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1、高等数学知识在初等数学中的应用：高等数学知识在初等数学中的应用 代写论文 高等数学知识在初等数学问题中的应用具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.但解决的知识是中学所学习的初等数学知识，它对学生的数学语言信息的阅读、收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高，是考查数学创新能力的有效手段，是模式化训练“题海战术”所达不到的.此类问题对培养学生独立发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有很大的帮助.下面，笔者就对此类问题进行归类、例析，以期广大专家、同行对此类问题进行更深入的研究.一、知识背景的应用 例 1：已知函数，当 f（x）=tanx，x（0，），x，x（0，），且xx
2、，证明f（x）+f（x）f（）.分析：本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景，以三角函数为知识载体，通过对正切函数和不等式的引入，使函数的凹凸性的性质得以充分体现.证明：因为 x，x（0，），xx，所以 2sin（x+x）0，cosxcosx0，且 0COS（X-X）1，从而有 0COS（X+X）+COS（X-X），即tan（），所以f（x）+f（x）（）.思想汇报/sixianghuibao/例 2：设 a0，实数 x，y，z 满足 x+y+z=a，x+y+z=.求证 0 x，y，z.分析：本题的知识背景是高等数学中的空间解析几何问题，x+y+z=a 表示过三点（0，0，a），（0，a，0
3、），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示与坐标原点距离为的点（x，y，z）应满足的条件，即以 O 为圆心，为半径的球.如把已知方程中的 z 视为已知数，将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆，构造一个直线和圆有公共点得图形，初等方法就可以解决了.证明：将已知两方程分别化简为 x+y=a-z，x+y=-z.因为此两式同时成立，所以在平面直角坐标系中，直线 x+y=a-z 和圆 x+y=-z 有公共点（即相交或相切），于是圆心（0，0）到直线 x+y=a-z 的距离不超过半径即，将该式化简得 3z-2az0，即 z（3z-2a）0，解得 0z.同理可证 0 x，0y，所以 0 x，y，z.二、语
4、言叙述的应用 例 3：设绝对值小于 1 的全体实数的集合为 S.在 S 中定义一种运算*，使得 a*b=.（1）证明：若 a，bS，则 a*bS；（2）证明：结合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.分析：本题是以高等数学语言习惯定义一 ：种新运算，并将集合语言融入，来让学生证明结合率，使得问题变得新颖，有创意，能力要求较高.解：（1）要证明，若 a，bS，则 a*bS，即证明：当-1A1，-1B1 时，有-11 成立，也就是证（）1 成立.此式易用作差比较法证明（证明略）.（2）两次用条件中的公式 a*b=分别得：（a*b）*c=*c=a*（b*c）=a*=所以有（a*b）*c=a*（b*c
5、）.三、推理方法的应用 例 4：在平面几何里，有勾股定理：“设ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB+AC=BC.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则？摇？摇？摇？摇.”分析：此题主要是考查对勾股定理的实质性类比，类比是高等数学中最为基本的推理方法，从类比推理的方法和规律来看，应将由线段长度到三角形面积的升维类比，过渡到由指数的二次向指数的三次转变，可得结论是S+S+S=S，但恰恰相反，此结果是错误的.特别的，直三棱锥 A-BCD 的三条直棱 AB、AC、AD 的长度均为 1，显然有 S=S=S=，S=，而（）+（）+（）（），但（）+（）+（）=（），所以有 S+S+S=S.对于得到 S+S+S=S 这个结果的学生来说，不是因为他们的类比推理能力差，而是其在推理过程中缺少检验和修正的环节.