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1、第六讲初等变换与初等矩阵1现在学习的是第1页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：本次课讲：第三章第一节和第二节第三章第一节和第二节下次课讲：下次课讲：第三章第三节第四节第三章第三节第四节 下次上课时下次上课时交作业第交作业第17页到第页到第18页页2现在学习的是第2页，共36页一、分块矩阵一、分块矩阵1.分块矩阵的概念分块矩阵的概念将矩阵将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一每一个小矩阵称为个小矩阵称为 的的子块子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵如第
2、六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵3现在学习的是第3页，共36页2.分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 分块矩阵运算把握分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。如：块当矩阵看也可运算。如：设矩阵设矩阵A与与B为为同型矩阵，采用相同的分块法，有同型矩阵，采用相同的分块法，有其中其中 与与 为同型矩阵，那么为同型矩阵，那么第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵4现在学习的是第4页，共36页4.分块对角矩阵：分块对角矩阵：设设 A 为为 n 阶矩阵，如果阶
3、矩阵，如果A的对角线分块矩阵为的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中其中 都是方阵，都是方阵，那么称那么称 为为分块对角矩阵分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列分块对角矩阵有下列性质性质：（b）若）若则则并有并有（a)OO第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵5现在学习的是第5页，共36页若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论同理，容易验证如下结论第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵6现在学习的是第6页，共36页3.分块运算的
4、作用分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程组可记作将将B按列分按列分块第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵7现在学习的是第7页，共36页若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵8现在学习的是第8页，共36页例例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵9现在学习的是第9页，共36
5、页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵10现在学习的是第10页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵11现在学习的是第11页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵12现在学习的是第12页，共36页（1）行阶梯形矩阵及其特点）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，（ii）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。二、几类特殊矩阵二、几类特殊矩阵行阶梯、行最简与标准型矩阵行阶梯、行最简与标准型矩
6、阵（2）行最简形矩阵及其特点）行最简形矩阵及其特点（i）是一个行阶梯形矩阵；）是一个行阶梯形矩阵；（ii）非零行的第一个非零元为）非零行的第一个非零元为1，该元素所在的列的其它，该元素所在的列的其它元素都为元素都为0，如：，如：为行最简形矩阵为行最简形矩阵为行最简形矩阵为行最简形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵13现在学习的是第13页，共36页（3）矩阵的标准型）矩阵的标准型形如形如其中其中 为为 r 阶单位矩阵。阶单位矩阵。的矩阵称为标准形矩阵，如：就是一个标准形矩阵就是一个标准形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与
7、初等矩阵14现在学习的是第14页，共36页简要概括特点：1.行阶梯的行阶梯的3个特点：个特点：1.画成阶梯，且每阶梯首元不为画成阶梯，且每阶梯首元不为0；2.每阶梯每阶梯1行；行；3.阶梯下全为阶梯下全为0。2.行最简行最简3个特征：个特征：1.是行阶梯；是行阶梯；2.首元为首元为1，3.1所在列余元所在列余元为为0变换变换 的逆变换就是本身；的逆变换就是本身；变换变换 的逆变换是的逆变换是 （或记作（或记作 ）；）；2.初等变换性质初等变换性质1）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的变换变换 的逆变换是的逆变换是或记作或记作 ）。）。三、初等变换三、
8、初等变换1.定义定义第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵15现在学习的是第15页，共36页2）等价性：）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性）反身性AA；（ii）对称性）对称性若若AB，则，则BA；（iii）传递性）传递性若若AB，BC，则，则AC.如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵 B，就称就称矩阵矩阵 A 与与矩阵矩阵 B 等价等价，记作记作 AB.3.初等变换的作用：初等变换的作用：（1）一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；（2）一个
9、矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。矩阵矩阵 A 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；有限次有限次初等行变换初等行变换1.2.对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵16现在学习的是第16页，共36页例如：例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵17现在学习的是第17页，共36页3.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，如果把线性方
10、程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，则初等变换则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。与方程组的代数消元法完全一致。就是说，就是说，经过初等行变换，增广矩阵表示经过初等行变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。的线性方程与原方程组同解。如方程组：如方程组：这一方程组与原方程组同解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵18现在学习的是第18页，共36页例例1:化成行最简形化成行最简形.设设把把 解解解解:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵19现在学习的是第19页，共36页四、初等矩阵的概念四、初等矩阵的概念定义
11、定义4 4由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。（1 1）对调两行或对调两列：注意记法：）对调两行或对调两列：注意记法：E(i,j)E(i,j)把单位矩阵中第把单位矩阵中第 i,j 两行对调两行对调(),得初等矩阵得初等矩阵第第 i 行行第第 j 行行初等矩阵分初等矩阵分初等矩阵分初等矩阵分3 3类类类类1.1.初等矩阵的概念初等矩阵的概念初等矩阵的概念初等矩阵的概念第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵20现在学习的是第20页，共36页（2 2）以数）以数 k 0 乘某行或某列乘某行或某列以数
12、以数 k0 乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第 i 行（行（），），得初等矩阵得初等矩阵第第 i 行行第第 i 行行第第 j 行行（3 3）以数）以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去乘某行（列）加到另一行（列）上去第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵21现在学习的是第21页，共36页（1）变换）变换 的逆变换就是其本身，的逆变换就是其本身，则则（2）变换）变换 的逆变换是的逆变换是 ，则则（3）变换）变换 的逆变换是的逆变换是 ，则则初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵可逆，且初等变换的逆变换对应着
13、相应初等矩阵的逆矩阵：可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：2.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵22现在学习的是第22页，共36页1.A1.A的的的的1 1次初等行变换是次初等行变换是次初等行变换是次初等行变换是A A的左边乘一个初等矩阵的左边乘一个初等矩阵的左边乘一个初等矩阵的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）第六讲：分块矩阵、初
14、等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵23现在学习的是第23页，共36页证明：设证明：设A经过一次第经过一次第3类行初等变换类行初等变换rij（k）后变成）后变成B，记作：，记作：AB，这这B也是也是m*n阵，将阵，将A、B按行分块，则有按行分块，则有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵24现在学习的是第24页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵25现在学习的是第25页，共36页定理：方阵定理：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.2.任一可逆矩阵均是任一
15、可逆矩阵均是任一可逆矩阵均是任一可逆矩阵均是k k个初等矩阵之积个初等矩阵之积个初等矩阵之积个初等矩阵之积1)充分性：充分性：若存在有限个初等矩阵若存在有限个初等矩阵证证:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵26现在学习的是第26页，共36页2)2)必要性：设必要性：设必要性：设必要性：设A A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设其标准形矩阵为其标准形矩阵为其标准形矩阵为其标准形矩阵为 F,F,则则 F 经有限次
16、初等变换可以变成经有限次初等变换可以变成 A,由定理由定理1，即，即存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵27现在学习的是第27页，共36页由该定理，显然可推出如下由该定理，显然可推出如下重要结论：重要结论：推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵五、系列初等行变换等同于五、系列初等行变换等同于A左边乘一可逆矩阵左边乘一可逆矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵28现在学习的是第28页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换
17、与初等矩阵29现在学习的是第29页，共36页同样讨论列的情况：可得到如下结论：同样讨论列的情况：可得到如下结论：同样讨论列的情况：可得到如下结论：同样讨论列的情况：可得到如下结论：初等列变换初等列变换第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵30现在学习的是第30页，共36页例例2 设设求求解解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵31现在学习的是第31页，共36页所以所以5.用初等变换求解方程组用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组AX=b,这
18、里，假定这里，假定A是方阵且可逆是方阵且可逆第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵32现在学习的是第32页，共36页第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵33现在学习的是第33页，共36页例例3 求矩阵求矩阵 X，使使AX=b1，AXb2其中其中第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵34现在学习的是第34页，共36页可对矩阵可对矩阵 作初等列变换，使作初等列变换，使初等列变换初等列变换如果要解形如如果要解形如的方程组，且A可逆，则或对矩阵或对矩阵 初等行变换，使初等行变换，使初等行变换初等行变换即即从而求得从而求得Y.第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵35现在学习的是第35页，共36页例例4：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，B的第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为分析：按照题意，用初等矩阵描述，有分析：按照题意，用初等矩阵描述，有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵36现在学习的是第36页，共36页