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1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲讲平面向量的数量积平面向量的数量积【2014年高考会这样考年高考会这样考】1考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直的充要条件的应用的充要条件的应用2以平面向量的数量积为工具，考查其他综合应用题，常以平面向量的数量积为工具，考查其他综合应用题，常与三角函数等知识结合与三角函数等知识结合抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理1平面向量的数量积平面向量的数量积当当0时，时，a与与b_当当180时，时，a与与b_当当90时，时，
2、a与与b_共线同向共线同向共线反向共线反向互相垂直互相垂直抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)定义：已知两个向量定义：已知两个向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量_叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab_，由定义可知零向量与任一向量的数量积，由定义可知零向量与任一向量的数量积为为0，即，即0a0.(3)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的的方向上的射影射影_的乘积，或的乘积，或b的长度的长度|b|与与a在在b方向上的射影方向上的射影_的乘积的乘积|a|
3、b|cos|a|b|cos|b|cos|a|cos抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考设向量设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量为向量a，b的夹角的夹角(1)数量积：数量积：ab|a|b|cosx1x2y1y2.2平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)abba(交换律交换律)；(2)ab(ab)a(b)(数乘结合律数乘结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律分配律)3平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向
4、揭秘揭秘3年高考年高考两个结论两个结论(1)两个向量两个向量a与与b的夹角为锐角，则有的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因为夹角为因为夹角为0时不成立时不成立)；(2)两个向量两个向量a与与b的夹角为钝角，则有的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因为夹角为因为夹角为时不成立时不成立)三点提醒三点提醒(1)若若a，b，c是实数，则是实数，则abacbc(a0)；但对于向量；但对于向量就没有这样的性质，即若向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足若满足abac(a0)，则不一定有，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，即等式两边不能同时约去一个向量，但
5、可以同时乘以一个向量但可以同时乘以一个向量抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)数量积运算不适合结合律，即数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由，这是由于于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量，共线的向量，a(bc)表示一个与表示一个与a共共线的向量，而线的向量，而a与与c不一定共线，因此不一定共线，因此(ab)c与与a(bc)不一不一定相等定相等抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考AabBabC|a|b|Dabab解析解析由由|ab|ab|，两边平方并化简得，两边平方并化简得ab0，又，又a，b都是非零向量
6、，所以都是非零向量，所以ab.答案答案B考点自测考点自测1(2012辽宁辽宁)已知两个非零向量已知两个非零向量a，b满足满足|ab|ab|，则，则下面结论正确的是下面结论正确的是()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A30B60C120D150答案答案C2若非零向量若非零向量a，b满足满足|a|b|，(2ab)b0，则，则a与与b的的夹角为夹角为()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案D抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案16抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年
7、高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】(1)若向量若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足，满足条件条件(8ab)c30，则，则x_.审题视点审题视点(1)直接利用数量积的坐标运算即可；直接利用数量积的坐标运算即可；(2)由条件表示出由条件表示出ab，然后找到关于，然后找到关于k的等式进行求的等式进行求解解考向一考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析(1)依题意可得依题意可得8ab(6,3)，(8ab)c363x30，解得，解得x4.抓住抓住3个考点个考点突破
8、突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)向量数量积有两种计算公式：向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式一是夹角公式ab|a|b|cos；二是坐标公式二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简算律或相关公式进行化简抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】(1)已知向量已知向量a，b满足满足ab0，|a|1，|b|2，则则|2ab|_.审题视点审题视点(1)利用利用|a|2aa求解；求解；(2)找出平行四边形的面积与找出平行四边形的
9、面积与|a|b|的关系式的关系式考向二考向二向量的夹角与向量的模向量的夹角与向量的模抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求证：求证：ab与与ab互相垂直；互相垂直；(2)若若kab与与akb的模相等，求的模相等，求.(其中其中k为非零实数为非零实数)审题视点审题视点(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证量的数量积问题，数量积为零即得证(2)由模相等，列等式、化简由模相等，列等式、化简(1)证明证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与与ab互相垂直互相垂直考向三考向三平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的综合应用【例例3】已知已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)证明：证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k和和t，使，使ca(t23)b，dkatb，且，且cd，试求函数关系式，试求函数关系式kf(t)