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1、会计学1线性动态电路的复频域分析线性动态电路的复频域分析本章作业本章作业本章作业本章作业141(2)(4)(6)(8)、142(1)(3)、143(2)(4)、144、147第四版1313、149 第四版1315、1410 第四版1310第1页/共38页14 14 1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。定义：F(s)=f(t)estdt0拉普拉斯正变换f(t)=F(s)estds2j1+jj拉普拉斯反变换S=+jf(t)原函数F(s)象函数拉氏正变换拉氏反变换一一对应简写符号F(s)=Lf(t)f(t)=L1F(s)第2页/
2、共38页例：例：例：例：解：F(s)=f(t)estdt01.F(s)=L(t)=(t)estdt0=estdt0=1s=est1s02.F(s)=L(t)=(t)estdt0=(t)dt00+=1计算下列原函数的象函数；1.f(t)=(t)2.f(t)=(t)3.f(t)=et(t)4.f(t)=t(t)3.F(s)=Let(t)=et estdt00=+s1e(+s)t=+s14.F(s)=Lt(t)=testdt0=test 1s0 estdt0=1s2同理：F(s)=Ltn(t)=n sn+1第3页/共38页14 14 2 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的
3、基本性质拉普拉斯变换的基本性质若：Lf1(t)=F1(s)Lf2(t)=F2(s)则：LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s)证：LA1f1(t)+A2f2(t)=A1f1(t)+A2f2(t)estdt0=A1 f1(t)estdt+A2 f2(t)estdt00=A1F1(s)+A2F2(s)一、线性性质=A1f1(t)estdt+A2f2(t)estdt00第4页/共38页例：例：例：例：计算下列原函数的象函数；1、常数U 2、A(1et)3、sint解：1、LU2、LA(1et)3、Lsint=s2+2=LALAetAs(s+)=AsAs+=LU(t)Us=12
4、j12j=L ejt ejt12jsj112js+j1=同理：Lcost=s2+2s第5页/共38页二、二、二、二、(时域时域时域时域)微分性质微分性质微分性质微分性质设：Lf(t)=F(s)则：Lf(t)=sF(s)f(0)证：Lf(t)=0df(t)dtestdt=0estdf(t)=estf(t)f(t)(s)estdt00=f(0)+s f(t)estdt0=sF(s)f(0)导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以s再减去初始值的代数运算。推广：Lf(t)=s2F(s)sf(0)f(0)Lfn(t)=snF(s)sn1f(0)sn2f(0)f(n1)(0)第6页/共38
5、页例：例：例：例：(t)RCuC求：uc(t)的冲击响应解：Cducdt+uc=(t)1R等式两边进行拉普拉斯变换LC +L uc=L(t)ducdt1RsCUC(s)Cuc(0)+UC(s)=1 1R(sC+)UC(s)=11RUC(s)=sC+1R1=1Cs+1RC1进行拉氏反变换uc(t)=L1 1Cs+1RC11C=e t第7页/共38页三、三、三、三、(时域时域时域时域)积分性质积分性质积分性质积分性质设：Lf(t)=F(s)则：L f()d()=0tF(s)s 积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算转换为复频域中象函数除以s的代数运算。证：ddt0tf()d()=f(t)两边进
6、行拉氏变换ddt0tf()d()L =Lf(t)根据导数性质因此：L f()d()=0tF(s)ssL f()d()f()d()=F(s)0t0tt=0=0第8页/共38页四、四、四、四、(时域平移时域平移时域平移时域平移)延迟性延迟性延迟性延迟性质质质质tf(t)时域平移tf(tt0)t0设：Lf(t)=F(s)则：Lf(tt0)(tt0)=e F(s)st0例：求单个正弦波的象函数。tf(t)Ttf(t)Ttf(t)Tf(t)=sint(t)sin(tT)(tT)F(s)=Lf(t)esT=s2+2s2+2s2+2=(1esT)第9页/共38页五、五、五、五、(频域频域频域频域)导数性质导
7、数性质导数性质导数性质设：Lf(t)=F(s)则：Ltf(t)=dF(s)ds推广：Ltn f(t)=(1)ndnF(s)dsn六、(频域)平移性质设：Lf(t)=F(s)则：Letf(t)=F(s+)例：求：Letsint解：Ltn=n sn+1Ltnet=n(s)n+1例：求：Ltnet=s2+2解：LsintLetf(t)=(s+)2+2第10页/共38页常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表原函数f(t)象函数F(s)原函数f(t)象函数F(s)A(t)Aetcos(t)s+(s+)2+2A(t)A/stet(s+)21Aets+Ats211e
8、ts(s+)sinh(t)s22sin(t)s2+2cosh(t)s22scos(t)s2+2 s(1t)et(s+)2ssin(t+)s2+2ssin+cost221s31cos(t+)s2+2scos+sin tnn！1sn+11etsin(t)(s+)2+2 tnetn！1(s+)n+11第11页/共38页14 14 3 3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开f(t)=F(s)estds2j1+jj求：L1 (s+)21解：L1 =ts21L1 =tet(s+)21频域平移性质例1：例2：求：L1(12es+e
9、2s)/s2解：L1(12es+e2s)/s2=L1 es+e2s s21s22s21=t2(t)(t)+(t2)(t2)时域平移性质第12页/共38页部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法F(s)一般可以写成关于s的两个多项式之比。F(s)=N(s)D(s)N(s)、D(s)是关于s的多项式=a0sm+a1sm1+am1s+am b0sn+b1sn1+bn1s+bn 设：F(s)为有理式(nm)=(sp1)(sp2)(spn)N(s)对分母进行因式分解式中p1、p2、pn为D(s)=0的根，称为F(s)的极点。第13页/共38页一、一、一、一、F(s)F(s)的极点为各不相
10、等的实数根的极点为各不相等的实数根的极点为各不相等的实数根的极点为各不相等的实数根F(s)=(sp1)(sp2)(spn)N(s)p1p2pnp1、p2pn为实数=+sp1k1sp2k2spnkn则：L1F(s)=k1ep t+k2ep t+knep t1n2如何求k?用(sp1)乘以上面等式两边(sp2)(spn)N(s)=k1+(sp1)+(sp1)sp2k2spnkn令s=p1(sp2)(spn)N(s)k1=s=p1即k1=(sp1)F(s)s=p1k2=(sp2)F(s)s=p2kn=(spn)F(s)s=pn第14页/共38页例例例例1:1:求:L1 s(s+2)(s+3)s2+2
11、s2解:F(s)=s(s+2)(s+3)s2+2s2=+sk1s+2k2s+3k3k1=(s+2)(s+3)s2+2s2s=013k2=1 s(s+3)s2+2s2s=213k3=F(s)=+131ss+2113s+31L1F(s)=+e2t+e3t1313第15页/共38页例例例例2:2:求:L1 s3+6s2+15s+11s2+5s+6解:F(s)=s+1+s2+5s+64s+5=s+1+s+2k1s+3k2=s+1+s+23s+37L1F(s)=(t)+(t)3e2t+7e3t第16页/共38页二、二、二、二、F(s)F(s)有共轭复极点有共轭复极点有共轭复极点有共轭复极点F(s)=(s
12、j)(s+j)N(s)=sj+s+jk1k2k1=s+jN(s)s=+j=N(+j)j2=|k1|ej1k2=sjN(s)s=j=N(j)j2=|k1|ej1k1、k2共轭L1F(s)=L1 +sj|k1|ej1s+j|k1|ej1=|k1|ej1e(+j)t+|k1|ej1e(j)t=|k1|etej(+t)+ej(+t)11=2|k1|etcos(t+1)第17页/共38页波形波形波形波形f(t)=2|k1|etcos(t+1)tf(t)=00tf(t)0tf(t)第18页/共38页例：例：例：例：求：L1 (s2+2s+5)(s+2)s2+3解：s2+2s+5=(s+1j2)(s+1+j
13、2)则：=1 =2F(s)=+s+1j2k1s+1+j2k2s+2k3k1=(s+1+j2)(s+2)s2+3s=1+j2=1+j25=0.45ej116.6则：|k1|=0.45 1=116.6s2+2s+5s2+3k3=s=2=1.4f(t)=0.9etcos(2t+116.6)+1.4e2t第19页/共38页三、三、三、三、F(s)F(s)有重极点有重极点有重极点有重极点F(s)=F2(s)(sp1)mN(s)=sp1k1m+(sp1)2k1m1+(sp1)mk11+k11=(sp1)mF(s)s=p1k12=(sp1)mF(s)dsds=p1k13=(sp1)mF(s)ds2d2s=p
14、112k1m=(sp1)mF(s)dsm1dm1s=p11(m1)！第20页/共38页例：例：例：例：求：L1 s(s+1)3s2解：F(s)=sk1+s+1k23+(s+1)2k22+(s+1)3k21k1=(s+1)3s2s=0=2s=1k21=ss2=3ss2k22=dsds=1=s22s=1=2s=1k23=12dsd s22=2F(s)=s2+s+12+(s+1)22+(s+1)33L1F(s)=2+2et+2tet+t2et32 Ltn=n sn+1第21页/共38页部分分式展开法的一般步骤：部分分式展开法的一般步骤：部分分式展开法的一般步骤：部分分式展开法的一般步骤：1、若nm，
15、则先将F(s)化为真分式和多项式之和。2、对真分式的分母进行因式分解，求其极点。3、将真分式展开成部分分式，确定其系数。4、对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。第22页/共38页14 14 4 4 运算电路运算电路运算电路运算电路一、元件的运算等效电路1、电阻u iRu=iR时域电路模型两边进行拉氏变换U(s)=I(s)RRU(s)I(s)运算电路模型第23页/共38页2 2、电、电、电、电容容容容Cu ii=C dudt两边进行拉氏变换I(s)=sCU(s)Cuc(0)Cuc(0)I(s)U(s)sC1或：初始状态引起的附加电流源U(s)=I(s)+sC1suc(0)+sC1suc(0)
16、U(s)I(s)初始状态引起的附加电压源运算电路模型第24页/共38页3 3、电感、电感、电感、电感Lu iu=L didt两边进行拉氏变换U(s)=sLI(s)Li(0)或：I(s)=U(s)+sL1si(0)4、受控源u=iU(s)=I(s)U(s)I(s)sL+Li(0)si(0)I(s)U(s)sL第25页/共38页5 5、含有耦合电感的电路、含有耦合电感的电路、含有耦合电感的电路、含有耦合电感的电路i1L1L2Mi2u2u1L1di1dtu1=+Mdi2dtL2di2dtu2=+Mdi1dtU1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0)自感电压 自感附加电压源
17、互感电压 互感附加电压源U2(s)=sL2I2(s)L2i2(0)+sMI1(s)Mi1(0)第26页/共38页电路模型：电路模型：电路模型：电路模型：U1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0)U2(s)=sL2I2(s)L2i2(0)+sMI1(s)Mi1(0)sL1I1(s)U1(s)+L1i1(0)+sMI2(s)+I2(s)U2(s)sL2L2i2(0)sMI1(s)Mi1(0)Mi2(0)+sMI1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+L2i2(0)Mi1(0)+L1i1(0)+Mi2(0)sL1sL2第27页/共38页二、运算电二、运算电二、运算电二、运
18、算电路路路路+2ARCL1L2S1ViL1iL2uC 已知：电路原已达稳态，电容无储存能量，t=0时将开关S合上。试画出运算形式电路图。解：iL1(0+)=iL1(0)=2AiL2(0+)=iL2(0)=2AuC(0+)=uC(0)=0VA2sV1sR+sL1sL2sC1IL1(s)IL2(s)UC(s)例：2L1+2L2+第28页/共38页三、运算形式的电路定律三、运算形式的电路定律三、运算形式的电路定律三、运算形式的电路定律线性无源U(s)I(s)=Z(s)U(s)I(s)运算形式欧姆定律Z(s)运算阻抗 基尔霍夫定律的运算形式KCL:I(s)=0KVL:U(s)=0提示：电阻电路的各种分
19、析方法及定理都可以在运算电路中应用。第29页/共38页14 14 5 5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路运算法1、确定iL(0)、uC(0)。步骤：2、对uS(t)、iS(t)进行拉普拉斯正变换。3、画出运算形式电路图。4、应用电路分析的方法求出响应的象函数。5、对象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时 域解（原函数）。第30页/共38页例例例例1 1：+RLCS12(t=0)2Vei(t)21H12F 已知：t=0时，iL(0)=1A，uC(0)=1V，t=0时将开关S从12。求：t0时i(t)。解：i
20、(t)为二阶电路全响应，应用运算法。V1s22s+V2sI(s)RsLsC1uC(0)sLiL(0)s1VI(s)=2+s+s2s2+1s1=s2+2s+2s+1i(t)=etcost(A)进行拉氏反变换响应为欠阻尼震荡衰减。第31页/共38页例例例例2 2：+10VR1R2L2L1S(t=0)i(t)230.3H0.1H 已知：电路原已达稳态，求S打开后电路中的电流和电感上的电压。解：iL1(0)=5A iL2(0)=0A S打开后，L1与L2串联，此时iL1(0+)=iL2(0+)，电感中的电流将发生跳变，电路仍为二阶电路，应用运算法。注意：+20.3s30.1s1.5V10VsI(s)第
21、32页/共38页I(s)=2+0.3s+3+0.1s10s+1.5=2s+s+12.51.75+20.3s30.1s1.5V10VsI(s)拉氏反变换i(t)=2+1.75e12.5tAti3.752i(t)iL1(t)电感中的电流发生跳变，说明电路中必有冲击电压。UL1(s)UL2(s)UL1(s)=0.3sI(s)1.5=s+12.56.6 0.38uL1(t)=6.6e12.5t0.38(t)VUL2(s)=0.1sI(s)=s+12.52.2+0.38uL2(t)=2.2e12.5t+0.38(t)ViL2(t)续续续续第33页/共38页例例例例3 3：i(t)u(t)CLRiL已知：
22、R=,L=0.2H,C=0.5F,uC(0)=2V,iL(0)=3A,i(t)=10sin5t(t)。求：u(t)3.51I(s)U(s)sLR+sC1s20.6解：I(s)=L10sin5t=s2+2550列结点方程(+sC)U(S)=I(s)+sL1R1sC1s2sL0.6代入数据,整理:U(s)=(s2+25)(s2+7s+10)100s+s2+7s+10s2+7s+102(s3)零状态响应零输入响应u(t)=5.6e2t+8.7e5t+2.6sin(5t23.2)V第34页/共38页例例例例4 4：+100V4224H4H2H2HS(t=0)iL1iL2 电路原已达稳态，求S打开后电感
23、中的电流和开关两端的电压。解：iL1(0)=iL2(0)=10A +4224s4s2sIL1(s)100Vs+IL2(s)UK(s)40V40V20V20VIL1(s)=100s+40+204+2+4siL1(t)=50335e1.5tAIL2(s)=0 iL2(t)=0UK(s)=IL1(s)(2+4s)40 20+20+402sIL1(s)uk(t)=1003355e1.5t+90(t)V第35页/共38页本章小结：本章小结：本章小结：本章小结：运用拉普拉斯变换法(运算法)求解电路问题和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思想是类似的，如下表所示。相量法运算法正弦量相量 (相量模型)原函数象函
24、数 (运算模型)线性代数方程(以相量为变量)线性代数方程(以象函数为变量)相量正弦量 (一定已知)象函数 原函数 (拉氏反变换)将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源后，电路方程(KCL和KVL，电路元件VCR)的运算形式和相量形式类似，因此，相量法中各种计算方法(如结点电压法、回路电流法等)和定理(如叠加定理、戴维宁定理等)在形式上完全可以移用于运算法。但注意这两种方程具有不同的意义。第36页/共38页应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：1、完整正确地作出时域电路对应的运算电路。在运算电路中，对电容、电感及耦合电感元件不能遗漏附加电源(方向不要搞错)，正确写出运算阻抗(或运算导纳)。运算电路中的电容电压和电感电压应包含其运算阻抗两端电压和附加电源电压两部分。2、采用与相量法类似的计算方法和定理对所得到的运算电路进行分析。3、对求解出的各电压和电流的象函数，利用部分分式法进行其拉氏反变换的计算。第37页/共38页