根)。w题题型型1：验验证证定定理理的的正正确确性性。定定理理结结论论中中的的客客观观存存在在，且且可可能能不不唯唯一一，但但未未给给出出其其具具体
6、体位位置置。令令导导数数为为零零，求求解解方方程程(fngchng)的的根根，可可确确定定其其具具体位置。体位置。w题型题型2：找区间：找区间(比较复杂比较复杂)；w题题型型3：找找函函数数(由由结结论论入入手手，求求解解微微分分方方程程(fngchng)在在x=0处不可导处不可导,也不存在也不存在(cnzi)结论中的点结论中的点第9页/共52页第九页，共52页。第10页/共52页第十页，共52页。第11页/共52页第十一页，共52页。第12页/共52页第十二页，共52页。注：本例中，应用定理注：本例中，应用定理(dngl)的关键是主动找区间。的关键是主动找区间。第13页/共52页第十三页，共
7、52页。第14页/共52页第十四页，共52页。第15页/共52页第十五页，共52页。例例例例4 4 设设设设f(x)f(x)可导，且可导，且可导，且可导，且f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0，试证在，试证在，试证在，试证在(a,b)(a,b)内内内内至少存在一点至少存在一点至少存在一点至少存在一点，使，使，使，使f(f()+f()+f()=0)=0证明：构造函数证明：构造函数证明：构造函数证明：构造函数 F(x)=f(x)ex F(x)=f(x)ex则则则则 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于由于由于由于
8、(yuy)F(x)(yuy)F(x)在在在在a,ba,b上连续，在开区间上连续，在开区间上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)(a,b)内可导内可导内可导内可导且且且且 F(x)=f(x)ex+f(x)ex F(x)=f(x)ex+f(x)ex所以，在所以，在所以，在所以，在(a,b)(a,b)内至少存在一点内至少存在一点内至少存在一点内至少存在一点 ，有，有，有，有F(F()=0)=0即即即即 e e f(f()+e)+e f(f()=0)=0 f(f()+f()+f()=0)=0第16页/共52页第十六页，共52页。例例例例5 5 已知已知已知已知f(x)f(x)在区间在区间在区间在区
9、间(a,b)(a,b)内存在二阶导数，内存在二阶导数，内存在二阶导数，内存在二阶导数，ax1x2x3bax1x2x3b，且，且，且，且f(x1)=f(x2)=f(x3)f(x1)=f(x2)=f(x3)，试，试，试，试证明在证明在证明在证明在(a,b)(a,b)内至少内至少内至少内至少(zhsho)(zhsho)存在一点存在一点存在一点存在一点 ，使，使，使，使f(f()=0)=0证明：证明：证明：证明：f(x)f(x)在区间在区间在区间在区间(a,b)(a,b)内二阶可导内二阶可导内二阶可导内二阶可导f(x)f(x)在区间在区间在区间在区间x1,x2x1,x2，x2,x3x2,x3内连续可导
10、内连续可导内连续可导内连续可导 f(x1)=f(x2)=f(x3)f(x1)=f(x2)=f(x3)由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 1 1(x1,x2)(x1,x2)，2 2(x2,x3)(x2,x3)使得使得使得使得f(f(1)=0 1)=0，f(f(2)=0 2)=0再由罗尔定理得，再由罗尔定理得，再由罗尔定理得，再由罗尔定理得，第17页/共52页第十七页，共52页。解解答答第18页/共52页第十八页，共52页。第19页/共52页第十九页，共52页。解解答答第20页/共52页第二十页，共52页。解解答答2）唯一性）唯一性由零点由零点(ln din)定理定理
11、即为方程即为方程(fngchng)的正实的正实根根.矛盾矛盾(modn),1）存在性）存在性注意：注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。在后面，本题还将用其他方法加以证明。第21页/共52页第二十一页，共52页。2、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)定理定理(dngl)(L-Th)或或1)在闭区间在闭区间上连续上连续;2)在开区间在开区间内可导内可导;至少有一点至少有一点若函数若函数满足：满足：aboyABxC则在则在内内定理定理(dngl)第22页/共52页第二十二页，共52页。几何几何(j h)意意义：义：在连续、光滑的曲线弧上，除端点外在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直
12、于处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点上至少存在一点C，在该点处的切线与连，在该点处的切线与连接接(linji)两端点的弦平行两端点的弦平行.aboyABxC第23页/共52页第二十三页，共52页。分析分析(fnx)要证要证即证即证即证即证令令只须证只须证只须证只须证在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.第24页/共52页第二十四页，共52页。证明证明(zhngmng)易见易见在在上连续，上连续，在在内可导，内可导，且且即即根据根据(gnj)罗尔定理罗尔定理知，知，使使即即即即构造辅助构造辅助(fzh)函数函数第25页/共52页第二十五页，共52页。2
13、)定理结论肯定中间值定理结论肯定中间值 的客观存在的客观存在,但但未指明确切位置未指明确切位置,可通过求解导数方程确可通过求解导数方程确定。定。(题型题型1：验证定理的正确性：验证定理的正确性)1)定理的条件定理的条件(tiojin)组是充分条件组是充分条件(tiojin)。.注意注意(zh y)3)题型题型2：找区间：找区间(q jin)；4)题型题型3：找函数；：找函数；5)题型题型4：证明等式；：证明等式；6)题型题型5：证明不等式。：证明不等式。第26页/共52页第二十六页，共52页。1)(1)或或(2)式对于式对于时也成立时也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh).2)
14、若令若令则则,于是于是(ysh)拉格朗日公式可写成拉格朗日公式可写成:(3)3)若令若令则得有限增量则得有限增量(zn lin)公式公式:(4)说明说明（2）注注 式中的式中的可能不止一个可能不止一个,这并不影响它在理论上的应用这并不影响它在理论上的应用第27页/共52页第二十七页，共52页。n n 4 4）是函数增量是函数增量 的近似的近似(jn s)(jn s)表表达式达式n n 是函数增量是函数增量 的精确表达式的精确表达式第28页/共52页第二十八页，共52页。证明证明(zhngmng)不妨设不妨设在在上应用中值定理上应用中值定理,使使所以所以(suy),由由的任意性知的任意性知,对对
15、第29页/共52页第二十九页，共52页。第30页/共52页第三十页，共52页。例例例例8 8 已知函数已知函数已知函数已知函数f(x)f(x)在在在在(,+,+)内满足内满足内满足内满足(mnz)(mnz)关系式关系式关系式关系式f(x)=f(x)f(x)=f(x)，且，且，且，且f(0)=1,f(0)=1,证明：证明：证明：证明：f(x)=ex f(x)=ex。证明：构造函数证明：构造函数证明：构造函数证明：构造函数第31页/共52页第三十一页，共52页。证明证明(zhngmng)由推论由推论(tuln)1知知即即第32页/共52页第三十二页，共52页。解解在闭区间在闭区间0，1上连续上连续
16、,在开区间在开区间(0,1)内可导内可导,满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件,即即即的确即的确(dqu)在在 (0,1)内找到内找到使定理使定理(dngl)成成立立.应用应用(yngyng)定理知定理知例例9 验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函数在区间在区间 0,1 上的正确性上的正确性,并求并求第33页/共52页第三十三页，共52页。解解答答第34页/共52页第三十四页，共52页。时时,例例10 证明证明(zhngmng):当当证证 设设对对在在上应用上应用拉氏中值定理拉氏中值定理,使使即即因因 所以所以(suy)即即第35页/共52页第三十五页，共52页。
17、第36页/共52页第三十六页，共52页。第37页/共52页第三十七页，共52页。证证明明第38页/共52页第三十八页，共52页。第39页/共52页第三十九页，共52页。证证明明第40页/共52页第四十页，共52页。第41页/共52页第四十一页，共52页。若函数若函数满足满足:则在则在 内至少存在一点内至少存在一点使得使得(sh de)1)在闭区间在闭区间上连续上连续;2)在开区间在开区间内可导内可导;且且3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(dngl)(C-Th)定理定理(dngl)第42页/共52页第四十二页，共52页。第43页/共52页第四十三页，共52页。第44页/共52页第四
18、十四页，共52页。Z 思思考考(sko)2、证明、证明(zhngmng)第45页/共52页第四十五页，共52页。解答解答(jid)2o 对对f(x)在在b,a上用上用(shn yn)拉格朗日公式拉格朗日公式,即即2、证明(zhngmng)1o 由所要证明(zhngmng)的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令 f(x)=lnx,xb,a.1、B.点c不能为任意，因为函数和区间确定时，L-TH结论中的c的位置是客观确定的。第46页/共52页第四十六页，共52页。n n例例例例1717：设：设：设：设f(x)f(x)在在在在a,ba,b上连续，在上连续，在上连续，在上连续，在(a,b)(a,b)
19、内可导，证内可导，证内可导，证内可导，证明：在明：在明：在明：在(a,b)(a,b)内存在内存在内存在内存在(cnzi)(cnzi)一点一点一点一点，,使得使得使得使得f(x)，g(x)在在a,b上满足上满足(mnz)柯西中值定理，在柯西中值定理，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得第47页/共52页第四十七页，共52页。n n左边分母左边分母左边分母左边分母(fnm(fnm)有理化有理化有理化有理化又因为又因为f(x)在在a,b上满足拉格朗日中值定理，所上满足拉格朗日中值定理，所以在以在(a,b)内至少存在内至少存在(cnzi)一点一点，使得，使得第48页/共52页第四十八页
20、，共52页。小小 结：结：v罗尔定理罗尔定理(dngl)v 如果函数如果函数y f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 在开区间在开区间(a b)内可导内可导 且有且有f(a)f(b)那么至少存在一点那么至少存在一点x(a b)使得使得vf(x)0 如如果果(rgu)函函数数f(x)在在闭闭区区间间a b上上连连续续 在在开开区区间间(a b)内内可可导导 那那么么在在(a b)内内至至少少有有一一点点x 使得使得f(b)f(a)f(x)(ba)v拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(dngl)1.三个中值定理三个中值定理第49页/共52页第四十九页，共52页。v柯西中值定理柯西中值定理v 函
21、数函数f(x)及及F(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 在开区间在开区间(a b)内可导内可导 且且F(x)在在(a b)内恒不为零内恒不为零 那么在那么在(a b)内至少内至少(zhsho)有一点有一点x 使得使得2.利用三个中值定理证明利用三个中值定理证明(zhngmng)一些命题一些命题第50页/共52页第五十页，共52页。P164练习练习(linx)4.1 T6(3);P199 T5P196202 习题四习题四 相关相关(xinggun)练习自选完成练习自选完成作业作业先看书先看书再做练习再做练习第51页/共52页第五十一页，共52页。2015年9月江西财经大学 信息管理学院(xuyun)52感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第52页/共52页第五十二页，共52页。