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1、 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必塔法则第三节函数单调性的判定法第四节函数的极值与最大(小)值第五节曲线的凹凸性、拐点第六节函数图形的描绘第七节导数在经济分析中的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、罗尔(Rolle)定理几何解释几何解释:证证例例1 1解解注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又如又如,在在(-1,1)内可导内可导,y=1，且，且y(-1)=y(1)=1,但它但它在
2、在x=-1处不连续处不连续例例证证由零点存在定理由零点存在定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理D旋转旋转此时，此时，Roll定理中条定理中条件件f(a)=f(b)不满足了不满足了.但是过但是过C点的切线还点的切线还是平行于弦是平行于弦AB.Roll定理的本质是存在切线平行于弦AB过过C点的切线平行于点的切线平行于弦弦AB.弦弦AB的斜率为的斜率为过过C点的切线斜率为导数点的切线斜率为导数故有：故有：于是有拉格朗日于是有拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助
3、函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式且导数且导数拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论推论证明证明对任意的对任意的，不妨设，不妨设在区间在区间上用拉格朗日中值定理得：上用拉格朗日中值定理得：由已知由已知得得 所以所以f(x)在区在区间间上上任意两点的函数值都相等任意两点的函数值都相等 故故f(x)在区间在
4、区间I上是一个常数上是一个常数.例例2 2证证利用拉氏定理证明不等式：利用拉氏定理证明不等式：对于中值公式：对于中值公式：如果能够估计导数如果能够估计导数的大小，的大小，则有则有上述不等式是一个关于函数在上述不等式是一个关于函数在a，b两点的两点的函函数值之差与自变量之差的关系数值之差与自变量之差的关系的不等式。的不等式。所以当遇到此类不等式的证明时，可所以当遇到此类不等式的证明时，可以考虑使用拉格朗日中值定理证明。以考虑使用拉格朗日中值定理证明。比如比如例例3 3分析分析上述不等式可以写成：上述不等式可以写成：它是函数它是函数y=ln(1+x)的点和点的点和点x函数值差函数值差与与x-0的一
5、个不等式关系的一个不等式关系所以可以考虑函数所以可以考虑函数f(x)=ln(1+x)和区间和区间0,x例例3 3证证由上式得由上式得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(1)(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续(2)(2)在开区间在开区间 (a,b)内可导内可导(3)(3)在开区间在开区间 (a,b)内内则至少存在一点则至少存在一点使使如果函数如果函数f(x)与与g(x)满足满足 证证作辅助函数作辅助函数例例4 4证证分析分析:结论可变形为结论可变形为小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题