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1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第4讲讲平面向量应用举例平面向量应用举例【2014年高考会这样考年高考会这样考】以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合常与三角函数、解析几何等结合抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题度、
2、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：向量定理：ab_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab_.1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用ab(b0)x1y2x2y10 x1x2y1y20ab0抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)求夹角问题，利用夹角公式求夹角问题，利用夹角公式与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数是高
3、考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识外，还应掌握三角恒等变换的相关知识2向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运直线和圆锥曲线的位置关系的相关
4、知识来解答，坐标的运算是考查的主体算是考查的主体3向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个手段一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算化的主要手段是向量的坐标运算两条主线两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑
5、注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题用向量的有关性质解题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A直角三角形直角三角形 B等腰三角形等腰三角形C等腰直角三角形等腰直角三角形 D无法确定无法确定答案答案B考点自测考点自测抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A一次函数且是奇函数一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数二次函数且是偶函数 D二次函数但
6、不是偶函数二次函数但不是偶函数解析解析函数函数f(x)x2ab(b2a2)xab，ab，ab0，f(x)(b2a2)x.|a|b|，b2a20，f(x)为一次函数且是奇函数故选为一次函数且是奇函数故选A.答案答案A2(2013新余模拟新余模拟)若若a，b是非零向量，且是非零向量，且ab，|a|b|，则函数则函数f(x)(xab)(xba)是是 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A4,0 B16,0 C2,0 D16,4解析解析设设a与与b夹角为夹角为，|a|1，|b|2，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos，0，cos 1,1，88c
7、os 0,16，即即|2ab|20,16，|2ab|0,4答案答案A抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A2 B4 C5 D10答案答案D抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案x2y40，6.（20132013年年 山东文山东文）在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，已知中，已知，则实数，则实数的值为的值为_若若，解解 又又 解得解得抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A等边三角形等边三角形 B等腰三角形等腰三角形C直角三角形直角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形审题视点审题视点 根据向量式寻找根
8、据向量式寻找ABC边、角之间的关系边、角之间的关系考向一考向一向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案C抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A重心、外心、垂心重心、外心、垂心 B重心、外心、内心重心、外心、内心C外心、重心、垂心外心、重心、垂心 D外心、重心、内心外心、重心、内心抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案C抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求
9、|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tan tan 16，求证：，求证：ab.审题视点审题视点 根据平面向量的运算性质列式根据平面向量的运算性质列式(三角函数式三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题(1)解解因为因为a与与b2c垂直，所以垂直，所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0，因此因此tan()2.考向二考向二向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用【例例2】设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)抓住抓住3个
10、考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求动点求动点P的轨迹方程；的轨迹方程；审题视点审题视点(1)设出动点设出动点P的坐标，化简向量之间的关系，的坐标，化简向量之间的关系，整理即得轨迹方程；整理即得轨迹方程；(2)利用圆的性质化简向量数量积，将利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点其转化为动点P与定点与定点N的距离的最值，最后代入点的坐的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解标将其转化为函数的最值求解考向三考向三向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个
11、考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 向量在解析几何中的作用：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用：载体作用：向量在解析几何问题中出现，关键是脱去向量在解析几何问题中出现，关键是脱去“向量外衣向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用工具作用：利用：利用abab0，abab(b0)，可，可解决垂直、平行问题，特别地，其坐标表示对于
12、解决解析解决垂直、平行问题，特别地，其坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题起到化繁为简的效果几何中的垂直、平行问题起到化繁为简的效果抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】通过近三年高考试题分析，考查平面向量的通过近三年高考试题分析，考查平面向量的有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现，主要是以三角函数、解析几何等知识为答题中出现，主要是以三角函数、解析几何等知识为载体，考查数量积的定义、性质等若出现平面向量载体，考查数量积的定义、性质等若出现平面向量与三角函数的交汇问题，题目难
13、度中等与三角函数的交汇问题，题目难度中等规范解答规范解答88高考中平面向量与三角函数的交汇问题高考中平面向量与三角函数的交汇问题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题教你审题 一审一审 把数量积转化为三角形边、角关系；把数量积转化为三角形边、角关系；二审二审 利用正弦定理进行边化角；利用正弦定理进行边化角；三审三审 利用在利用在ABC中中tan(AB)tan C.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考
14、反思反思(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式的定义和运算法则准确转化为三角函数式(2)本题难度中档偏下，大部分考生能较准确地做出来，得本题难度中档偏下，大部分考生能较准确地做出来，得到满分到满分抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；第二步：化简三角函数式；第二步：化简三角函数式；第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；质；第四步：明确表述结论第四步：明确表述结论抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)由题设，可得由题设，可得(ab)(ab)0，即即|a|2|b|20.代入代入a，b的坐标，的坐标，可得可得cos2(1)2sin2cos2sin20，所以所以(1)2sin2sin20，即，即sin2(1)210.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考