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1、11.5二项分布及其应用考纲要求1 . 了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2 .理解次独立重及试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.险座第，7 J y ”,工E知识松汗.IIISHISHU”1 .条件概率一般地，设48为两个事件，且产（冷0,称P（8|4）=为在事件力发生的条件下事件8发生的条件概率.如果8和。是两个互斥事件，则 murM） =.2 .事件的相互独立性设从“为两个事件，如果（力而=,则称事件1与事件/，相互独立.如果事件A与事件6相互独立，则A与, 与B, A与也都相互独立.3 .独立重复试验与二项分而一般地，在次独立重复试验中，设事件力发生的次数为,在每次试验
2、中事件/发生 的概率是那么在次独立重灾试验中，事件力恰好发生4次的概率为G=） = ,女=0,1, 2,，.此时称随机变量I服从二项分布，记作h8（，p）, 并称P为应功解率.次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看成是C ；：个互斥事件的和,其中每一个事件都可看成是A个力事件与一左个月事件同时发生，只是发生的次序不同， 其发生的概率都是.因此n次独立重复试验中事件4恰好发生k次的概率为cy（iP）TE!厘和一泱ichuzicei.在一段时间内，甲去某地的概率是L乙去此地的概率是L假定两人的行动相互之 45间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（）.332 .已知尸。而=士，P（A
3、）=-,则尸（以冷=（）.2053 .每次试验的成功率为0（0夕1）,重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3 次都成功的概率为（）.A. 0（1一0） B. C?（）p3（lp）3C. p3（lp）7 D. p7（1p）34.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得。分，比赛进行到有一 人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为I或力，且各局胜负相互独 立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为29（1）求P的值；（2）设S表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量f的分布列.I舞汽突破，一、条件概率【例1】 把外形相同.的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子
4、中有7 个球标有字母4, 3个球标有字母氏第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有 红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字 母月的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母片的球，则在第三个盒子 中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率.方法提炼1 .求产（例用时，可把4看作新的基本事件空间来计算发生的概率，也就是说把夕发 生的样本空间缩小为A所包含的基本事件.2 .若事件属C互斥,则6UC|4）=P（例冷+尸。|冷,即为了求得比较复杂事件的概 率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求
5、出这些简单事件的概率， 再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.请做演练巩固提升2二、相互独立事件的概率【例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为,与小且乙 2投球2次均未命中的概率为16（1）求乙投球的命中率0；（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（3）若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率.方法提炼1 .当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式（力而=尸（力）尸（囱计算判 定.求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立.若能把复杂事件分解为 若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化.2 .由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三
6、个以上相互独立事件的概率计算公 式，即若4,也，4,相互独立，则PC4血4）=p（4）P（4）.3 .在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰 有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义.若能把相关事件 正确地表示出来，同时注意使用逆向思考方法，常常能使问题的解答变得简便.请做演练巩固提升3三、二项分布【例3】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为 本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为9乙队中3人答对的概率分 39 9 1别为且各人答对正确与否相互之间没有影响.用f表示甲队的总得分.3 3 2
7、（1）求随机变量的分布列；（2）设。表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P（0.方法提炼1 .独立重更试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别.独立重复试验必须具备如 下的条件：（D每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；（2）各次试验结果互不影响， 即每次试验相互独立；（3）每次试验只有两种结果，这两种可能结果的发生是对立的.2 .判断某随机变量是否服从二项分布，主要看以下两点：（1）在每次试验中，试验的结 果只有两个，即发生与不发生；（2）在每一次试验中，事件发生的概率相同.若满足，则在 次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量，此时该随机变量服从二项分布.写 二项分布时，首先确
8、定犬的取值，直接用公式CT=A）计算概率即可.请做演练巩固提升4一老颗+析JATIYANXI一月艮以三加分布的随机变量的求解【典例】（12分）（2012四川高考）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系 统）/1和凡系统A和系统在任意时刻发生故隙的概率分别为和p.104Q(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求夕的值；50(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ,求的概率分 布列及数学期望Ef.规范解答：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件。，那么61491 P（0）=1 p=. （4 分）1050解得P=. （5分）5（2）由题意，=O）=c
9、ioJ=-（6 分）1 000% f =1）=C；QU；.（7；1 000P（ S =2） =C、LU（8 分）101 000P（，=3） =c11_Io）1=-. （9 分）1 000所以，随机变量f的概率分布列为故随机变量s的数学期望：(11分)0123P11 000271 0002431 0007291 000(C=0X 1 +1X 27 +2X 243 +3X 729 =27. a?分)1 0001 0001 0001 000 10答题指导：解决离散型随机变量分布列时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高 度关注：(1)对随机变量的理解不到位，造成对随机变量的取值求解错误；(2)求错
10、随机变量取值的概率，造成所求解的分布列概率之和大于1或小于1,不满足 分布列的性质：(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避 免出现严重跳步现象.i k*/ J j vTTJiVrErlf , rr 1=5. 332332332 1844 if)根据独立事件概率公式，得尸(。=x3=【u9 18 81演练巩固提升. D解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为L甲要获得 2冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为1;笫二种情况是再打两局, 2Hi 11 1 3x-=-.故甲获得冠军的概率为9+上=士.2 42 4 4C +C
11、91 . B 解析：(/1)二 % 54, C； 5KAB) = V = 1 , C； 10，P(4|/D =产(仍(心2 .解：分别记这段时间内开关，小/能够闭合为事件月，B, C.由题意可知，这段时间内该3个开关是否能够闭合相互之间是没有影响的.根据相互独 立事件的概率乘法公式，可得这段时间内3个开关都不闭合的概率是K A B C )=2(/I )汽 8)p( C)= 口一户(4i _p(而口一汽。=(1 - 0. 7) (1-0. 7) (1-0. 7)=0. 027.只要这段时间内至少有1个开关能够闭合，线路就能正常工作，从而使线路能正常工作的概率是 1一2(B C )=1-0. 027=0. 973.3 .解：(1)设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为人 C3c1 +C4 q则由题意可得P=6 66 =./ U(2)由题意可得f可取:0, 1,2,3,则有：P(f =0)=(5xO= 2 ,125f4P( 4 =1) = CbJx1x2+ 5 5K=195 125P( f =2)=51x2+C； X4X1X3= 56 ,55 5 5 125=3)=51又3=485 125 所以的分布列为0123p2125191255612548125