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1、YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.1一、极值一、极值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.2例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.32 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 00,fx yfxy 都都有有 000,.fx y
2、fxy 有有YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.4YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.5仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点注意：注意：; 0)0 , 0( , xxzyz. 0)0 , 0( , yyzxzYunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.6函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值。函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值。,0,0.xxzx x 例例：001
3、,00,1,0.xzzzxxxxxx 显显然然，的的点点都都是是极极小小点点，但但时时，时时，时时因因此此 在在时时偏偏导导数数不不存存在在2 :.定定理理极极值值点点必必为为驻驻点点或或至至少少有有一一个个偏偏导导数数不不存存在在的的点点YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.7YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.8 00,fx yxy设设在在点点取取到到极极值值，则则 0000,ffxx yyfxy 则则 2200002001(,2,2,)xyxyyfxx yyxfxx yyx yfxx yyy 22000000,xyxy
4、AfxyBfxyCfxy 00,xxfxx yyA 则则 00,xyfxx yyB YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.9 00,yyfxx yyC 0,0 xy 且且当当时时，0 0，0 0，0 0222211(2)(2)22fA xB x yC yxx yy 2220KfA xB x yC y 当当时时， 000,.MxyfKf 存存在在的的一一个个邻邻域域，使使得得在在这这个个邻邻域域内内，的的符符号号与与的的符符号号相相同同222KfA xB x yC y 对对于于二二次次型型，2HACB 记记 YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法
5、极值与最小二乘法.10利利用用高高等等代代数数的的知知识识，得得到到下下面面的的结结论论。10,0,0,0,0,HAHAH （ ）取取到到极极大大值值；（2 2）取取到到极极小小值值；（3 3）无无极极值值；（4 4）待待定定. .YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.11, 0),( yxfx0),( yxfyYunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.12例例4 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322x
6、yyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.13, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 , 1( yyfC22)3(66 BAC. 027 因此，驻点因此，驻点. )1 ,
7、 1(是是极极小小值值点点. 111311)1 , 1( 33 f极极小小值值YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.14与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.15求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处
8、的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.16, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy解解令令YunnanUniversity1. 极
9、值与最小二乘法极值与最小二乘法.17,21)21,21( z,21)21,21( z无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件并无其他条件. .YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.18解解厘米24xxxxx224槽的梯形截面面积为槽的梯形截面面积为221( ,)(242 )(2422 cos)sin2(242cos)sin24 sin2sinsincosS xxxxxxxxxxx 624x 例例有有一一块块薄薄铁铁皮皮，宽宽厘厘米米，把把两两边边折折起起，做做成成一一槽槽，求求 和和倾倾角角 ，使使槽槽的
10、的梯梯形形截截面面的的面面积积最最大大? ?YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.192222224 sin4 sin2 sincos024 cos2cossincos0SxxxxSxxxx 解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点问题归结为求问题归结为求 的最大值，先求稳定点的最大值，先求稳定点S8,3x 由于在这个问题中，最大值必达到，因此当由于在这个问题中，最大值必达到，因此当08,60 x 厘厘米米时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为239648 3832S 厘厘米米YunnanUni
11、versity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.20二、最小二乘法二、最小二乘法 1122111222, .,nnnnnnx Tx Tx TTaxbTaxbTaxb测测得得一一组组数数据据为为用用 21,niiiTaxb 表表示示相相应应的的偏偏差差 这这些些偏偏差差的的平平方方和和叫叫做做总总偏偏差差，记记为为即即,由由极极值值的的必必要要条条件件 令令YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.2100ab 解之解之, ,得得1112211nnniiiiiiinniiiinx TxTanxx YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小
12、二乘法.22211112211nnnniiiiiiiiinniiiiTxxx Tbnxx , ,a bTaxb有有了了就就可可以以确确定定最最小小二二乘乘关关系系式式YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.23.Taxb解解：设设最最小小二二乘乘关关系系式式为为则则总总偏偏差差为为 321222242.iiiTaxbbabab 10620066120abaabb 令令YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.2420ab 解解得得2 .Tx 所所求求的的关关系系式式为为注：最小二乘法主要用在生产实践中。注：最小二乘法主要用在生产实践
13、中。YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.25YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.26YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.27YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.28YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.29YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.30YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.31YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小
14、二乘法.32YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.33YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.34YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.35YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.36YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.37YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.38YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.39YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极
15、值与最小二乘法.40YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.41YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.42YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.43YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.44YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.45YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.46YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.47YunnanUniversity1. 极值与最小
16、二乘法极值与最小二乘法.48YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.49YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.50YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.51YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.52YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.53YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.54YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.55YunnanUniversity1. 极
17、值与最小二乘法极值与最小二乘法.56YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.57YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.58YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.59YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.60YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.61YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.62谢谢！谢谢！YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.63谢谢！谢谢！YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.64谢谢！谢谢！YunnanUniversity1. 极值与最小二乘法极值与最小二乘法.65谢谢！谢谢！