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1、第第1节节 矩阵的秩与初等变换矩阵的秩与初等变换一 矩阵的秩定义：若矩阵 A 中存在一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且全部 r+1 阶子式（假如存在的话）全等于 0，那么数 r 就称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)，并称 D 为矩阵 A 的一个最高阶非零子式。并规定零矩阵的秩等于 0。明显，若 A 为 mn 矩阵，则 0 R(A)min m,n。由于|AT|=|A|,即行列式与其转置行列式相等，从而有 R(AT)=R(A)。对于 n 阶矩阵 A，当|A|0 时 R(A)=n，|A|=0 时 R(A)n。当当 R(A)=r时，即时，即 A 中全部的中全部的 r+1 阶子式全等于阶子式全等于
2、0，则，则A中中全部高于全部高于 r+1 阶的子式阶的子式=？这些子式必定为这些子式必定为0，从而，从而 A 的秩的秩 R(A)就是就是 A 中不等于中不等于 0 的子式的最高阶数。的子式的最高阶数。由于由于 R(A)是是 A 的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不为阶子式不为 0，则，则 R(A)s；若；若 A 中全部中全部 t 阶子式阶子式全为全为0，则，则 R(A)t。例例：求矩阵 A 和 B 的秩，解解：R(A)=2;R(B)=3 即行阶梯形矩阵即行阶梯形矩阵B的秩等于的秩等于B的非的非0行的行数行的行数 本例表明，对于
3、一般的行列式，当行数与列数较高时，本例表明，对于一般的行列式，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的。按定义求秩是很麻烦的。然而对于类似矩阵然而对于类似矩阵B的行阶梯形矩的行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵特点：若第行阶梯形矩阵特点：若第i行元素全为行元素全为0，则，则i+1,m行的元行的元素全为素全为0；否则从左数找到第一个不为；否则从左数找到第一个不为0的元素，位于该元素的元素，位于该元素下及其左下的全部元素全为下及其左下的全部元素全为0。若阶梯形矩阵每行第一个非若阶梯形矩阵每行
4、第一个非0数字恰为数字恰为1，且该数字，且该数字1上上方的数字也为方的数字也为0的话，则称为行最简形矩阵。比如其次个矩的话，则称为行最简形矩阵。比如其次个矩阵即为行最简形矩阵。阵即为行最简形矩阵。留意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。留意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。二 初等变换与矩阵秩的求法定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(i)对调两行(对调 i,j 两行，记作 )；(ii)以数 k0乘某一行中的全部元素(第i行乘k,记作rik)；(iii)把某一行全部元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 )。把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等
5、列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”)。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。定义：假如矩阵定义：假如矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称，就称矩阵矩阵 A与与 B 行等价，记作行等价，记作 ；假如矩阵假如矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵，就称矩阵 A与与 B 列等价，记作列等价，记作 ；假如矩阵假如矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵，就称矩阵 A与与B 等价，记作等价，记作 。定理：随意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等定理：随意一个矩阵可经过
6、一系列初等行变换化为与之行等价的行阶梯形与行最简形矩阵。价的行阶梯形与行最简形矩阵。证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常常数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为行阶梯形即可。行阶梯形即可。设设对第一列的元素对第一列的元素a11,a21,as1，只要其中一个不为零，用，只要其中一个不为零，用交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然后从其次行起先，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，然后从其次行起
7、先，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，于是第一列除去第一个元素外就全是零了。于是第一列除去第一个元素外就全是零了。即经过一系列初等行变换后，有即经过一系列初等行变换后，有重复以上的作法。假如原来矩阵 A中第一列的元素全为零，那么就依次考虑它的其次列元素，等等。如此作下去直到变成行阶梯形为止。上边的叙述可按归纳法赐予严格的证明。定理：初等变换不变更矩阵的秩。定理：初等变换不变更矩阵的秩。证明：先证明若证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B，则，则 R(A)R(B);设设 R(A)=r，且，且 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D0。对交换两行与把某一行乘以非对交换两
8、行与把某一行乘以非0常数常数k的初等变换，比如的初等变换，比如在在 B 中总能找到与中总能找到与D相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1，且有，且有 D1=D 或或 D1=-D 或或 D1=kD，因此因此 D10，从而，从而 R(B)r=R(A)。2)把某行的倍数加到另一行的初等变换。把某行的倍数加到另一行的初等变换。由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明把其次行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。把其次行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。分两种情形。(a)A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B
9、 的 r 阶非零子式，故 R(B)r；(b)D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1 记作 从而有 R(B)r=R(A)。以上证明白矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减，即 R(A)R(B).又留意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B)R(A)，因此经一次初等行变换后 R(A)=R(B)。经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩不变。设 A 经初等列变换变为 B，则 AT 经初等行变换变为 BT，由行初等变换不变更秩的事实知，R(AT)=R(BT)，又 R(A)=R(AT),R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B)=R(A)。例：求矩阵 A 的秩：A =R(A)=4.三三矩阵的标准形矩阵的标准形 对于mn 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式该形式称为 A 的标准形标准形。其中 r=R(A).例例：化矩阵 B 为标准形，在矩阵的初等变换中，一般很少将其化为标准形，而是化为与之等价的行阶梯形行阶梯形或行最简形矩阵行最简形矩阵.