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1、第六讲矩阵的初等变换第一页，本课件共有54页矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵矩矩阵阵的的定定义义概念概念方阵方阵对角阵对角阵单位矩阵单位矩阵列矩阵列矩阵行矩阵行矩阵零矩阵零矩阵同型矩阵同型矩阵矩阵相等矩阵相等第二页，本课件共有54页逆矩阵逆矩阵使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作定义定义 对于阶矩阵对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，如果有一个阶矩阵，则称矩阵则称矩阵是是可逆可逆的，的，并把矩阵并把矩阵称为称为的的逆矩阵逆矩阵.矩阵矩阵可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且
2、，且定理定理2 2其中为矩阵其中为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.当当 时，时，称为称为奇异矩阵奇异矩阵；当当 时，时，称为称为非奇异矩阵非奇异矩阵.第三页，本课件共有54页运算规律运算规律（设（设均是阶方阵）均是阶方阵）1 1）若）若 且且2 2）若）若 且且推广推广4 4）若）若 且且3 3）若）若 ，且，且 同阶，同阶，且且6 6）若）若 5 5）若）若 第四页，本课件共有54页分块矩阵 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基矩阵的分块是一种最基本本,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法.(1)加法加法(2)数乘数乘(3)乘法乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运
3、算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似第五页，本课件共有54页(4)转置转置(5)分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵第六页，本课件共有54页第七页，本课件共有54页第八页，本课件共有54页矩阵的初等变换的概念与性质；矩阵的初等变换的概念与性质；行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵的概念；行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵的概念；矩阵等价的概念；矩阵等价的概念；三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的关系三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的关系主要内容主要内容第一节第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵利用初等变换求逆矩阵
4、；利用初等变换求逆矩阵；第九页，本课件共有54页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第十页，本课件共有54页解解第十一页，本课件共有54页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第十二页，本课件共有54页于是解得于是解得第十三页，本课件共有54页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于
5、的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）第十四页，本课件共有54页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换解变换第十五页，本课件共有54页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全
6、可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换第十六页，本课件共有54页定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换第十七页，本课件共有54页定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相同同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第十八页，本课件共有
7、54页等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价（1 1）反身性：）反身性：（2 2）对称性：）对称性：（3 3）传递性：）传递性：第十九页，本课件共有54页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第二十页，本课件共有54页第二十一页，本课件共有54页第二十二页，本课件共有54页第二十三页，本课件共有54页特点：特点：（1 1）、没有一）、没有一个非零行出现在个非零行出现在零行之下零行之下（2 2）、每个）、每个非零行
8、的首非非零行的首非零元素（该行的第一个非零元素）总出现在上一零元素（该行的第一个非零元素）总出现在上一行非零首元素的右边行非零首元素的右边第二十四页，本课件共有54页 第二十五页，本课件共有54页行最简形矩阵：行最简形矩阵：1.是行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵2.每个非零行的首非零元素是每个非零行的首非零元素是13.首非零元素所在的列中其他元素都是首非零元素所在的列中其他元素都是0结论结论u对于任何矩阵对于任何矩阵 总可经过有限次初等行变换总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵v行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的行阶梯形矩阵中非零行的行数
9、是唯一确定的.w行最简形矩阵是唯一确定的行最简形矩阵是唯一确定的.第二十六页，本课件共有54页例例 下列四个矩阵中，哪些是行最简形？下列四个矩阵中，哪些是行最简形？是行最简形矩阵是行最简形矩阵.第二十七页，本课件共有54页例例2 2解解第二十八页，本课件共有54页例如，例如，行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形第二十九页，本课件共有54页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.第三十页，本课件共有54页
10、第三十一页，本课件共有54页三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同2.2.初等变换初等变换3.3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.4.若若A A可逆，则可逆，则A A与单位阵与单位阵E E等价等价第三十二页，本课件共有54页定义定义由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵三种初等矩阵三种初等矩阵u对调对调E两行或对调两列两行或对调两列J初等矩阵初等矩阵F 对换初等矩阵对换初等矩阵第三十三页，本课件共
11、有54页v 倍乘初等矩阵倍乘初等矩阵第三十四页，本课件共有54页w 倍加初等矩阵倍加初等矩阵第三十五页，本课件共有54页u 第三十六页，本课件共有54页第三十七页，本课件共有54页v 第三十八页，本课件共有54页第三十九页，本课件共有54页w 第四十页，本课件共有54页J利用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆矩阵第四十一页，本课件共有54页推论推论证：证：第四十二页，本课件共有54页J下面介绍用矩阵的初等变换求矩阵的逆的方法下面介绍用矩阵的初等变换求矩阵的逆的方法方阵方阵A可逆，则可逆，则A-1也可逆，故也可逆，故A-1可以表示成有限个初等可以表示成有限个初等矩阵的乘积，设矩阵的乘积，设第四十三
12、页，本课件共有54页 解解例例第四十四页，本课件共有54页第四十五页，本课件共有54页即即 求矩阵求矩阵X，使得，使得AX=B第四十六页，本课件共有54页例例解解第四十七页，本课件共有54页第四十八页，本课件共有54页第四十九页，本课件共有54页求矩阵求矩阵X，使得，使得XA=B第五十页，本课件共有54页三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同2.2.初等变换初等变换3.3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.4.若若A A可逆，则可逆，则A A与单位阵与单位阵E E等价等价第五十一页，本课件共有54页1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.初等矩阵的结论初等矩阵的结论:推论推论第五十二页，本课件共有54页3.初等变换的应用初等变换的应用:（3）求）求XA=B（1）求）求A-1（2）求）求AX=B第五十三页，本课件共有54页作业习题三习题三 4.4.（1 1）5.5.（1 1）本节习题要求：本节习题要求：习题三习题三 基础题目：基础题目：1616第五十四页，本课件共有54页