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1、电路第十四章 线性动态电路复频域分析4 学时14-1 14-52 22/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容：l拉普拉斯(法)变换的定义l拉普拉斯变换与电路分析有关的基本性质l求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理)lKCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路l通过实例说明在线性电路分析中的应用。3 32/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析14-1 拉普拉斯变换的定义 多个动态元件复杂电路，用经典法直接求解微分方程比较困难。l例：n阶微分方程，直接求解需要知道变量及(n-1)阶导数在t0+时刻值，电路中只给定各电
2、感电流和电容电压t0+时刻值，求所需初始条件工作量很大。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-0 4 42/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析积分变换法l通过积分变换，把已知时域函数变为频域函数，把时域微分方程化为频域函数代数方程。求出频域函数后，作反变换返回时域，可求得满足电路初始条件的原微分方程解答，不需确定积分常数。l拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-1 5 52/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析拉氏变换-1 l 一个定义在0，)区间的函数f(t)，其拉普拉斯变换式F(s)定
3、义为 s=+j为复数，F(s)称f(t)的象函数，f(t)称F(s)的原函数。简称拉氏变换。lf(t)拉氏变换F(s)存在条件是该式右边积分为有限值，e-st称收敛因子。l 对函数f(t)，如存在正有限值常数M和c，使得对 于所有t满足条件|f(t)|Mect 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-2 6 62/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析拉氏变换-2l原函数f(t)与e-st的乘积从t0-到对t进行积分，积分的结果不再是t的函数，而是复变量s的函数。l拉氏变换是把一个时间域函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称
4、复频率。l用拉氏变换法进行电路分析称电路的复频域分析方法，又称运算法。l定义拉氏变换积分从t=0-开始，可计及t=0时f(t)包含冲激，方便计算有冲激函数的电路。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-3 7 72/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析拉普拉斯反变换l如F(s)已知，求对应f(t)，由F(s)到f(t)变换称拉普拉斯反变换，定义 式中c为正有限常数。l用符号表示对时域函数作拉氏变换，用符号-1表示对复变函数作拉氏反变换。14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-4 8 82/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-1 (1)l求以下函数
5、的象函数：(1)单位阶跃函数；(2)单位冲激函数；(3)指数函数。解 (1)单位阶跃函数的象函数l f(t)(t)14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-5 9 92/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-1 (2)(2)单位冲激函数的象函数 f(t)(t)可见按式(14-1)定义，能计及t0时f(t)所包含冲激函数。(3)指数函数的象函数 f(t)et (为实数)14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义-6 10102/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析14-2 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换有许多重要性质，仅介绍与线性电路有关基本性质。1
6、线性性质l设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，象函数分别为F1(s)和F2(s)，A1和A2是两个任意实常数，则则 l证 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-0 11112/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-2 若：(1)f(t)sin(t)；(2)f(t)K(1-e-t)。函数定义域为0，求象函数。l解(1)l(2)l根据拉氏变换线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果象函数时，可先求各函数象函数再进行计算。14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-1 12122/20/2023第十四章 线
7、性动态电路的复频域分析2微分性质 l函数f(t)象函数与其导数f(t)df(t)/dt象函数间关系：若 f(T)F(s)则则 f(t)=sF(s)-f(0-)l证 设e-stu，f(t)dtdv，则du-se-stdt，vf(t)。由于udvuv-vdu，所以 只要s实部取足够大，当t时，e-stf(t)0，则F(s)存在，得f(t)sF(s)-f(0-)14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-2 13132/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-3 应用导数性质求下列函数的象函数：(1)f(t)cos(t)；(2)f(t)(t)。l解(1)由于 而
8、 所以 l(2)由于 而 所以l此结果与例14-1所得结果完全相同。14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-3 14142/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析3积分性质 l函数f(t)的象函数与其积分 的象函数之间满足如下关系：l若 f(t)F(s)则则l证 令 uf(t)dt，dve-stdt，则duf(t)dt，利用分部积分公式udvuv-vdu，所以l只要s的实部足够大，当t时和t0-时，等式右边第一项都为零，所以有 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-4 15152/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例
9、14-4 l利用积分性质求函数f(t)t的象函数。l解 由于所以 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-5 16162/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析4延迟性质 函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象函数之间有如下关系l若 f(t)F(s)则则 f(t-t0)e-st0F(s)其中，当tt0时，f(t-t0)0。l证 令t-t0 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-617172/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-5 求图13-1所示矩形脉冲的象函数。l解 图13-1中矩形脉冲用解析式表
10、示 f(t)=(t)-(t-)因为(t)1/s，根据延迟性质 又根据拉氏变换的线性性质，得 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-718182/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析常用函数的拉氏变换表 14-2 14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质-8 19192/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 l 用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变换为时间函数。l 拉氏反变换可用式(14-2)求，但涉及复变函数积分，较复杂。l 如象函数较简单，能从拉氏变换表查原函数。l 不能从表中查原函数
11、，设法把象函数分解为较简单、能从表中查到项，查出各项原函数，之和为所求原函数。14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-0 20202/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析分解定理l 电路响应象函数可表示为两个实系数s多项式之比，即s的有理分式l 式中m和n为正整数，且nm。l 把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，称部分分式展开法，或称分解定理。14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-1 21212/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析真分式l 用部分分式展开有理分
12、式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。l 若nm，则F(s)为真分式。若nm，则l 式中A是一个常数，其对应的时间函数为A(t)，余数项 是真分式。l 用部分分式展开真分式时，需对分母多项式作因式分解，求出D(s)0的根。l D(s)0的根可以是单根，共扼复根和重根几种情况。14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-2 22222/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析1D(s)0有n个单根l设n个单根分别是p1、p2、pn。于是F(s)可展开为l式中K1、K2、Kn是待定系数。l将上式两边都乘以(s-p1)，得l令sp1，则等式除第一项外都变为
13、零，这样求得K1(s-p1)F(s)s=p1 同理可求得K2、K3、Kn。l所以确定式(13-4)中各待定系数的公式为Ki(s-p1)F(s)spi i1、2、3、n 14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-3 23232/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析D(s)0有n个单根 (1)l因为pi是D(s)0的一个根，故上面关于Ki的表达式为0/0的不定式，可以用求极限的方法确定Ki的值，即l所以确定式(13-4)各待定系数的另一公式为l确定式(13-4)各待定系数后，相应原函数为 14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换
14、的部分分式展开-4 24242/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-6 求 的原函数f(t)。l解 因为 所以：D(s)0的根为p10，p2-2，p3-5D(s)3s2+14s+10l根据式(13-5)确定各系数：同理求得：K20.5 K3-0.6l所以 f(t)0.1+0.5e-2t-0.6e-5t 14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-5 25252/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析2D(s)=0有共扼复根p1+j，p2-j l则l由于F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2为共扼复数。l设K1|K1|ej1，则K
15、2|K1|e-j1，有 f(t)=K1e(+j)t+K2e(-j)t =|K1|ej1e(+j)t+|K1|e-j1e(-j)t =|K1|etej(t+1)+e-j(t+1)=2|K1|etcos(t+1)(14-6)14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-6 26262/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-7 求 的原函数f(t)。l解 D(s)0根p1-1+j2，p2-1-j2为共轭复根。根据式(13-6)14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-7 27272/20/2023第十四章 线性动态
16、电路的复频域分析3如果D(s)0具有重根l则应含(s-p1)n的因式。l现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为l对于单根，仍采用 公式计算。l为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3，则K11被单独分离，即l则 K11(s-p1)3F(s)|sp1 14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-8 28282/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析D(s)0具有重根 (2)l再对式(13-8)两边对s求导一次，K12被分离，即 所以 同样方法得l推论得D(s)0具有q
17、阶重根，其余为单根时分解式为14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-9 29292/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析D(s)0具有重根 (3)l前式中：l如D(s)0具有多个重根时，对每个重根分别利用上述方法即可得各系数。14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-10 30302/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-8 （1）求 的原函数f(t)。l解 令D(s)=(s+1)3s2=0，p1=-1为三重根，p2=0二重根l首先以(s+1)3乘以F(s)得l应用式(13-9)得：14-3
18、 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-11 31312/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-8 （2）l为计算K21和K22，先以s2乘F(s)得l应用式(13-9)可求得：K211 K22-3 所以l相应的原函数为 14-3 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开-12 32322/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析14-4 运算电路 基尔霍夫定律的时域表示式为l对任一结点，i(t)0l对任一回路，u(t)0 根据拉氏变换线性性质得基尔霍夫定律运算形式如下：l对任一结点 I(s)0l对任一回路 U(
19、s)0l根据元件电压、电流的时域关系，可推出各元件电压电流关系运算形式。14-4 14-4 运算电路运算电路 -033332/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析电阻R的运算电路 l图14-2a 电阻元件电压电流关系为u(t)Ri(t)l两边取拉氏变换，得U(s)RI(s)(14-10)l式14-10是电阻VCR运算形式，图14-2b称电阻R的运算电路。14-4 14-4 运算电路运算电路 -134342/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析电感L的运算电路 (1)l图14-3a，电感有u(t)Ldi(t)/dt，取拉氏变换并根据拉氏变换微分性质，得：U(s)sLI(s
20、)-Li(0-)(14-11a)l式中sL为电感的运算阻抗，i(0-)表示电感中初始电流。可得图14-3b运算电路，Li(0-)表示附加电压源的电压，反映电感中初始电流作用。14-4 14-4 运算电路运算电路 -235352/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析电感L的运算电路 (2)l还可把式14-11a改写为l可得图13-3c运算电路，其中1/sL为电感的运算导纳，i(0-)/s表示附加电流源的电流。14-4 14-4 运算电路运算电路 -336362/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析电容C的运算电路l同理，对于图14-4a电容有l取拉氏变换并根据拉氏变换积分
21、性质得l可分别得图14-4b、c运算电路，其中1/sC和sC分别为电容C的运算阻抗和运算导纳，u(0-)/s和Cu(0-)分别为反映电容初始电压的附加电压源的电压和附加电流源的电流。14-4 14-4 运算电路运算电路 -437372/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析两个耦合电感的运算电路(1)l两个耦合电感，应包括互感引起附加电源。根据图14-5a，有：l对上式两边取拉氏变换有 U1(s)sL1I1(s)-L1i1(0-)+sMI2(s)-Mi2(0-)U2(s)sL2I2(s)-L2i2(0-)+sMI1(s)-Mi1(0-)(14-13)l式中sM称互感运算阻抗，Mi1(
22、0-)和Mi2(0-)是附加电压源，其方向与电流i1、i2参考方向有关。14-4 14-4 运算电路运算电路 -5 38382/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析两个耦合电感的运算电路(2)l图14-5b为具有耦合电感运算电路。14-4 14-4 运算电路运算电路 -639392/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析RLC串联电路l图14-6a RLC串联电路。设电源电压u(t)，电感初始电流i(0-)，电容初始电压uc(0-)。运算电路为图14-6b。l根据U(s)0，有l或：l式中Z(s)R+sL+1/sC为RLC 串联电路运算阻抗。在零初 始条件下，i(0-)=
23、0，uc(0-)=0，有 Z(s)I(s)U(s)l上式即运算形式的欧姆定律。14-4 14-4 运算电路运算电路 -740402/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 l运算法与相量法的基本思想类似。l相量法把正弦量变换为相量，以相量为变量。l运算法把时间函数变换为象函数，以象函数为变量。l当电路所有独立初始条件为零时，电路元件VCR、KCL和KVL的相量形式与运算形式类似，同一电路相量方程和零状态下运算形式方程形式相似，但这两种方程有不同意义。l非零状态下，电路方程运算形式应考虑附加电源作用，电路方程运算形式与相量方程类似。相量法中各种计
24、算方法和定理在形式上完全可移用于运算法。l运算法求得象函数，用拉氏反变换可求对应时间函数。l以下用实例说明拉氏变换法在线性电路分析中的应用。41412/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-9 （1）l图14-7a电路原处稳态。t0开关S闭合，用运算法求电流i1(t)。l解 先求Us拉氏变换lU(s)11/sl开关闭合前电路处稳态，电感电流iL(0-)0，电容电压uc(0-)1 V。运算电路图14-7b。l用回路电流法，设Ia(s)、Ib(s)如图，列方程：14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 42422/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-9 （2）
25、l代入已知数：l 解得l求反变换l所以 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 43432/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-10（1）l图14-8aRC并联电路，激励为电流源is(t)，若：(1)is(t)(t)A (2)is(t)(t)A 求电路响应u(t)。l解 运算电路13-8b。(1)当is(t)(t)A时，Is(s)1/s 反变换为 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 44442/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-10 （2）(2)当is(t)(t)A时，Is(s)1l反变换为l以上结果分别为RC并联电路的阶跃响应和冲激响应。用拉
26、氏变换法求得的结果与第7章的结果相同。14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 45452/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-11（1）l图14-9a，原处稳态，t=0S闭合，求t0时uL(t)，已知us1=2e-2t V，us2=5(t)V，R1=R2=5，L=1 H。l解 运算电路图14-9b，其中：l电感电流初始值 iL(0-)us2/R2=1 A 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 46462/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-11（2）l用结点法：设(0)点为参考结点，结点电压Un1(s)就是UL(s)。有l代入已知数，得：UL(t)
27、-1UL(s)(-4e-2t+5e-2.5t)V 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 47472/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-12（1）图14-10a，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.05H，激励为直流电压Us=1 V，求t=0时开关闭合后电流i1(t)和i2(t)。l解 图14-10b运算电路。列回路电流方程：(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)1/s-sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)0 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 48482/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-12（2）l代入已知数，得：
28、(1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)1/s-0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)0l解得：i1(t)(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)Ai2(t)0.5(e-6.67t-e-20t)A 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 49492/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-13（1）图14-11a，开关S原闭合。求打开S后电路中电流及电感元件上电压。l解 L1中初始电流为US/R1=5A，S打开后运算电路14-11b，故：i(t)(2+1.75e-12.5t)Al电流随时间变化曲线14-11c。14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
29、50502/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-13（2）l本题中L1原有电流5A，L2中无电流，但开关打开后，L1和L2的电流在t0+时被强制为同一电流，i(0+)=3.75 A。两个电感电流都发生跃变，电感L1和L2的电压uL1和uL2中有冲激函数出现。uL1和uL2求得如下：14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 51512/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析例14-13（3）uL1(t)-6.56e-12.5t-0.375(t)V uL2(t)-2.19e-12.5t+0.375(t)V uL1(t)+uL2(t)-8.75e-12.5t Vl可见u
30、L1+uL2中并无冲激函数出现，这是因为虽然L1、L2中的电流发生了跃变，因而有冲激电压出现，但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，保证满足KVL。l从该实例可见，拉氏变换式下限取0-，自动把冲激函数考虑进去，因此无需先求t0+时跃变值。14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 52522/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析第十四章 重点概念-1 14-1 拉普拉斯变换的定义l积分变换法，反变换返回时域，不需确定积分常数。象函数，原函数。拉氏变换。收敛因子。复频率。运算法。拉普拉斯反变换。符号、符号-1表示。14-2 拉普拉斯变换的基本性质l线性性质、微分性质、积分性质、延迟性质 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开l部分分式展开法（分解定理），真分式。D(s)=0的根（n个单根、共扼复根、重根）53532/20/2023第十四章 线性动态电路的复频域分析第十四章 重点概念-2 14-4 运算电路l电阻R、电感L、电容C的运算电路。两个耦合电感运算电路。串联电路运算阻抗，运算形式的欧姆定律。14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路l相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可移用于运算法。电感L1和L2的电压uL1和uL2中出现冲激函数。