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1、第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式(第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节第一节二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 一、罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b)使使证证:故在故在 a,
2、b 上取得最大上取得最大值值 M 和最小值和最小值 m.1.若若 M=m,则则因此因此在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点2.若若 M m,则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使是开区间是开区间(a,b)内的点，根据条件内的点，根据条件可可知知存在，即极限存在，即极限而极限存在必定左、右极限都存在并相等，因此而极限存在必定左、右极限都存在并相等，因此存在存在因为因为右极限右极限左极限左极限即由于即由于f()=M 是是f(x)在在 a,b 上的最大值，因此上的最大值，因此不不论论x是正的还是负的，只要是正的还是负
3、的，只要+x 在在a,b上上,总有总有 当当x 0时时因此必然有因此必然有1)定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,注意注意:使使2)定理条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为在在(a,b)内可导内可导,且且在在(a,b)内至少存在一内至少存在一点点证明提示证明提示:设设证证 F(x)在在 a,b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.试证试证:存在存在(a,b)使得使得证明：证明：由于由于a 0,作辅助函数作辅助函数满足罗尔定理的三个条件，所以满足罗尔定理的三个条件，所以使得使得又因为又因为可得可得从而有从而有例例1.设设a 0,f
4、(x)在在a,b内连续内连续,在在(a,b)上可导上可导,且满且满足足例例2.证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的正实根的正实根.证证:1)存在性存在性.则则f(x)在在 0,1 连续连续,且且f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理知存在由介值定理知存在使使 f(x0)=0即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 x0.2)唯一性唯一性.假设另有假设另有x0，x1为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点至少存在一点矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!设设使使 f(x1)=0，二、拉格朗日中值理二、拉格朗日中值理(1)在区间在区间 a,b 上连上连
5、续续满足满足:(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导至少存在一点至少存在一点使使思路思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然,在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且证证:问题转化为证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立即定理结论成立.证毕证毕y=f(x)书本证书本证明明将将辅助函数稍微改动为辅助函数稍微改动为证明：考虑函数证明：考虑函数容易验证容易验证F(x)在在 a,b 上满足拉格朗日中值定理条件，上满足拉格朗日中值定理条件，因为因为b a 4,而而所以
6、，存在所以，存在(a,b)，使得，使得即即所以有所以有例例3 设设f(x)在区间在区间 a,b 上可导，且上可导，且b a 4试证：存在试证：存在(a,b)，使得，使得例例4在在0,x上上f(x)满足满足拉格朗日中值定理条件拉格朗日中值定理条件,证明不等式证明不等式:e x 1+x（x0）不等式不等式:e x 1+x 成立成立使使得得f(x)f(0)=e x 1=e(x 0)x证：令证：令f(x)=e x,f()=e 1存在存在(0,x),拉格朗日中值定理的有限增量形式拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论:若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上满足上满足则则f(x)在在 I 上必为常数
7、上必为常数.证证:在在 I 上任取两点上任取两点x1，x2（x1 x2）在在x1，x2上拉格朗日中值公式上拉格朗日中值公式,得得由由x1，x2 的任意性知的任意性知 f(x)在在 I 上为常数上为常数.令令则则练习练习.证明等式证明等式证证:设设由推论可知由推论可知 (常数常数)令令 x=0,得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:经验经验:欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连上连续续(2)在开区间在开区间(a,b)内可内可导导(3)在开区间在开区间(a,b)内内至少存
8、在一点至少存在一点使使满足满足:要证要证f(x)及及F(x)证证:作辅助函数作辅助函数且且由罗尔定理知由罗尔定理知,至少存在一点至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?两个两个 不不一定相同一定相同错错!上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论.教材教材所作辅助函数为所作辅助函数为柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率试证：对试证：对恒有恒有证明：对函数证明：对函数 在区间在区间0,x上应用柯西中值定理上应用柯西中值定理:使得使得对对可由可由在区间在区间0,x上应用拉格朗日中值定理证得上应用拉格朗日中值定理证得从而从而 例例
9、5例例6+.设设证明证明:至少存在一点至少存在一点使使证证:结论可变形为结论可变形为设设则则在在 0,1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件,因此在因此在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点 ,使使即即内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1)证明恒等式证明恒等式(2)证明不等式证明不等式(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数思考与练习思考与练习1.填空题填空题1
10、)函数函数在区间在区间 1,2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件,则中值则中值2)例设例设有有个根个根,它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程方程方程有有 个根个根,方程方程有有 个根。个根。2.思考思考:在在即即当当时时问问是否可由此得出是否可由此得出 不能不能!因为因为是依赖于是依赖于 x 的一个特殊的函数的一个特殊的函数.因此由上式得因此由上式得表示表示 x 从右侧从右侧以任意方式趋于以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得应用拉格朗日中值定理得上对函数上对函数柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集共有西全集共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程校编写的分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一,他为微积分他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,