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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第四节第四节 二元函数的极值二元函数的极值 第六章第六章(Absolute maximum and minimum values)一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法三、小结与思考练习三、小结与思考练习2/26/20231返回返回上页上页下页下页目录目录一、一、二元函数的极值二元函数的极值定义定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2/26/20232返
2、回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理定理1(必要条件必要条件)2/26/20233返回返回上页上页下页下页目录目录时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件充分条件)2/26/20234返回返回上页上页下页下页目录目录2/26
3、/20235返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:第一步 求驻点.第二步 判别.时,具有极值 1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.2/26/20236返回返回上页上页下页下页目录目录例.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2/26/20237返回返回上页上页下页下页目录目录在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 2/26/20238返回返回上页上页下页下页目录目录驻点驻点ABCAC B2判判 定定例例 求函数求函数 f(x,y)=x3 y3+3x2+3y2 9x 的极值。的极值。极大值极大值 31 60 12(3,2)无极值无极值60 12(3,0)无极值无极值 6012(1,2)极小值极小值 56012(1,0)2/26/20239返回返回上页上页下页下页目录目录例.讨论函数讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2/
5、26/202310返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和最小值.2/26/202311返回返回上页上页下页下页目录目录 从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域 D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明说明:2/26/202312返回返回上页上页下页下页目
6、录目录2/26/202313返回返回上页上页下页下页目录目录2/26/202314返回返回上页上页下页下页目录目录2/26/202315返回返回上页上页下页下页目录目录2/26/202316返回返回上页上页下页下页目录目录二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化2/26/202317返回返回上页上页下页下页目录目录如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如例如,故
7、 故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.2/26/202318返回返回上页上页下页下页目录目录引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.2/26/202319返回返回上页上页下页下页目录目录拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件推广推广2/26/202320返回返回上页上页下页下页目录目录解解 设所求平面的方程为设所求平面的方程为2/26/202321返回返回上页上页下页下页目录目录解方程组解方程组
8、2/26/202322返回返回上页上页下页下页目录目录2/26/202323返回返回上页上页下页下页目录目录提示：提示：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：2/26/202324返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法2/26/202325返回返回上页上页下页下页目录目录设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)2/26/202326返回返回上页上页下页下页目录目录习题习题64课外练习课外练习已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.思考练习思考练习解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),则 2/26/202327返回返回上页上页下页下页目录目录设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停2/26/202328