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1、第四章时间序列模型的性质第1页，此课件共114页哦第一节 自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质返回本节首页下一页上一页第2页，此课件共114页哦一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第3页，此课件共114页哦1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：第4页，此课件共114页哦第5页，此课件共114页哦2.ar(1)过程的自相关函数第6页，此课件共114页哦第7页
2、，此课件共114页哦第8页，此课件共114页哦第9页，此课件共114页哦通过上述推导可看出，当过程平稳即通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，时，AR(1)过程的自相关函数（过程的自相关函数（ACF）呈指数）呈指数衰减。衰减。如果如果 ，那么所有的自相关系数都为正，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。并逐渐衰减。如果如果 ，自相关系数的符号以负号开始，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。并呈正、负交替逐渐衰减。第10页，此课件共114页哦例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图
3、第11页，此课件共114页哦-6-4-202482848688909294969800例例1，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图第12页，此课件共114页哦例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减第13页，此课件共114页哦例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第14页，此课件共114页哦-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图第15页，此课件共114页哦例2：模拟生成的AR(1)过程自
4、相关图:呈正负交替指数衰减第16页，此课件共114页哦3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式第17页，此课件共114页哦第18页，此课件共114页哦第19页，此课件共114页哦第20页，此课件共114页哦第21页，此课件共114页哦B.AR(1)过程的偏自相关函数第22页，此课件共114页哦上述结论说明：上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取在滞后一阶有一峰值，其符号取决于决于 。滞后一阶以后。滞后一阶以后PACF截尾。截尾。第23页，此课件共114页哦例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶
5、以后截尾第24页，此课件共114页哦例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾第25页，此课件共114页哦二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第26页，此课件共114页哦B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。第27页，此课件共114页哦第28页，此课件共114页哦注：我们下面对注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足性质的讨论中都假定平稳性条件满足第29页，此课件共114页哦-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示过程的平稳性区
6、域如下图三角域所示第30页，此课件共114页哦2.AR(2)过程的自相关函数第31页，此课件共114页哦第32页，此课件共114页哦第33页，此课件共114页哦第34页，此课件共114页哦通过上述推导可以如下结论，通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。第35页，此课件共114页哦3.AR(2)过程的偏自相关函数第36页，此课件共114页哦第37页，此课件共114页哦通过上述证明可以得出如下结论：通过上述证明可以得出如下结论：第38页，
7、此课件共114页哦例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第39页，此课件共114页哦-4-202482848688909294969800例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第40页，此课件共114页哦例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾第41页，此课件共114页哦例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第42页，此课件共1
8、14页哦-6-4-2024682848688909294969800例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第43页，此课件共114页哦例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾第44页，此课件共114页哦例例3，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图第45页，此课件共114页哦-4-202482848688909294969800模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图第46页，此课件共114页哦模拟生成的模拟生成的AR(2
9、)过程自相关图过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾第47页，此课件共114页哦三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或返回本节首页下一页上一页第48页，此课件共114页哦B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值|i|1第49页，此课件共114页哦其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。即如果1，2p是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|i|1注：下面对注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定性质的讨论，都假定平稳性条件满足。平稳性条件满足。第
10、50页，此课件共114页哦对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。第51页，此课件共114页哦2.AR(p)的自相关函数ACF第52页，此课件共114页哦第53页，此课件共114页哦通过上述推导有如下结论：通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有对于平稳过程，有|i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，所以，AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)滞滞后后p阶截尾。阶截尾。第56页，此课件共114页哦第二节 移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA
11、(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质返回本节首页下一页上一页第57页，此课件共114页哦一、一阶移动平均过程MA(1)的性质一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页下一页上一页第58页，此课件共114页哦1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，(B)=11B=0 的根的根必须在单位圆外。必须在单位圆外。第59页，此课件共114页哦注：以后对注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：都假定可逆
12、性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果10at为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减第69页，此课件共114页哦例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第70页，此课件共114页哦第71页，此课件共114页哦Xt=at(0.85)at-1 =(1(0.85)B)at其中1=0.850呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾第72页，此课件共114页哦二、二阶移动平均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，at为零均值的白噪声。返回本节首页下一页上一页第73页，此课件共114页哦1.MA(2)过程的平稳性和可逆性
13、A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。第74页，此课件共114页哦第75页，此课件共114页哦2.MA(2)过程的自相关函数ACF第76页，此课件共114页哦第77页，此课件共114页哦第78页，此课件共114页哦2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)第79页，此课件共114页哦对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是实数，则kk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则kk 是一衰减的正弦波。第80页，此课件共114页哦第81页，此课件共114页哦滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)第82页，此课件共114页哦第83
14、页，此课件共114页哦滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)第84页，此课件共114页哦三、q阶移动平均过程MA(q)性质返回本节首页下一页上一页第85页，此课件共114页哦1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。第86页，此课件共114页哦对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。第87页，此课件共114页哦2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)第88页，此课件共114页哦因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。第89页，此课件共1
15、14页哦3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。第90页，此课件共114页哦返回本节首页下一页上一页一、ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质第三节 自回归移动平均ARMA(p,q)过程第91页，此课件共114页哦一、ARMA(1,1)的性质返回本节首页下一页上一页第92页，此课件共114页哦1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性第93页，
16、此课件共114页哦2.ARMA(1,1)过程的ACF第94页，此课件共114页哦第95页，此课件共114页哦第96页，此课件共114页哦通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数由1和1共同决定。当k2时，自相关系数仅取决于1即差分方程(B)=0的根，呈指数衰减。第97页，此课件共114页哦3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态由1和1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。第98页，此课件共114页哦例1
17、：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：第99页，此课件共114页哦例例1.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾第100页，此课件共114页哦例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：第101页，此课件共114页哦例例2.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾第102页，此课件共114页哦第103页，此课件共114页哦返回本节首页下一页上一页二、ARMA(p,q)过程的性质第104页，此课
18、件共114页哦1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性第105页，此课件共114页哦第106页，此课件共114页哦2.ARMA(p,q)过程的ACF第107页，此课件共114页哦第108页，此课件共114页哦由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后滞后q阶后拖尾。阶后拖尾。当kq时，即前q项自相关系数q,q-11取决于自回归和移动平均的参数。当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数，即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与移动平均的参数无关。第109页，此课件共114页哦3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式比较复杂，由于它包括
19、MA过程这个特例，所以它的PACF也由(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。第110页，此课件共114页哦既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间序列的样本自相关图判断ARMA模型的阶数就比较困难。但是如果通过样本自相关图得到一个时间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们至少能判断出该过程不是纯AR或纯MA过程，而是混合ARMA过程。至于模型阶数的确定，第五章将作介绍。第111页，此课件共114页哦第四节 ARMA 模型的性质总结第112页，此课件共114页哦第113页，此课件共114页哦Thank you very much!第114页，此课件共114页哦