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1、第四章 时间序列模型的性质第一页，本课件共有114页第一节 自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质返回本节首页下一页上一页第二页，本课件共有114页一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第三页，本课件共有114页1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：第四页，本课件共有114页第五页，本课件共有114页2.ar(1)过程的自相关函数第六页，本课件共有114页第七
2、页，本课件共有114页第八页，本课件共有114页第九页，本课件共有114页通过上述推导可看出，当过程平稳即通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，时，AR(1)过程的自相关函数（过程的自相关函数（ACF）呈指）呈指数衰减。数衰减。如果如果 ，那么所有的自相关系数都为正，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。并逐渐衰减。如果如果 ，自相关系数的符号以负号开始，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。并呈正、负交替逐渐衰减。第十页，本课件共有114页例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图
3、第十一页，本课件共有114页-6-4-202482848688909294969800例例1，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图第十二页，本课件共有114页例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减第十三页，本课件共有114页例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第十四页，本课件共有114页-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图第十五页，本课件共有114页例2：模拟生成的AR(1)过程自
4、相关图:呈正负交替指数衰减第十六页，本课件共有114页3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式第十七页，本课件共有114页第十八页，本课件共有114页第十九页，本课件共有114页第二十页，本课件共有114页第二十一页，本课件共有114页B.AR(1)过程的偏自相关函数第二十二页，本课件共有114页上述结论说明：上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取在滞后一阶有一峰值，其符号取决于决于 。滞后一阶以后。滞后一阶以后PACF截尾。截尾。第二十三页，本课件共有114页例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞
5、后一阶以后截尾第二十四页，本课件共有114页例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾第二十五页，本课件共有114页二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第二十六页，本课件共有114页B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。第二十七页，本课件共有114页第二十八页，本课件共有114页注：我们下面对注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足性质的讨论中都假定平稳性条件满足第二十九页，本课件共有114页-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域
6、所示过程的平稳性区域如下图三角域所示第三十页，本课件共有114页2.AR(2)过程的自相关函数第三十一页，本课件共有114页第三十二页，本课件共有114页第三十三页，本课件共有114页第三十四页，本课件共有114页通过上述推导可以如下结论，通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。第三十五页，本课件共有114页3.AR(2)过程的偏自相关函数第三十六页，本课件共有114页第三十七页，本课件共有114页通过上述证明可以得出如下结论：通过上述
7、证明可以得出如下结论：第三十八页，本课件共有114页例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第三十九页，本课件共有114页-4-202482848688909294969800例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第四十页，本课件共有114页例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾第四十一页，本课件共有114页例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过
8、程趋势图和自相关图第四十二页，本课件共有114页-6-4-2024682848688909294969800例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第四十三页，本课件共有114页例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾第四十四页，本课件共有114页例例3，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第四十五页，本课件共有114页-4-202482848688909294969800模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第四十六页
9、，本课件共有114页模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾第四十七页，本课件共有114页三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第四十八页，本课件共有114页B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值|i|1第四十九页，本课件共有114页其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。即如果1，2p是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|i|1注：下面对注：下面对AR(p)性质的讨论，都假
10、定性质的讨论，都假定平稳性条件满足。平稳性条件满足。第五十页，本课件共有114页对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。第五十一页，本课件共有114页2.AR(p)的自相关函数ACF第五十二页，本课件共有114页第五十三页，本课件共有114页通过上述推导有如下结论：通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有对于平稳过程，有|i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，所以，AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)滞滞后后p阶截尾。阶截尾。第五十六页，本课件
11、共有114页第二节 移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质返回本节首页下一页上一页第五十七页，本课件共有114页一、一阶移动平均过程MA(1)的性质一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页下一页上一页第五十八页，本课件共有114页1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，(B)=11B=0 的根的根必须在单位圆外。必须在单位圆外。第五十九页，本课件共有114页注：以后对注：以后对MA(1)过程性
12、质的讨论中，过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：都假定可逆性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果10at为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减第六十九页，本课件共有114页例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第七十页，本课件共有114页第七十一页，本课件共有114页Xt=at(0.85)at-1 =(1(0.85)B)at其中1=0.850呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾第七十二页，本课件共有114页二、二阶移动平均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页
13、下一页上一页第七十三页，本课件共有114页1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。第七十四页，本课件共有114页第七十五页，本课件共有114页2.MA(2)过程的自相关函数ACF第七十六页，本课件共有114页第七十七页，本课件共有114页第七十八页，本课件共有114页2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)第七十九页，本课件共有114页对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是实数，则kk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则kk 是一衰减的正弦波。第八十页，本课件共有114页第
14、八十一页，本课件共有114页滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)第八十二页，本课件共有114页第八十三页，本课件共有114页滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)第八十四页，本课件共有114页三、q阶移动平均过程MA(q)性质返回本节首页下一页上一页第八十五页，本课件共有114页1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。第八十六页，本课件共有114页对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。第八十七页，本课件共有114页2.MA(q)过程的自相关函数(AC
15、F)第八十八页，本课件共有114页因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。第八十九页，本课件共有114页3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。第九十页，本课件共有114页返回本节首页下一页上一页一、ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质第三节 自回归移动平均ARMA(p,q)过程第九十一页，本课件共有114页一、ARMA(1,1)的
16、性质返回本节首页下一页上一页第九十二页，本课件共有114页1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性第九十三页，本课件共有114页2.ARMA(1,1)过程的ACF第九十四页，本课件共有114页第九十五页，本课件共有114页第九十六页，本课件共有114页通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数由1和1共同决定。当k2时，自相关系数仅取决于1即差分方程(B)=0的根，呈指数衰减。第九十七页，本课件共有114页3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数
17、衰减的形态由1和1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。第九十八页，本课件共有114页例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：第九十九页，本课件共有114页例例1.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾第一百页，本课件共有114页例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：第一百零一页，本课件共有114页例例2.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾第一百零
18、二页，本课件共有114页第一百零三页，本课件共有114页返回本节首页下一页上一页二、ARMA(p,q)过程的性质第一百零四页，本课件共有114页1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性第一百零五页，本课件共有114页第一百零六页，本课件共有114页2.ARMA(p,q)过程的ACF第一百零七页，本课件共有114页第一百零八页，本课件共有114页由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后滞后q阶后拖尾。阶后拖尾。当kq时，即前q项自相关系数q,q-11取决于自回归和移动平均的参数。当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数，即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与移动平均的
19、参数无关。第一百零九页，本课件共有114页3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式比较复杂，由于它包括MA过程这个特例，所以它的PACF也由(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。第一百一十页，本课件共有114页既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间序列的样本自相关图判断ARMA模型的阶数就比较困难。但是如果通过样本自相关图得到一个时间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们至少能判断出该过程不是纯AR或纯MA过程，而是混合ARMA过程。至于模型阶数的确定，第五章将作介绍。第一百一十一页，本课件共有114页第四节 ARMA 模型的性质总结第一百一十二页，本课件共有114页第一百一十三页，本课件共有114页Thank you very much!第一百一十四页，本课件共有114页