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1、1 1 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律2 2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律3 3 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布4 4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理概率论的基本知识概率论的基本知识概率论的基本知识概率论的基本知识概率论的基本知识概率论的基本知识一、概率的基本
2、性质一、概率的基本性质1 1、概率的定义、概率的定义若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下（N），计算所出现某一事件的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。2 2、概率的基本性质概率的基本性质(1)，即事件，即事件i的概率只可能在的概率只可能在0和和1之间。之间。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1.归一化条件归一化条件在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。由此可
3、总结出一条基本原理：由此可总结出一条基本原理：等概率性等概率性在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。3 3、等概率性等概率性（1）概率相加法则）概率相加法则 n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。（2）概率相乘法则）概率相乘法则 同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。生的概率等于各个事件概率之乘积。3 3、概率
4、的基本法则概率的基本法则二、随机变量二、随机变量 如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为的数值，则该变量称为。1 1、离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量表示方式表示方式取值有限、分立取值有限、分立为随机变量为随机变量x x的概率，的概率，满足条件：满足条件：归一化条件归一化条件 变量变量x可取某一区间内的一切数值。可取某一区间内的一切数值。2 2、连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值无限、连续随机变量随机变量x的的概率密度概率密度:概率密度概率密度f(x)等
5、于随机变量取值在单位间隔内的概率，等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又称为又称为概率分布函数（简称分布函数）概率分布函数（简称分布函数）。分布函数分布函数概率分布函数概率分布函数f（x），），满足条件：满足条件：归一化条件归一化条件离散量与连续量的分布函数离散量与连续量的分布函数连续量的分布函数曲线连续量的分布函数曲线返回返回1返回返回2三、统计平均值三、统计平均值对于离散型随机变量对于离散型随机变量统计平均值为统计平均值为方均值为方均值为对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为统计平均值为方均值为方均值为四、方差（涨落）四、方差（涨落）表示随机变量表示随机变量x的取值在其统计平均值
6、附近分散的程度。的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述（或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）定义相对均方根偏差：定义相对均方根偏差：相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。称为涨落、散度或散差。“涨落涨落”现现象象-测量值与统计值之间总有偏测量值与统计值之间总有偏离离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时，不随时间改变，间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。分子
7、数越多，涨落就越小。涨落现象涨落现象分布曲线分布曲线飞镖飞镖F(x)从入口投入小球与钉碰撞从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽落入狭槽(偶然偶然)为为清楚起见清楚起见 ,从正面来观察。从正面来观察。隔板隔板铁钉铁钉伽耳顿板伽耳顿板 大量偶然事件整体所遵大量偶然事件整体所遵循的规律循的规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球：经一定段时间后经一定段时间后,大量小球大量小球落入狭槽。落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。分布情况：中间多，两边少。重复几次重复几次，结果相似。，结果相似。单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。大量小球运动分布是确定的。小球数按空间小球数按
8、空间位置分布曲线位置分布曲线少数分子无规律性少数分子无规律性大量分子的统计分布大量分子的统计分布统计规律特点统计规律特点:（1 1）只对大量偶然的事件才有意义。）只对大量偶然的事件才有意义。（2 2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变)。（3 3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。（4 4）统计规律是以动力学规律为基础的。）统计规律是以动力学规律为基础的。（5 5）永远伴随着涨落现象。）永远伴随着涨落现象。统计规律性统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物
9、整体的本质和必然的联系。对于它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。必须用统计的方法。2 2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置葛正权实验装置 分布曲线分布曲线 令令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻璃板后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速
10、率分变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。布的规律。设速率为设速率为v的分子沉积在的分子沉积在P处，处，s表示弧表示弧PP长度，长度，表示表示R的的角速度，角速度，D D表示表示R R的直径。的直径。u 铋分子由铋分子由S3到达到达P处所需时间为：处所需时间为：u t 时间内时间内R R转过的角度为：转过的角度为：u 弧弧PP长度：长度：德国物理学家斯特恩（德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于）最早于19201920年做了分子射线年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（此处介绍朗缪尔（LangmuirLang
11、muir）的实验装置。）的实验装置。（装置置于真空之中）装置置于真空之中）淀积屏淀积屏P速率筛速率筛SWW狭缝屏狭缝屏分子源分子源 实验装置实验装置金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率率v 满足如下关系：满足如下关系：密勒库什实验装置密勒库什实验装置分布曲线分布曲线u 只要调节不同的旋转角速度只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范，就可以测出不同速率范围围v 内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率
12、范围的分子数比率。速率范围的分子数比率。分子射线的速率分布曲线分子射线的速率分布曲线1.1.气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律一、速率分布函数一、速率分布函数1 1、速率分布函数的定义、速率分布函数的定义平衡态下，气体分子速率平衡态下，气体分子速率v v可以看做在可以看做在0之间连续分布的。之间连续分布的。设系统的总分子数为：设系统的总分子数为：N 速率在速率在vv+dv之间的分子数：之间的分子数：dN 速率在速率在vv+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N（对于任意一个分子来说，速率处于（对于任意一个分子来说，速率处于vv+dv之间的概
13、率）之间的概率）平衡态下的速率分布函数：平衡态下的速率分布函数：2 2、速率分布函数的物理意义、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的对任意一个分子而言，它的速率刚好处于速率刚好处于v值附近单位值附近单位速率区间内的概率。速率区间内的概率。在速率在速率v附近，单位速率附近，单位速率区间内的分子数占系统总区间内的分子数占系统总分子数分子数N的比率。的比率。f(v)也称为分子速率分布的也称为分子速率分布的概率密度概率密度3 3、速率分布函数的应用、速率分布函数的应用n vv+dv区间的分子数：区间的分子数：n vv+dv区间的分子数在总数中占的比率：区间的分子数在总数中占的比率：（一个分子
14、的速率在（一个分子的速率在vv+dv区间的概率）区间的概率）n v1v2区区间间的分子数的分子数为为：n v1v2区区间间的分子数在的分子数在总总数中占的比率数中占的比率:(即一个分子的速率在即一个分子的速率在v1v2区间的概率区间的概率)速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件 二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律 在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间vvdv内的分子的比率为：内的分子的比率为：速率分布函数：速率分布函数：反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平
15、衡条件下，各速率区间分子数占总分子数占总分子数的百分分子数的百分比的规律。比的规律。1 1、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 2 2、速率分布曲线、速率分布曲线 曲线下矩形面积的物理意义：图图中任一区中任一区间间vvdv内，曲线下的窄条面积表内，曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：图中任一有限范围图中任一有限范围v1v2内，曲线下的面积则内，曲线下的面积则表示在这个范围内分子数占总分子数的比率表示在这个范围内分子数占总分子数的比率 ：由归一化条件，在由归一化条件，在0区间，区间，曲线下的面积为曲线下的面积为1 1。ov
16、1 v2 三、三种统计速率三、三种统计速率 1 1、最概然速率、最概然速率vp在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。物理意义根据分布函数求得根据分布函数求得 同种同种 分子不同温度的速率分布分子不同温度的速率分布相同温度下不同种类气体相同温度下不同种类气体的速率分布的速率分布2、分子的平均速率、分子的平均速率 大量分子的速率的算术平均值。大量分子的速率的算术平均值。平均值计算式为平均值计算式为 计算整个速率空间的平均速率计算整个速率空间的平均速率 任意区间任意区间v1v2内的平均速率内的平均速率根据
17、分布函数求得根据分布函数求得3、分子的方均根速率、分子的方均根速率 求整个速率空间的方均速率求整个速率空间的方均速率平均值计算式为平均值计算式为 任意区间任意区间v1v2内的方均速率内的方均速率根据分布函数求得根据分布函数求得1)1)平均值的计算公式注意上下区间的一致性平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论讨论2)速率分布的特征速率速率分布的特征速率当气体的温度当气体的温度T和摩尔质量和摩尔质量M相同时：相同时：(n为分子数密度为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义、说明下列各量的物理意义1、课本：P82 1 思考题答：答：分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子
18、数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速速率区间内的分子数。率区间内的分子数。分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的内的分子数占总分子数的比率。比率。分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数。内的分子数。分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的间所有分子的速率内的间所有分子的速率之和之和。分布在分布在 0 速率区间内的分子平均速率。速率区间内
19、的分子平均速率。分布在分布在 0 速率区间内的分子速率速率区间内的分子速率v2 的平均值。的平均值。分布在分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）归一化条件）对比对比（A A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率（B B）vp 是速率最大的速度值是速率最大的速度值（C C）vp是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值（DD）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大3 3、麦克斯韦速率分布中最概然速率、麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的
20、概念，下面的概念，下面哪种表述正确？哪种表述正确？恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件（如只有当速率大于某数值v1的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能复合为水），同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗？（一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化，您认为如何？）若氢气瓶为绝热容器，情况又如何？课本：P82 5答答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速
21、率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。升高，速率分布向温度高的方向改变。课本：P82 3、4、6、7、8 思考题 例 题课本：P83 1、2、3、4 例例1:已知分子数已知分子数N，分子质量分子质量m0，分布函数，分布函数 f(v),求：求：1）速率在）速率在 间的分子数；间的分子数；2）
22、速率在）速率在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和。速率在速率在 间的分子数间的分子数:1）2）解：解：例例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率气和氧气的最概然速率。2000解：解：例题例题3：求在标准状态下，求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于氮气中速率处于500501ms-1之间的分子数密度。之间的分子数密度。（参考课本（参考课本P84 5P84 5）解：解：已知已知例例4：估算：估算O2 在在 T=300 K 时速率在时速率在
23、790 800 m/s 区间区间内的分子数占总分子数的百分比。内的分子数占总分子数的百分比。（参考课本（参考课本P84 6P84 6）解解:解：解：已知已知例题例题5 5：求气体分子速率在：求气体分子速率在 区间内的分子数区间内的分子数占全部分子数的百分率。占全部分子数的百分率。（参考课本（参考课本P84 7P84 7（1 1）例题例题6:6:有有N N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为:（1 1）作速率分布曲线）作速率分布曲线（2 2）求常数）求常数C（3 3）求粒子的平均速率求粒子的平均速率（4 4）求粒子的方均根速率）求粒子的方均根速率（参考课本（参考课本P84 12P84
24、 12）解：解：（1）速率分布曲线如图速率分布曲线如图C (vo v 0)0 (v vo)CvovO（2）求常数）求常数C（3）（4）作业题1 1、对于给定的理想气体，试分别求、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2vp和和3vp的速率的速率附近与最概然速率附近与最概然速率vp的附近相比，在的附近相比，在v相同的速率小区间内相同的速率小区间内的分子数比。的分子数比。2 2、一由、一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：曲线如下图所示。试求：（1 1）速率分布函数；）速率分布函数；（2 2）速率在）速率在0v0/2范围内的
25、粒子数；范围内的粒子数；（3 3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间、速度空间 以以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以为轴的直角坐标系（或以v、为坐标的球坐标系为坐标的球坐标系）所确定的空间。）所确定的空间。速度空间中的一个微分体积元速度空间中的一个微分体积元d=dvxdvvdvz表示：表示：速度矢速度矢量的取值范围在量的取值范围在vx vx+dvx，vy vy+dvy，vz vz+dvz 内内的的所有那些速度矢量的整体，而所有那些速度矢量的整体，而vx，vv，vz是该立方体微是该立方体
26、微分元分元dvxdvvdvz中最靠近原点的那一点的坐标。中最靠近原点的那一点的坐标。速度空间中一个点代表什么速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。2、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间分子速度在区间 内的概率：内的概率：分子速度在分子速度在 附近单位区间内的概率密度：附近单位区间内的概率密度：气体分子的速度矢量：气体分子的速度矢量：设总分子数设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互，在平衡状态下，当气体分子间的
27、相互作用可以忽略时，作用可以忽略时，速度分量速度分量vx在区间在区间 vx vx+dvx 内内，速度分量速度分量vy在区间在区间 vy vy+dvy 内内 ，速度分量速度分量vz在区间在区间 vz vz+dvz 内的内的分子的比率为：分子的比率为：麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 麦克斯韦速度分量的分布函数麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：由概率相乘法则：vx，vy，vz相互独立相互独立 速度分量速度分量vx的分布函数：的分布函数：速度分量速度分量vy和和vz的分布函数：的分布函数：速度分量的分布函数速度分量的分布函数也可通过积分求解：课本
28、63 速度分量的分布曲线速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：图中曲线下的矩形阴影部分面积为：注意点注意点 适用范围适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：归一化条件：最概然速度的概念：最概然速度的概念：速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，韦速度分布律可得出，时，概率取极大。则最时，概率取极大。则最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零处的速
29、度。与最概然速率是两个完全不同的概念。处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。思考题分析以下各式的物理意义分析以下各式的物理意义 速度空间中任何位置处的概率密度速度空间中任何位置处的概率密度 速度空间中的分子数密度速度空间中的分子数密度 三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz范范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。意义与意义与(3)(3)相同相同三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,而而-
30、vz+范围内的范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为dvxdvy，其，其棱平行于棱平行于vz轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx，而，而-vy+，-vz+范范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于vx轴轴厚度为厚度为dvx的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。3 3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分
31、布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。在平衡状态下，分布在任一速率区间在平衡状态下，分布在任一速率区间vv+dv内的速度矢量端点内的速度矢量端点都落在半径为都落在半径为v，厚度为，厚度为dv的球壳层内。的球壳层内。球壳层的体积：球壳层的体积：同时同时 代入麦克斯韦速度分布律：代入麦克斯韦速度分布律：得到麦克斯韦速率分布律：得到麦克斯韦速率分布律：4 4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数vxdtx
32、yzOdA取直角坐标系取直角坐标系xyz，在垂直于，在垂直于x轴的器壁上取一小块面轴的器壁上取一小块面积积dA。设单位体积内的气体分子数为。设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积，则单位体积内速度分量内速度分量vx在在vxvxdvx之间的分子数为之间的分子数为nf(vx)dvx.，在所有在所有vx介于介于vxvxdvx之间的分子中之间的分子中，在，在一段时间一段时间dtdt内能够与内能够与dAdA相碰的分子只是位于以相碰的分子只是位于以dAdA为底，以为底，以v vx xdtdt为为高的柱体内的那一部分，其数目为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvxvxdtdA=nf(vx)vxd
33、vx dtdA。因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在在vxvxdvx之间之间的分子数即为：的分子数即为：将上式从将上式从0到到+对对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上的分积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：子总数为：其中：其中：代入前式，即得：代入前式，即得：由分子的平均速率为由分子的平均速率为：气体碰壁数为：气体碰壁数为：推导理想气体的压强公式推导理想气体的压强公式在在dt时间内速度时间内速度在在vxvxdvx，-vy+，-vz0的分子才能碰上的分子才能碰上dA面，面，0vx+,则气体分子对则气体分子对dA面面的总冲量为：的总冲量为：课本课本
34、P84 7P84 7（2 2）（）（3 3），），1010 作业题压强为：压强为：3.3.玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分布律一、玻耳兹曼分布律若若气体分子处于恒定的气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量势能势能麦克斯韦速度分布律：麦克斯韦速度分布律：因子因子动能动能理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是麦克斯韦速度分布可
35、以看作是无外场中分子数按能量的分布无外场中分子数按能量的分布zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(+-=p玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子经典粒子）按能量分布都与经典粒子）按能量分布都与 成正比成正比。玻耳兹曼因子（概率因子玻耳兹曼因子（概率因子）分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统计意义上看，从统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高
36、状态的概率为大。一般来说，气概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）的概率大得多态（较高能量状态）的概率大得多。外力场中，分子速度处于外力场中，分子速度处于 vx vx+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz区间内，坐标处于区间内，坐标处于 xx+dx、yy+dy、zz+dz的空间体积元的空间体积元dV=dxdydz内的分子数为内的分子数为 ：玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律n0表示在势能表示在势能p=0处单位体积内所含各种速度的分子数处单位体积内所含各种速度的分子数
37、考虑归一化条件：考虑归一化条件：+分布在坐标区间分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内内具有各具有各种速度的分子总数：种速度的分子总数：分布在坐标区间分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内单位体内单位体积内的分子数：积内的分子数：分子按势能的分布律分子按势能的分布律玻耳兹曼分布律对玻耳兹曼分布律对任何物质的微粒任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在核分子、布朗粒子等）在任何保守力场任何保守力场（重力场、电场）中运（重力场、电场）中运动的情形都成立。动的情形都成立。二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布令令
38、z=0 处处 单位体积内的分子数为单位体积内的分子数为 n0 重力场中的气体分子按高度分布的规律重力场中的气体分子按高度分布的规律则分布在高度为则分布在高度为z处体积元处体积元dxdydz内的分子数为：内的分子数为：而分布在高度为而分布在高度为z处单位体积内的分子数为：处单位体积内的分子数为：由理想气体状态方程由理想气体状态方程式中式中p0n0kT为为z=0处的处的大气压强，大气压强，p为为z处的大气压处的大气压强，强，m0是大气分子质量，是大气分子质量，M为气体的摩尔质量为气体的摩尔质量。在重力场中气体分子的数密度在重力场中气体分子的数密度n随高度的增大按指数减小。随高度的增大按指数减小。大
39、气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低）两边取对数两边取对数 可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。空离地面的高度。等温气压公式等温气压公式21、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为，温度为27C；起飞后，压力计指示为；起飞后，压力计指示为0.80atm，温度仍为，温度仍为27C，试计，试计算飞机距地面的高度。算飞机距地面的高度。解：根据等温气压公式：解：根据等温气压公式：有有 代入数据代入数据 课
40、堂例题课堂例题 22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0C。由题意知：由题意知：解：解：2323、设地球大气是等温的，温度为设地球大气是等温的，温度为t=5.0 C,海平面上的气压海平面上的气压为为p0=750mmHg，令测得某山顶的气压，令测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。，求山高。已知空气的平均分子量为已知空气的平均分子量为28.9728.97。解：解：麦克斯韦麦克斯韦速度分布律速度分布律 考虑分子按速度的分布 （按动能分布）在保守场中在保守场中 考虑分子按空间分布 （按势能分布）分子按能量分布的统计规律分子按能量分布的统计规律 （玻耳兹曼分布律（玻耳兹曼
41、分布律）分子按势能的分布律分子按势能的分布律 特殊化特殊化 各种速度各种速度 特殊化特殊化 重力场重力场 重力场中气体分子按高度分布的规律重力场中气体分子按高度分布的规律 等温气压公式等温气压公式 近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度 4.4.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度 描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的自由度自由度。例例1 1：自由自由运动的质点运动的质点 (三维空间三维空间)3 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t =3若受到限制自
42、由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上 2 2个个 平动自由度平动自由度 t =2 直线上直线上 1 1个个 平动自由度平动自由度 t =1 一般气体分子的运动：一般气体分子的运动：平动平动、转动转动和分子内原子间的和分子内原子间的振动振动一个质点的位置用一个质点的位置用 x、y、z三个独立坐标三个独立坐标 决定。决定。独立坐标数指独立坐标数指描写物体位置所需的最少坐标数。描写物体位置所需的最少坐标数。例例2 2：自由运动的刚体自由运动的刚体 (如大家熟悉的手榴弹如大家熟悉的手榴弹)自由度自由度 首先应明确刚体的振动自由度首先应明确刚体的振动自由度 s=0 s=0 按基本运动分解：按基本运
43、动分解：平动平动 +转动转动 刚体的运动：刚体的运动：质心的平动质心的平动+绕通过质心轴的转动绕通过质心轴的转动 每一点绕过每一点绕过C C点的轴转动点的轴转动 先定转轴：先定转轴：2 2个自由度个自由度 再定每个质元在垂再定每个质元在垂直轴的平面内绕轴旋直轴的平面内绕轴旋的角度：的角度：1 1个自由度个自由度3 3个转动自由度个转动自由度 r=3结果结果6个自由度个自由度=t+r=3+3=6定质心位置定质心位置 需需3 3个平动自由度个平动自由度 t=3l 整体随某点整体随某点(通常选质心通常选质心)平动平动一个刚体的位置用一个刚体的位置用1）x、y、z三个独立坐标三个独立坐标决定决定质心位
44、置；质心位置；2）用）用两个独立坐标两个独立坐标、决定决定转轴的方位；转轴的方位；3）用）用一个独立坐标一个独立坐标 决定刚体决定刚体相对于某一起始位置转过的角相对于某一起始位置转过的角度。度。绕定轴转动的刚体只有绕定轴转动的刚体只有1 1个自由度。个自由度。物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体受到的物体受到的限制限制（或约束）（或约束）越多越多，自由度就越小自由度就越小。考虑到物体的形状和大小，它的自由度等于描写考虑到物体的形状和大小，它的自由度等于描写物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方程的
45、个数。程的个数。2 2、气体分子的自由度、气体分子的自由度将每个原子看作质点将每个原子看作质点 所以分子是质点系。所以分子是质点系。单单原子气体分子原子气体分子：一个自由运一个自由运动动的的质质点，点，则则其分子需要其分子需要x、y、z三个独立的空三个独立的空间间坐坐标标才能确定其位置，所以它的自由度才能确定其位置，所以它的自由度为为3 3。双原子气体分子双原子气体分子：由一根由一根质质量可忽略的量可忽略的弹弹簧及两个簧及两个质质点构成的模型。点构成的模型。用用3 3个独立坐个独立坐标标确定其确定其质质心位置；心位置；2 2个独立坐个独立坐标标确定其双原子确定其双原子连连线线的方位；的方位；1
46、 1个独立坐个独立坐标标决定两决定两质质点的相点的相对对位置。位置。因而它的自由度是因而它的自由度是6 6：3 3个平个平动动+2+2个个转动转动+1+1个振个振动动多原子气体分子多原子气体分子：由由N个原子构成，最多有个原子构成，最多有3N个自由度，个自由度，其中其中3 3个是平动，个是平动，3 3个是转动，其余是个是转动，其余是3N-6是振动的。当分子是振动的。当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少。的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少。总总 自自 由由 度度 =t 平动自由度；平动自由度；r 转动自由度；转动自由度；s 振动自由度振动自由度对刚性气体分子来说：对刚性气体分子来
47、说：刚性单原子气体分子刚性单原子气体分子：3 3个自由度：个自由度：3 3个平动个平动刚性分子：刚性分子：对于分子内有对于分子内有振动振动（原子间距离变化）的情况（原子间距离变化）的情况不予考虑不予考虑。刚性的多原子气体分子刚性的多原子气体分子：6 6个自由度：个自由度：3 3个平动个平动+3+3个转动个转动在确定质心位置和任一过质心的轴线的方位后，还需要一在确定质心位置和任一过质心的轴线的方位后，还需要一个用以确定绕该轴转动的角坐标，因而它有个用以确定绕该轴转动的角坐标，因而它有6 6个自由度。个自由度。刚性双原子气体分子刚性双原子气体分子：5 5个自由度：个自由度：3 3个平动个平动+2
48、2个转动个转动可以这样来理解，两个原子需要可以这样来理解，两个原子需要6 6个坐标，但是由于有刚性的个坐标，但是由于有刚性的要求（两个原子之间的距离不变），从而形成一个约束方程，要求（两个原子之间的距离不变），从而形成一个约束方程，自由度等于自由度等于5 5。自由度数目自由度数目气体分子自由度气体分子自由度 平平动动 转转动动 振振动动单单原子分子原子分子 3 0 0 3 3双双原子分子原子分子 3 2 1 6 5多多/N原子分子原子分子 3 3 3N6 3N 6分子分子自由度自由度t平动平动r转动转动总总(一般一般)s振动振动总总(刚性刚性)二、二、能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理理
49、想气体的平均平动动能可以表示为：理想气体的平均平动动能可以表示为：分子有分子有3个平动自由度，分子的平均平动动能可表示为：个平动自由度，分子的平均平动动能可表示为：在平衡状态下，大量气体分子沿各个方向运动的机会均等：在平衡状态下，大量气体分子沿各个方向运动的机会均等：平衡态下的分子运动，每一个平动自由度的平均动能：平衡态下的分子运动，每一个平动自由度的平均动能：在温度为在温度为T T 的平衡态下各自由度地位相等的平衡态下各自由度地位相等每一转动自由度，每一振动自由度也具有与每一转动自由度，每一振动自由度也具有与平动自由度相同的平均动能，其值也为平动自由度相同的平均动能，其值也为 。在温度为在温
50、度为T 的平衡状态下，物质（气体、液体的平衡状态下，物质（气体、液体或固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均或固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于动能，其大小都等于 。能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理讨论讨论1)能量分配能量分配 没有占优势的自由度没有占优势的自由度2)物质：物质：对象无限制（固、液、气）对象无限制（固、液、气）普遍性普遍性 平衡态：平衡态：对状态的限制对状态的限制平均动能：平均动能：统计的结果统计的结果3)该定理是关于该定理是关于分子热运动分子热运动动能动能的统计规律。的统计规律。4）该定理是）该定理是统计规律统计规律，只适用于大量分子组成的，