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1、第三章气体分子热运动速率PPT课件第1页，本讲稿共115页1 1 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律2 2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律3 3 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布4 4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理概率论的基本知识概率论的基本知识概率论的基本知识概率
2、论的基本知识第2页，本讲稿共115页概率论的基本知识概率论的基本知识一、概率的基本性质一、概率的基本性质1 1、概率的定义、概率的定义若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下（N），计算所出现某一事件的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。第3页，本讲稿共115页2 2、概率的基本性质、概率的基本性质(1)，即事件，即事件i的概率只可能在的概率只可能在0和和1之间。之间。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1.归一化条件归一化条
3、件在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。由此可总结出一条基本原理：由此可总结出一条基本原理：等概率性等概率性在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。况下，每一事件出现的概率都应相等。3 3、等概率性等概率性第4页，本讲稿共115页（1）概率相加法则）概率相加法则 n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。（2）概率相乘法则）概率相乘法则 同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的
4、事件发生的同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。概率等于各个事件概率之乘积。3 3、概率的基本法则概率的基本法则第5页，本讲稿共115页二、随机变量二、随机变量 如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为变量称为。1 1、离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量表示方式表示方式取值有限、分立取值有限、分立为随机变量为随机变量x x的概率，满足条件：的概率，满足条件：归一化条件归一化条件第6页，本讲稿共115页 变量变量x可取某一区间内的一切数值。可取
5、某一区间内的一切数值。2 2、连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值无限、连续随机变量随机变量x的的概率密度概率密度:概率密度概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又称为称为概率分布函数（简称分布函数）概率分布函数（简称分布函数）。分布函数分布函数第7页，本讲稿共115页概率分布函数概率分布函数f（x），），满足条件：满足条件：归一化条件归一化条件离散量与连续量的分布函数离散量与连续量的分布函数第8页，本讲稿共115页连续量的分布函数曲线连续量的分布函数曲线返回返回1返回返回2第9页，本讲稿共115页三、统
6、计平均值三、统计平均值对于离散型随机变量对于离散型随机变量统计平均值为统计平均值为方均值为方均值为第10页，本讲稿共115页对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为统计平均值为方均值为方均值为第11页，本讲稿共115页四、方差（涨落）四、方差（涨落）表示随机变量表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）定定义相相对均方根偏差：均方根偏差：相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。称为涨落、散度或散差。第
7、12页，本讲稿共115页“涨落涨落”现象现象-测量值与统计值之间总有偏离测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时间改，不随时间改变，变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，全一样，分子数越多，涨落就越小。分子数越多，涨落就越小。涨落现象涨落现象第13页，本讲稿共115页分布曲线分布曲线飞镖飞镖F(x)第14页，本讲稿共115页从入口投入小球与钉碰撞从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽落入狭槽(偶然偶然)为清楚起清楚起见,从正面来从正面来观察。察。隔板隔板铁钉铁钉伽耳顿板伽耳顿板第15
8、页，本讲稿共115页 大量偶然事件整体所遵循的大量偶然事件整体所遵循的规律规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球：经一定段时间后经一定段时间后,大量小球落入大量小球落入狭槽。狭槽。分布情况：中间多，两边少。分布情况：中间多，两边少。重复几次重复几次，结果相似。，结果相似。单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的,大大量小球运动分布是确定的。量小球运动分布是确定的。小球数按空间小球数按空间位置分布曲线位置分布曲线第16页，本讲稿共115页少数分子无规律性少数分子无规律性大量分子的统计分布大量分子的统计分布第17页，本讲稿共115页统计规律特点统计规律特点:（1 1）只）只对大量偶然的事
9、件才有意大量偶然的事件才有意义。（2 2）它是不同于个体）它是不同于个体规律的整体律的整体规律律(量量变到到质变)。（3 3）大数量）大数量现象在一定宏象在一定宏观条件下的条件下的稳定性。定性。（4 4）统计规律是以律是以动力学力学规律律为基基础的。的。（5 5）永）永远伴随着伴随着涨落落现象。象。统计规律性统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。用统计的方
10、法。第18页，本讲稿共115页2 2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置葛正权实验装置 分布曲线分布曲线第19页，本讲稿共115页 令令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻璃板璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。设速率为设速率为v的分子沉积在的分子沉积在P处，处，s表示弧表示弧PP长度，长度，表示
11、表示R的角速度，的角速度，D D表示表示R R的直径。的直径。u 铋分子由铋分子由S3到达到达P处所需时间为：处所需时间为：u t 时间内时间内R R转过的角度为：转过的角度为：u 弧弧PP长度：长度：第20页，本讲稿共115页德国物理学家斯特恩（德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于）最早于19201920年做了分子射线束实验年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（此处介绍朗缪尔（LangmuirLangmuir）的实验装置。）的实验装置。（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）淀积屏淀积屏P速率筛速率筛SWW狭缝屏狭缝
12、屏分子源分子源 第21页，本讲稿共115页实验装置实验装置金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率v 满足如下满足如下关系：关系：第22页，本讲稿共115页密勒库什实验装置密勒库什实验装置分布曲线分布曲线第23页，本讲稿共115页u 只要调节不同的旋转角速度只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围，就可以测出不同速率范围v 内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。范围的分子数比率
13、。分子射线的速率分布曲线分子射线的速率分布曲线第24页，本讲稿共115页1.1.气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律一、速率分布函数一、速率分布函数1 1、速率分布函数的定、速率分布函数的定义平衡态下，气体分子速率平衡态下，气体分子速率v v可以看做在可以看做在0之间连续分布的。之间连续分布的。设系统的总分子数为：设系统的总分子数为：N 速率在速率在vv+dv之间的分子数：之间的分子数：dN 速率在速率在vv+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N（对于任意一个分子来说，速率处于（对于任意一个分子来说，速率处于vv+dv之间的概率）之间的概率
14、）平衡态下的速率分布函数：平衡态下的速率分布函数：第25页，本讲稿共115页2 2、速率分布函数的物理意、速率分布函数的物理意义对任意一个分子而言，它的对任意一个分子而言，它的速率刚好处于速率刚好处于v值附近单位值附近单位速率区间内的概率。速率区间内的概率。在速率在速率v附近，单位速率附近，单位速率区间内的分子数占系统总区间内的分子数占系统总分子数分子数N的比率。的比率。f(v)也称为分子速率分布的也称为分子速率分布的概率密度概率密度第26页，本讲稿共115页3 3、速率分布函数的、速率分布函数的应用用n vv+dv区间的分子数：区间的分子数：n vv+dv区间的分子数在总数中占的比率：区间的
15、分子数在总数中占的比率：（一个分子的速率在（一个分子的速率在vv+dv区间的概率）区间的概率）n v1v2区区间间的分子数的分子数为为：n v1v2区区间间的分子数在的分子数在总总数中占的比率数中占的比率:(即一个分子的速率在即一个分子的速率在v1v2区间的概率区间的概率)速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件 第27页，本讲稿共115页二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律 在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间在任一速率区间vvdv内的分子的比率为：内的分子的比率为：速率分布函数：速率分布函数：
16、反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。数的百分比的规律。1 1、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 第28页，本讲稿共115页2 2、速率分布曲线、速率分布曲线 曲线下矩形面积的物理意义：图图中任一区中任一区间间vvdv内，曲线下的窄条面积表示速率内，曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：分布在这区间内分子数占总分子数的比率：图中任一有限范围图中任一有限范围v1v2内，曲线下的面积则表示在内，曲线下的面积则表示在这个范围内分子数占总分子数的比率这个范围内分子数占总分子数的比率 ：
17、由归一化条件，在由归一化条件，在0区间，区间，曲线下的面积为曲线下的面积为1 1。ov1 v2第29页，本讲稿共115页 三、三种统计速率三、三种统计速率 1 1、最概然速率、最概然速率vp在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。物理意义第30页，本讲稿共115页根据分布函数求得根据分布函数求得 同种同种 分子不同温度的速率分布分子不同温度的速率分布相同温度下不同种类气体的相同温度下不同种类气体的速率分布速率分布第31页，本讲稿共115页2、分子的平均速率、分子的平均速率 大量分子的速率的算术平均值。
18、大量分子的速率的算术平均值。平均值计算式为平均值计算式为 计算整个速率空间的平均速率计算整个速率空间的平均速率 任意区间任意区间v1v2内的平均速率内的平均速率第32页，本讲稿共115页根据分布函数求得根据分布函数求得3、分子的方均根速率、分子的方均根速率 求整个速率空间的方均速率求整个速率空间的方均速率平均值计算式为平均值计算式为第33页，本讲稿共115页 任意区间任意区间v1v2内的方均速率内的方均速率根据分布函数求得根据分布函数求得第34页，本讲稿共115页1)1)平均值的计算公式注意上下区间的一致性平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论第35页，本讲稿共115页2)速率分布的特征速率
19、速率分布的特征速率当气体的温度当气体的温度T和摩尔质量和摩尔质量M相同时：相同时：第36页，本讲稿共115页(n为分子数密度为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义、说明下列各量的物理意义1、课本：P82 1 思考题第37页，本讲稿共115页答：答：分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数占总分子数的速率区间内的分子数占总分子数的比率。比率。分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区速率区间内的分子数。间内的分子数。第38页，本
20、讲稿共115页 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数。内的分子数。分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的间所有分子的速率之内的间所有分子的速率之和和。第39页，本讲稿共115页 分布在分布在 0 速率区间内的分子平均速率。速率区间内的分子平均速率。分布在分布在 0 速率区间内的分子速率速率区间内的分子速率v2 的平均值。的平均值。分布在分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归归一化条件）一化条件）对比对比第
21、40页，本讲稿共115页（A A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率（B B）vp 是速率最大的速度值是速率最大的速度值（C C）vp是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值（D D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大3 3、麦克斯韦速率分布中最概然速率、麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的概念，下面哪种表的概念，下面哪种表述正确？述正确？第41页，本讲稿共115页恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件（如只有当速率大于某数值v1的两个氢分子和一
22、个氧分子碰撞后才能复合为水），同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗？（一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化，您认为如何？）若氢气瓶为绝热容器，情况又如何？课本：P82 5答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分
23、布不变。若分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。方向改变。第42页，本讲稿共115页课本：P82 3、4、6、7、8 思考题 例 题课本：P83 1、2、3、4第43页，本讲稿共115页 例例1:已知分子数已知分子数N，分子质量，分子质量m0，分布函数，分布函数 f(v),求：求：1）速率在）速率在 间的分子数；间的分子数；2）速率在）速率在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和。速率在速率在 间的分子数间的分子数:1）2）解：解：第44页，本
24、讲稿共115页例例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最概然从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率速率。2000解：解：第45页，本讲稿共115页例题例题3：求在标准状态下，求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于氮气中速率处于500501ms-1之间的分子数密度。之间的分子数密度。（参考课本（参考课本P84 5P84 5）解：解：已知已知第46页，本讲稿共115页例例4：估算：估算O2 在在 T=300 K 时速率在时速率在 790 800 m/s 区间内的区间内的
25、分子数占总分子数的百分比。分子数占总分子数的百分比。（参考课本（参考课本P84 6P84 6）解解:第47页，本讲稿共115页解：解：已知已知例例题5 5：求气体分子速率在：求气体分子速率在 区区间内的分子数占全部分内的分子数占全部分子数的百分率。子数的百分率。（参考（参考课本本P847P847（1 1）第48页，本讲稿共115页例例题6:6:有有N N个粒子，其速率分布函数个粒子，其速率分布函数为:（1 1）作速率分布曲）作速率分布曲线（2 2）求常数）求常数C（3 3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率（4 4）求粒子的方均根速率）求粒子的方均根速率（参考课本（参考课本P84 12P84
26、12）解：解：（1）速率分布曲线如图速率分布曲线如图C (vo v 0)0 (v vo)CvovO（2）求常数）求常数C第49页，本讲稿共115页（3）（4）第50页，本讲稿共115页 作业题1 1、对于给定的理想气体，试分别求、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2vp和和3vp的速率附近与的速率附近与最概然速率最概然速率vp的附近相比，在的附近相比，在v相同的速率小区间内的分子数比。相同的速率小区间内的分子数比。2 2、一由、一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：图所示。试求：（1 1）速率分布函数；）速率
27、分布函数；（2 2）速率在）速率在0v0/2范围内的粒子数；范围内的粒子数；（3 3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。第51页，本讲稿共115页四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间、速度空间 以以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以为轴的直角坐标系（或以v、为坐标的为坐标的球坐标系）所确定的空间。球坐标系）所确定的空间。第52页，本讲稿共115页速度空间中的一个微分体积元速度空间中的一个微分体积元d=dvxdvvdvz表示：表示：速度矢量速度矢量的取值范围在的取值范围在vx vx+dvx，vy vy+dvy，vz vz+d
28、vz 内的内的所有那所有那些速度矢量的整体，而些速度矢量的整体，而vx，vv，vz是该立方体微分元是该立方体微分元dvxdvvdvz中最靠近原点的那一点的坐标。中最靠近原点的那一点的坐标。速度空间中一个点代表什么速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢量，从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。第53页，本讲稿共115页2、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间分子速度在区间 内的概率：内的概率：分子速度在分子速度在附近附近单位区位区间内的概率密度：内的概率密度：气
29、体分子的速度矢量：气体分子的速度矢量：第54页，本讲稿共115页设总分子数分子数N，在平衡状，在平衡状态下，当气体分子下，当气体分子间的相互作用的相互作用可以忽略可以忽略时，速度分量，速度分量vx在区在区间 vx vx+dvx 内内，速度分量速度分量vy在区在区间 vy vy+dvy 内内，速度分量速度分量vz在区在区间 vz vz+dvz 内的内的分子的比率分子的比率为：麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数第55页，本讲稿共115页 麦克斯韦速度分量的分布函数麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：由概率相乘法则：vx，vy，vz相互独立相互独立
30、第56页，本讲稿共115页 速度分量速度分量vx的分布函数：的分布函数：速度分量速度分量vy和和vz的分布函数：的分布函数：速度分量的分布函数速度分量的分布函数也可通过积分求解：课本63第57页，本讲稿共115页 速度分量的分布曲线速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：图中曲线下的矩形阴影部分面积为：第58页，本讲稿共115页 注意点注意点 适用范围适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：归一化条件：最概然速度的概念：最概然速度的概念：速度分布中概率取极大速度分布中概率取极大时的速度就是最概然
31、速度。由麦克斯的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，速度分布律可得出，时，概率取极大。，概率取极大。则最概然最概然速度就是速率速度就是速率为零零处的速度，或者的速度，或者说是速度矢量等于零是速度矢量等于零处的速的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。度。与最概然速率是两个完全不同的概念。第59页，本讲稿共115页 思考题分析以下各式的物理意义分析以下各式的物理意义 速度空间中任何位置处的概率密度速度空间中任何位置处的概率密度 速度空间中的分子数密度速度空间中的分子数密度 三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz范围内的范围内的概率或速
32、度矢量端点落在速度空间中体积元概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元dvxdvydvz内的分子数占内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。第60页，本讲稿共115页 意义与意义与(3)(3)相同相同三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,而而-vz+范围内的概率；也范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为dvxdvy，其棱平行于，其棱平行于vz轴的无穷轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。长柱体中分子数与总分子数之比。三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx，而，而-vy+，-vz+范围内的范围内的概率；
33、也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于vx轴厚度为轴厚度为dvx的无穷的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。薄平板中的分子数与总分子数之比。第61页，本讲稿共115页3 3、从麦克斯、从麦克斯韦速度分布律速度分布律导出速率分布出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。在平衡状态下，分布在任一速率区间在平衡状态下，分布在任一速率区间vv+dv内的速度矢量端点都落在内的速度矢量端点都落在半径为半径为v，厚度为，厚度为dv的球壳层内。的球壳层内。第62页，本讲稿共115页球壳层
34、的体积：球壳层的体积：同同时 代入麦克斯韦速度分布律：代入麦克斯韦速度分布律：得到麦克斯韦速率分布律：得到麦克斯韦速率分布律：第63页，本讲稿共115页4 4、由麦克斯、由麦克斯韦速度分布律速度分布律导出气体分子碰壁数及气体出气体分子碰壁数及气体压强公式公式用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数vxdtxyzOdA第64页，本讲稿共115页取直角坐标系取直角坐标系xyz，在垂直于，在垂直于x轴的器壁上取一小块面积轴的器壁上取一小块面积dA。设。设单位体积内的气体分子数为单位体积内的气体分子数为n，则单位体积内速度分量，则单位体积内速度分量vx在在vxvxdvx
35、之间的分子数为之间的分子数为nf(vx)dvx.，在所有在所有vx介于介于vxvxdvx之间的分子中之间的分子中，在，在一段时间一段时间dtdt内能够与内能够与dAdA相碰的分子只是相碰的分子只是位于以位于以dAdA为底，以为底，以v vx xdtdt为高的柱体内的那一部分，其数目为为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvxvxdtdA=nf(vx)vxdvx dtdA。第65页，本讲稿共115页因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在在vxvxdvx之间的分子之间的分子数即为：数即为：将上式从将上式从0到到+对对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上
36、的分子总数为：积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：其中：其中：第66页，本讲稿共115页代入前式，即得：代入前式，即得：由分子的平均速率为由分子的平均速率为：气体碰壁数为：气体碰壁数为：第67页，本讲稿共115页 推导理想气体的压强公式推导理想气体的压强公式在在dt时间内速度时间内速度在在vxvxdvx，-vy+，-vz0的分子才能碰上的分子才能碰上dA面，面，0vx+,则气体分子对则气体分子对dA面的总冲面的总冲量为：量为：第68页，本讲稿共115页课本课本P84 7P84 7（2 2）（）（3 3），），1010 作业题压强为：压强为：第69页，本讲稿共115页3.3.玻耳兹曼分布
37、律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分布律一、玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的外若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何第70页，本讲稿共115页如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量势能势能麦克斯韦速度分布律：麦克斯韦速度分布律：因子因子动能动能理想气体分子仅理想气体分子仅有动能有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布外场中分子数按能量的分布zyxkTvvv
38、mdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(+-=p第71页，本讲稿共115页玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度在温度为T的平衡的平衡态下，任何系下，任何系统的微的微观粒子粒子经典粒子）按能量分布都与典粒子）按能量分布都与成正比成正比。玻耳兹曼因子（概率因子玻耳兹曼因子（概率因子）分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从从统计意义上看，统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占比占据能量较高状态的
39、概率为大。一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）的概率大得多量状态）的概率大得多。第72页，本讲稿共115页外力外力场中，分子速度中，分子速度处于于 vx vx+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz区区间内，内，坐坐标处于于 xx+dx、yy+dy、zz+dz的空的空间体体积元元dV=dxdydz内的内的分子数分子数为：玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律n0表示在势能表示在势能p=0处单位体积内所含各种速度的分子数处单位体积内所含各种速度的分子数 考虑归一化条件：考虑归一化条件：+第73页，本讲稿共1
40、15页分布在坐分布在坐标区区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内具有各种速内具有各种速度的分子度的分子总数：数：分布在坐分布在坐标区区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内内单位体位体积内内的分子数：的分子数：分子按势能的分布律分子按势能的分布律玻耳兹曼分布律对玻耳兹曼分布律对任何物质的微粒任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子核分子、（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在布朗粒子等）在任何保守力场任何保守力场（重力场、电场）中运动的情形都（重力场、电场）中运动的情形都成立。成立。第74页，本讲稿共115页二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布令令 z=0 处处 单
41、位体积内的分子数为单位体积内的分子数为 n0 重力场中的气体分子按高度分布的规律重力场中的气体分子按高度分布的规律则分布在高度为则分布在高度为z处体积元处体积元dxdydz内的分子数为：内的分子数为：而分布在高度而分布在高度为z处单位体位体积内的分子数内的分子数为：第75页，本讲稿共115页由理想气体状态方程由理想气体状态方程式中式中p0n0kT为为z=0处的大气压强，处的大气压强，p为为z处的大气压强，处的大气压强，m0是大气分子质量，是大气分子质量，M为气体的摩气体的摩尔质量量。在重力场中气体分子的数密度在重力场中气体分子的数密度n随高度的增大按指数减小。随高度的增大按指数减小。第76页，
42、本讲稿共115页大气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低）两边取对数两边取对数 可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。离地面的高度。等温气压公式等温气压公式第77页，本讲稿共115页21、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为，温度为27C；起；起飞后，压力计指示为飞后，压力计指示为0.80atm，温度仍为，温度仍为27C，试计算飞机距地面，试计算飞机距地面的高度。的高度。解：根据等温气压公式：解：
43、根据等温气压公式：有有 代入数据代入数据 课堂例题课堂例题 第78页，本讲稿共115页22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0C。由题意知：由题意知：解：解：第79页，本讲稿共115页2323、设地球大气是等温的，温度为设地球大气是等温的，温度为t=5.0 C,海平面上的气压为海平面上的气压为p0=750mmHg，令测得某山顶的气压，令测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。已知，求山高。已知空气的平均分子量为空气的平均分子量为28.9728.97。解：解：第80页，本讲稿共115页 麦克斯韦麦克斯韦速度分布律速度分布律 考虑分子按速度的分布 （按动能分布）在保守场
44、中在保守场中 考虑分子按空间分布 （按势能分布）分子按能量分布的统计规律分子按能量分布的统计规律 （玻耳兹曼分布律（玻耳兹曼分布律）分子按势能的分布律分子按势能的分布律 特殊化特殊化 各种速度各种速度 特殊化特殊化 重力重力场 重力场中气体分子按高度分布的规律重力场中气体分子按高度分布的规律 等温气压公式等温气压公式 近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度 第81页，本讲稿共115页4.4.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度 描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该
45、物体的自由度自由度。例例1 1：自由自由运动的质点运动的质点 (三维空间三维空间)3 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t =3若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上 2 2个个 平动自由度平动自由度 t =2 直线上直线上 1 1个个 平动自由度平动自由度 t =1 一般气体分子的运动：一般气体分子的运动：平动平动、转动转动和分子内原子间的和分子内原子间的振动振动一个质点的位置用一个质点的位置用 x、y、z三个独立坐标三个独立坐标 决定。决定。独立坐标数指独立坐标数指描写物体位置所需的最少坐标数。描写物体位置所需的最少坐标数。第82页，本讲稿共115页例例2 2：自由
46、运动的刚体自由运动的刚体(如大家熟悉的手榴弹如大家熟悉的手榴弹)自由度自由度 首先应明确刚体的振动自由度首先应明确刚体的振动自由度 s=0 s=0 按基本运动分解：按基本运动分解：平动平动 +转动转动 刚体的运动：刚体的运动：质心的平动质心的平动+绕通过质心轴的转动绕通过质心轴的转动第83页，本讲稿共115页 每一点绕过每一点绕过C C点的轴转动点的轴转动 先定转轴：先定转轴：2 2个自由度个自由度 再定每个质元在垂直再定每个质元在垂直轴的平面内绕轴旋的角轴的平面内绕轴旋的角度：度：1 1个自由度个自由度3 3个转动自由度个转动自由度 r=3结果结果6个自由度个自由度=t+r=3+3=6定质心
47、位置定质心位置 需需3 3个平动自由度个平动自由度 t=3l整体随某点整体随某点(通常通常选质心心)平平动第84页，本讲稿共115页一个刚体的位置用一个刚体的位置用1）x、y、z三个独立坐标三个独立坐标决定质决定质心位置；心位置；2）用）用两个独立坐标两个独立坐标、决定转决定转轴的方位；轴的方位；3）用）用一个独立坐标一个独立坐标 决定刚体相决定刚体相对于某一起始位置转过的角度。对于某一起始位置转过的角度。绕定轴转动的刚体只有绕定轴转动的刚体只有1 1个自由度。个自由度。第85页，本讲稿共115页物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的，物体受到的
48、受到的限制限制（或约束）（或约束）越多越多，自由度就越小自由度就越小。考虑到物。考虑到物体的形状和大小，它的自由度等于描写物体上每个质点的体的形状和大小，它的自由度等于描写物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方程的个数。坐标个数减去所受到的约束方程的个数。第86页，本讲稿共115页2 2、气体分子的自由度、气体分子的自由度将每个原子看作质点将每个原子看作质点 所以分子是质点系。所以分子是质点系。单单原子气体分子原子气体分子：一个自由运一个自由运动动的的质质点，点，则则其分子需要其分子需要x、y、z三个独三个独立的空立的空间间坐坐标标才能确定其位置，所以它的自由度才能确定其位置，所以它的自由
49、度为为3 3。双原子气体分子双原子气体分子：由一根由一根质质量可忽略的量可忽略的弹弹簧及两个簧及两个质质点构成的模型。点构成的模型。用用3 3个独立坐个独立坐标标确定其确定其质质心位置；心位置；2 2个独立坐个独立坐标标确定其双原子确定其双原子连线连线的方位；的方位；1 1个独立坐个独立坐标标决定两决定两质质点的相点的相对对位置。位置。因而它的自由度是因而它的自由度是6 6：3 3个平个平动动+2+2个个转动转动+1+1个振个振动动第87页，本讲稿共115页多原子气体分子多原子气体分子：由由N个原子构成，最多有个原子构成，最多有3N个自由度，其中个自由度，其中3 3个是个是平动，平动，3 3个
50、是转动，其余是个是转动，其余是3N-6是振动的。当分子的运动受到某种是振动的。当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减少。限制时，其自由度数就会减少。总 自自 由由 度度=t 平动自由度；平动自由度；r 转动自由度；转动自由度；s 振动自由度振动自由度第88页，本讲稿共115页对刚性气体分子来说：对刚性气体分子来说：刚性单原子气体分子刚性单原子气体分子：3 3个自由度：个自由度：3 3个平动个平动刚性分子：刚性分子：对于分子内有对于分子内有振动振动（原子间距离变化）的情况（原子间距离变化）的情况不予考虑不予考虑。第89页，本讲稿共115页刚性的多原子气体分子刚性的多原子气体分子：6 6个自