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1、1定理(dngl)6.6.1(必要条件)设函数在点处偏导数存在,并取得极值,则证明:不妨设在点处取得极大值.则,特别地,取有由一元函数极值(j zh)必要条件知,同理,使同时成立的点,的驻点.称为函数在 x=x0 点取得(qd)极大值，考虑一元函数第1页/共14页第一页，共15页。2注意(zh y):1)若极值点的偏导数存在(cnzi)，极值点必是驻点.2)函数的驻点(zh din)不一定是极值点.例 3)函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.但在(0,0)点取得极小值例4)函数的极值点：驻点不存在,不存在偏导数不存在的点第2页/共14页第二页，共15页。3定理(dngl)6.6.2(充分条件
2、)令(1).若有极值(j zh),(2).若(3).若情况(qngkung)不定.且设函数在点某邻域内及二阶连续偏导数,且有一阶是极大值.是极小值.不是极值.注意：结论(1)中的 A 换为 C 结论不变。第3页/共14页第三页，共15页。4例1.求函数的极值.解:得驻点(zh din):在点处,有极小值在点处,无极值(j zh).,无极值(j zh).有极大值,在点处,在点处,解方程组第4页/共14页第四页，共15页。5步骤(bzhu)：（2）对每个驻点(zh din)(x0 ,y0)，求出二阶偏导数的值A,B,C.（3）应用定理(dngl)4.9判定得出结论。（1）求求出驻点(x0 ,y0)
3、并令求函数 极值的方法和步骤.第5页/共14页第五页，共15页。6 最大值、最小值对于区域 D 内任一点,若恒有不等式在平面区域内有定义,设函数最大值与最小值统称(tngchng)为最值.例如(lr)：在点处取得(qd)最小值 0.在点处取得最大值 2.则称该函数在点 处有最大值使函数取得最值的点统称为最值点.则称该函数在点 处有最小值第6页/共14页第六页，共15页。7 最大值、最小值的求法最值点（1）边界点求出该函数在这些(zhxi)点上的函数值，比较大小即可求得最值在有界闭区域上连续，则一定有最值。设函数（2）驻点(zh din)（3）偏导数(do sh)不存在的点若根据实际问题确定函数
4、的最值在区域 D 内部点取到，而函数在 D 内有唯一驻点，没有偏导数不存在的点，则可断定函数在此驻点上取到最值。极值点第7页/共14页第七页，共15页。8例2.某厂要用铁板做成一个体积为8立方米的有盖长方体水箱.问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解:则由体积水箱所用(su yn)材料即水箱表面积设水箱的长、宽、高分别为 米，可得令得唯一(wi y)驻点(2,2).根据(gnj)实际问题，S 一定存在最小值.因此,当 x=2 米,y=2 米,z=2米时，表面积 S 取得最小值24 平方米.即当水箱的长，宽，搞相等时，所用材料最省.第8页/共14页第八页，共15页。9求函数在约束条件下的极值
5、。拉格朗日乘数(chn sh)法：（1).构造(guzo)拉格朗日函数:其中常数 称为拉格朗日乘数.(2).解方程组：解得则点(x,y)可能(knng)为极值点.(3).判断(x,y)是否为极值点.(一般情况下根据实际问题的实际意义可以判断)6.6.2 6.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法第9页/共14页第九页，共15页。10推广 求函数在约束条件下的极值.(1)构造(guzo)拉格朗日函数:(2)解方程组解得(3)判断(x,y,z)是否(sh fu)为极值点.第10页/共14页第十页，共15页。11再解例2.例2.某厂要用铁板做成一个体积为8立方米的有盖长方体水箱.问选择怎样的尺寸，才能使所
6、用的材料最省？解:则问题(wnt)变为求设水箱的长、宽、高分别为 米，令得唯一(wi y)驻点(2,2,2).此驻点(zh din)即为最小值点.因此,当 x=2 米,y=2 米,z=2米时，表面积 S 取得最小值24 平方米.即当水箱的长，宽，高相等时，所用材料最省.在约束条件下的最小值.作拉格朗日函数:第11页/共14页第十一页，共15页。14感谢您的观看(gunkn)！第14页/共14页第十四页，共15页。内容(nirng)总结1。导数存在,并取得极值,则。,特别地,取。1)若极值点的偏导数存在，极值点必是驻点.。3)函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.。但在(0,0)点取得极小值。第2页/共14页。使函数取得最值的点统称为最值点.。求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值。问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省。问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省。水箱(shuxing)所用材料即水箱(shuxing)表面积。得唯一驻点(2,2).。(2).解方程组：第十五页，共15页。