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1、第2章2.12.1 传输线方程Transmission Line Equation 上上面面讨讨论论了了微微波波基基本本概概念念，并并且且指指出出了了工工程程中中所所关关心心的的微微波波传传输输问问题题。微微波波传传输输的的最最明明显显特特征征是是别别树树一一帜帜的的微微波波传传输输线线，例例如如，双双导导线线、同同轴轴线线、带带线线和和微微带带等等等等。我我们们很很容容易易提提出出一一个个问问题题：微微波波传输线为什么不采用传输线为什么不采用50Hz50Hz电明线呢电明线呢?一、低频传输线和微波传输线 低低频频电电路路有有很很多多课课程程，唯唯独独没没有有传传输输线线课课程程。理理由由很很简
2、简单单：只只有有两两根根线线有有什什么么理理论论可可言言？这这里里却却要要深入研究这个问题。深入研究这个问题。1 1、低频传输线、低频传输线 在在低低频频中中，我我们们中中要要研研究究一一条条线线(因因为为另另一一条条线线是是作作为为回回路路出出现现的的)。电电流流几几乎乎均均匀匀地地分分布布在在导导线线内内。电电流和电荷可等效地集中在轴线上，见图流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)(2-1)。由由分分析析可可知知，Poynting矢矢量量集集中中在在导导体体内内部部传传播播，外部极少。事实上，对于低频，我们只须用外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I I，V V和和 OhmOhm定
3、定律律解解决决即即可可，无无须须用用电电磁磁理理论论。不不论论导导线线怎怎样样弯弯曲曲，能能流流都都在在导导体体内内部部和和表表面面附附近近。(这这是是因因为为场场的平方反比定律的平方反比定律)。图图 2-1 2-1 低频传输线低频传输线一、低频传输线和微波传输线例例1 1计计算算半半径径r r0 0=2mm=210=2mm=210-3-3m m的的铜铜导导线线单单位位长长度度的直流线耗的直流线耗R R0 0 计及计及一、低频传输线和微波传输线代入铜材料代入铜材料同时考虑同时考虑OhmOhm定律定律2.2.微波传输线微波传输线 当当频频率率升升高高出出现现的的第第一一个个问问题题是是导导体体的
4、的集集肤肤效效应应(Skin Skin Effect)Effect)。导导体体的的电电流流、电电荷荷和和场场都都集集中中在在导导体表面。体表面。例例2 2研研究究 f=10GHz=10=10GHz=101010HzHz、l=3cm=3cm、r0 0=2mm=2mm导导线线的线耗的线耗R R 这种情况下，这种情况下，其其中中,的的表表面面电电流流密密度度，a a是是衰衰线线常常数数。对对于良导体，由电磁场理论可知于良导体，由电磁场理论可知 称之为集肤深度。称之为集肤深度。一、低频传输线和微波传输线计计及及在在微微波波波波段段中中，是是一一阶阶小小量量，对对于于 及及以以上量完全可以忽略。则上量完
5、全可以忽略。则 一、低频传输线和微波传输线而而和直流的同样情况比较和直流的同样情况比较从直流到从直流到10101010HzHz，损耗要增加损耗要增加15001500倍。倍。一、低频传输线和微波传输线图图2-2 2-2 直线电流均匀分布直线电流均匀分布 图图2-3 2-3 微波集肤效应微波集肤效应损损耗耗是是传传输输线线的的重重要要指指标标，如如果果要要将将 ，使使损损耗耗与直流保持相同，易算出与直流保持相同，易算出一、低频传输线和微波传输线也即直径是也即直径是d=6.06 md=6.06 m。这种情况，已不能称为微波传这种情况，已不能称为微波传输线，而应称之为微波传输输线，而应称之为微波传输“
6、柱柱”比较合适，其粗度比较合适，其粗度超过人民大会堂的主柱。超过人民大会堂的主柱。2 2米高的实心微波传输铜柱米高的实心微波传输铜柱约约514514吨重吨重(铜比重是铜比重是8.98.9T/m3)T/m3)，按我国古典名著西按我国古典名著西游记记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙王水晶宫游记记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙王水晶宫的定海神针，重的定海神针，重1010万万8 8千斤，即千斤，即5454吨。而这里的微波吨。而这里的微波柱是柱是514514吨，约吨，约9 9根金箍棒的重量，估计孙悟空是无法根金箍棒的重量，估计孙悟空是无法拿动的拿动的!集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几乎集肤效应带来
7、的第二个直接效果是：柱内部几乎无无物，并无能量传输。物，并无能量传输。一、低频传输线和微波传输线看看来来，微微波波传传输输线线必必须须走走自自己己的的路路。每每一一种种事事物物都都有有自自己己独独特特的的本本质质，硬硬把把不不适适合合的的情情况况强强加加给给它它，必必然然会会出出现现荒荒唐唐的的结结论论。刚刚才才讨讨论论的的例例子子正正是是因因为为我我们们硬硬设设想想把把微微波波“关关在在”铜铜导导线线内内传传播播，事事实实上上也也不不可可能能。“满满圆圆春春色色关关不不住住，一一枝枝红红杏杏出出墙墙来来”微微波波功功率率应应该该(绝绝大大部部分分)在在导导线线之之外外的的空空间间传传输输，这
8、便是结论。这便是结论。最最简简单单而而实实用用的的微微波波传传输输线线是是双双导导线线，它它们们与与低低频频传传输输线线有有着着本本质质的的不不同同：功功率率是是通通过过双双导导线线之之间的空间传输的。间的空间传输的。一、低频传输线和微波传输线这时，使我们更加明确了这时，使我们更加明确了Guide LineGuide Line的含义，导线只的含义，导线只是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间(Space)(Space)(但是，没有但是，没有Guide LineGuide Line又不行又不行)。D D和和d d是特是特征尺寸，对于传输线性质十分重要
9、。征尺寸，对于传输线性质十分重要。图图 2-4 2-4 双导线双导线一、低频传输线和微波传输线二、传输线方程 传传输输线线方方程程也也称称电电报报方方程程。在在沟沟通通大大西西洋洋电电缆缆(海海底底电电缆缆)时时，开开尔尔芬芬首首先先发发现现了了长长线线效效应应：电电报报信信号号的的反反射射、传传输输都都与与低低频频有有很很大大的的不不同同。经经过过仔仔细细研研究究，才才知知道道当当线线长长与与波波长长可可比比拟拟或或超超过过波波长长时时，我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。为为了了研研究究无无限限长长传传输输线线的的支支配配方方程程，定定义义电
10、电压压u u和电流和电流i i均是距离和时间的函数，即均是距离和时间的函数，即 (2-1)(2-1)图图 2-5 2-5 长线效应长线效应二、传输线方程利用基尔霍夫定律，有利用基尔霍夫定律，有 (2-2)(2-2)当典型当典型z0z0时，有时，有 (2-3)(2-3)式式(2-3)(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。是均匀传输线方程或电报方程。二、传输线方程如果我们着重研究时谐如果我们着重研究时谐(正弦或余弦正弦或余弦)的变化情况，有的变化情况，有 (2-4)(2-4)(2-4)(2-4)式中，式中，U(z)U(z)、I(z)I(z)只与只与z z有关，表示在传输线有关，表示在传输线z z处
11、处的电压或电流的有效复值。的电压或电流的有效复值。二、传输线方程(2-5)(2-5)三、无耗传输线方程无无耗耗传传输输线线是是我我们们所所研研究究的的最最重重要要条条件件之之一一，可可表表示示为：为：R=0R=0，G=0G=0这时方程写出这时方程写出二次求导的结果二次求导的结果 (2-7)(2-7)(2-6)(2-6)同样，和均匀平面波类比同样，和均匀平面波类比 最后，求解的结果也作了类比最后，求解的结果也作了类比.作为注记作为注记三、无耗传输线方程(2-8)(2-8)其中，特性阻抗其中，特性阻抗 均匀平面波中波阻抗均匀平面波中波阻抗 。式。式(2-8)(2-8)称为传输线方程之通解。而称为传
12、输线方程之通解。而 的确定还需要边界条件的确定还需要边界条件。很易得到很易得到三、无耗传输线方程四、无耗传输线的边界条件 把把通通解解转转化化为为具具体体解解，必必须须应应用用边边界界条条件件。所所讨讨论论的的边边界界条条件件有有：终终端端条条件件、源源端端条条件件和和电电源源、阻阻抗抗条条件件。所建立的也是两套坐标，所建立的也是两套坐标，z z从源出发，从源出发，从负载出发。从负载出发。1.1.终端边界条件终端边界条件(已知已知 )代入解内，有代入解内，有图图 2-6 2-6 边界条件坐标系边界条件坐标系()()四、无耗传输线的边界条件代入通解，为代入通解，为(2-9)(2-9)得到得到四、
13、无耗传输线的边界条件对对于于终终端端边边界界条条件件场场合合，我我们们常常喜喜欢欢采采用用z(z(终终端端出发出发)坐标系坐标系zz，计及计及EulerEuler公式公式四、无耗传输线的边界条件(2-10)(2-10)最后得到最后得到2.2.源端边界条件源端边界条件(已知已知 )四、无耗传输线的边界条件 在求解时，用在求解时，用 代入，形式与终端边界条件相同代入，形式与终端边界条件相同(2-11)(2-11)最后得到最后得到四、无耗传输线的边界条件(2-12)(2-12)3.3.电源阻抗条件电源阻抗条件(已知已知 )已知已知先考虑源条件先考虑源条件四、无耗传输线的边界条件所以所以即即再考虑终端条件再考虑终端条件四、无耗传输线的边界条件构成线性方程组构成线性方程组即即四、无耗传输线的边界条件 其中其中 称为反射系数。称为反射系数。四、无耗传输线的边界条件注注记记：传传输输线线方方程程通通解解中中有有 两两个个常常数数，而而源源阻阻抗抗已已知知条条件件为为 有有三三个个常常数数，这这之之间间是是否有矛盾否有矛盾?可得可得观察观察 可知可知(见式见式(2-14)(2-14)，真正的独立参数为，真正的独立参数为四、无耗传输线的边界条件(2-14)(2-14)(2-15(2-15）也是两个独立量。也是两个独立量。最后得到最后得到四、无耗传输线的边界条件(2-16(2-16）