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1、第四节 平面向量应用举例,1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.,(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧 线平行、点共线、相似问题 利用共线向量定理：ab_ 垂直问题 利用数量积的运算性质：ab _ 夹角问题 利用夹角公式： (为a、b的夹角),a=b(b0),ab=0,(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题,【即时应用】 判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 若 ，则三点A、B、C共线. ( ) 在ABC中
2、，若 0，则ABC为钝角三角形. ( ) 在ABC中，若 =0，则ABC为直角三角形. ( ) 在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若 ，则此四边形为平行四边形. ( ),【解析】因 共始点A，且 ，故正确； B为锐角，不能判断ABC的形 状，故不正确； B为直角，故正确； ,AB DC,故正确. 答案： ,2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与 合成和向量的_相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积.即W=Fs=|F|s|cos(为F与s的夹角).,加法和减法,【即时应用】 (1)已知两个力F1、F
3、2的夹角为90，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60,那么F1的大小为_. (2)如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_.,【解析】(1)如图所示. |F1|=|F|cos60=10 =5(N). (2)F1=(2,3),F2=(3,1)， 合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4), 合力的大小为 答案：(1)5N (2) (5，4),热点考向 1 向量在平面几何中的应用 【方法点睛】 平面几何问题的向量解法 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利 用|a|可以求线段的长度，利用 (为a与
4、b的夹角) 可以求角，利用ab=0可以证明垂直，利用a=b(b0)可以判 定平行.,【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别， 例如：向量 并不能说明直线ABCD.,【例1】(2012上海高考)在平行四边形ABCD中， 边 AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满 足 则 的取值范围是_.,【规范解答】如图，以A点为坐标原点 建立平面直角坐标系， 则各点的坐标为A(0,0)，B(2,0)， 设 则M的坐标为,N点的坐标为 则 而0k1，故2 5. 答案：2,5,【变式训练】已知ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB 边上任意一点，则 的最大值为
5、_. 【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系 如图，设P点坐标为(x,y)且0y3,0 x4,则 =(x,y)(0,3)=3y，当y=3时，取得最 大值9.,方法二：(基向量法) = =9- cosBAC =9-3 cosBAC, cosBAC为正且为定值， 当 最小即 =0时， 取到最大值9. 答案：9,热点考向 2 向量在三角函数中的应用 【方法点睛】 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 (1)三角函数借助向量运算得到关系式的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后给出向量的运算规则，或共线或垂直或等式成立等，按照规则
6、得到三角函数的关系式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图象性质.,(2)平面向量借助三角函数的有界性求值域问题的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域.,【例2】(1)已知向量 x0, ,则函数g(x)=|a-b|的值域为_. (2)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 q=(cos2A,2sinA),且pq. 求sinA的值；若b=2,ABC的面积为3，求a.,【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后求出值域. (2)利用pq列出
7、关于sinA的方程； 由sinA,b及SABC= bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.,【规范解答】(1) |a|=1，|b|=1，x0, ， g(x)=|a-b|= = =2sinx， x0, ，g(x)0,2. 答案：0,2,(2)pq, cos2A=(1-sinA)2sinA, 6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA), 5sin2A+7sinA-6=0, sinA= .(sinA=-2舍) 由SABC= bcsinA=3,b=2,得c=5, 又 a2=b2+c2-2bccosA=4+25-225cosA=29-20cosA, 当cosA= 时,a2=13,a= 当cosA
8、=- 时，a2=45,a=,【互动探究】本例(2)中若p=(1-sinA,cosA),q=(sin2A,2sinA), 且pq，其他条件不变，又如何求sinA? 【解析】pq=(1-sinA)sin2A+cosA2sinA=sin2A(2-sinA)=0, sinA(0,1,2-sinA0, sin2A=0,又A(0,), 2A(0,2),2A=,A= ,sinA=1.,【反思感悟】1.该类题的解题关键 把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用”. 2.向量在该类题中的作用 向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算.
9、,【变式备选】设ABC三个角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且pq. (1)求角B的大小； (2)若ABC是锐角三角形，m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求mn的取值范围.,【解析】(1)p=(a,2b),q=(sinA,1),且pq, a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0. 0A,B,C,sinB= ,得B= 或B= . (2)ABC是锐角三角形，B= , m=(cosA, ),n=(1,sinA- cosA), 于是mn=cosA+ (sinA- cosA) =,由A+C=-B=
10、及0C ,得A= -C( , ). 结合0A , A ,得 A+ , ,热点考向 3 平面向量在解析几何中的应用 【方法点睛】 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.,(2)工具作用：利用ab ab=0,ab a=b(b0),可解决 垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于 解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使 成公差非负的等差数列.
11、 (1)求点P的轨迹方程; (2)若为 的夹角，求的最大值及此时点P的坐标. 【解题指南】(1)设P(x,y),直接求点P的轨迹方程; (2)先求出cos的范围，再求的最大值.,【规范解答】(1)设点P坐标为(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,-y), =(2,0), =2(1-x), =x2+y2-1, =2(1+x)， 依题意得 点P的轨迹方程为x2+y2=3(x0).,(2) =(-1-x,-y)(1-x,-y) =x2+y2-1=2, 0 x , cos1,0 . 的最大值为 ,此时x=0, 点P的坐标为(0, ).,【反思感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把
12、点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. 2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握.,【变式训练】已知点P(0,-3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴 上，点M满足 当点A在x轴上移动时，求 动点M的轨迹方程. 【解析】设M(x,y)为所求轨迹上任意一点，设A(a,0),Q(0,b) (b0), 则 由 =0，得a(x-a)+3y=0. 由,得(x-a,y)=- (-x,b-y) =( x, (y-b), 把 代入，得 整理得 (x0).,1.(2013厦门模拟)已知|a|=1，|b|=2，且a(a-b)，则向量a与向量b的夹角是( ) (A)30 (B)45
13、(C)60 (D)90,【解析】选C.a(a-b), a(a-b)=0, 即|a|2-ab=0，ab=1， cosa，b= 故a,b=60.,2.(2012江苏高考)如图，在矩形ABCD中， BC=2,点E是BC的中点，点F在边 CD上，若 则 的值 是_.,【解析】以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建 立平面直角坐标系， 则 设F(t,2)， t=1, 所以 答案：,3.(2013泉州模拟)如图，放置的边长 为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、 y轴正半轴(含原点)上滑动，则 的最大值是_,【解析】 又因为 1 答案：2,4.(2012福建师大附中模拟)如图， 已知ABO中，点C为线段AB中点， 点D是线段OB上的点，且 AD和OC交于点E，设 (1)用a,b表示向量 ； (2)若 求实数m,n的值.,【解析】(1)C为AB中点， (2)在OEA中， 即 ,