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1、高等数学知识在物理学中的应用举例高等数学知识在物理学中的应用举例一一 导数与微分的应用导数与微分的应用分析分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。例例 1 1 如图，曲柄OA r,以均匀角速度饶定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑 块B沿 直 线Ox运 动.求 连 杆 上C点 的 轨 道 方 程 及 速 度.设AC CB a,AOB,ABO.y解解 1)1)如图，点C的坐标为：x rcos acos，(1)Ay
2、asin.(2)C由三角形的正弦定理，有 Br2a,o xsinsin故得sin2asin2y.(3)rr由(1)得22x acosx a y(4)cosrr由(3)2(4)2 sin2cos21,得222224y2x a y 2x a y1,22rr化简整理,得C点的轨道方程为:4x2(a2 y2)(x23y2 a2r2)2.2)2)要求C点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得x rsinrcosrcos,sin,y 22cos其中.又因为rsin 2asin,对该式两边分别求导,得 rcos.2acos所以C点的速度rcosr22cos22V x y(rsinsin)2cos422r2
3、coscos2 4sincossin().例例 2 2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为a c(1sint2T),式中c及T为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程.解解:由题设及加速度的微分形式a dv c(1sindv,有dtt2T)dt,对等式两边同时积分得:v0dv c(1sin0tt2T)dt,v ct c2Tcost2T D,其中D为常数.由初始条件:v 0,t 0,得D v ct 2T(cos2Tc,于是t2T1).又因为v ds,得dtds ct 2T(cost2T1)dt,对等式两边同时积分,可得:t12T 2Ts c t2(si
4、nt).22T例例 3 3 宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c.一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图建立坐标系。所以水流速度为ydky,0 y,2dv dk(d y),y d.2o x由河流中心处水流速度为c，故c k 当0 y d2cy，即时，v 2ddd2c k(d)，所以k.22ddx2cy,y ut,(1)dtd得dx 2cutdt.d两边积分，有x0dx 2cutdt,0dtx cu2t,(2)d由(1)-(2)，得x dc2y,0 y.(3)2
5、ud同理，当d2c y d时，v(d y)，即2ddx2c2c(d y)(d ut),dtdddx x 2c(d ut)dt，d2cc2y y D，(4)uud其中D为一常数。由(3)知，当y x dcdcd时，x，代入(4)，得D ，于是24u2u2cc2cddy y,y d.uud2u2x 所以船的轨迹为x c2dy,0 y,ud22cc2cddy y,y d.uud2u2cd.2u船在对岸的靠拢地点，即y d时有x 例例 4 4 将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即R mk2gv2.如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为v1v01 k v2
6、20.解解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：vR上升：my mg mk2gy2,。下降：my mg mk2gy2.mgv上升时R下降时mg对上升的阶段：dvdv dyvdv g(1 k2v2)，即 g(1 k2v2),dtdy dtdy0hvdvvdv gdy.两边积分 gdy，于是v01 k2v201 k2v2得质点到达的高度h 122ln(1 k v0).(1)22k gv10vdvdv dyvdv22gdy,得 g(1 k v),对下降的阶段：即得220h1 k vdy dtdyh 1ln(1k2v12).(2)22k g.由(1)
7、=(2)得v1v01 k v220二二 积分的应用积分的应用分析分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。r2例例 5 5 一一半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度为：0(12),R式中0和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。解：解：设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则r2dm rdr 0r(12)dr，R22
8、所以此球对球心的转动惯量为I r dm 00R2R0r27 5r(12)dr 0R5.(1)35R4在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为I 2I，(2)3又因球的质量为m dm 00RR0r253r(12)dr 0R3.(3)15R2又饶直径的回转半径k 由(1)-(4)，得k I,(4)m1410R.3521d3 2例例 6 6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为k 线的长度。，式中d为对角解：解：建立坐标系，设O为立方体的中心，轴Ox,Oy,Oz分别与立方体的边平行。由对称性知，Ox,Oy,Oz轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为a.由以上所设，平行于Ox轴的一小方条的体积为a
9、dydz，于是立方体饶Ox的转动惯量为Ixa2a2a2a2a(y2 z2)dydz m2a.6m2a.6根据对称性得：Ix Iy Iz易知立方体的对角线与Ox,Oy,Oz轴的夹角都为,且cos饶对角线的转动惯量为I Ixcos2 Iycos2 Izcos213,故立方体m2a.(1)6又由于d 3a,(2)饶其对角线转动时的回转半径为k 由(1)-(3)得k I,(3)m.d3 2例例 7 7 一个塑料圆盘，半径为R,电荷q均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度。解：解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次
10、数为q，圆盘表面上所带的电荷面密度为，在圆2R2盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，它所带的电量为dq 2rdr，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为dI 2rdr rdr，2它在轴线上距盘心x处的P点所产生的磁感应强度为dB 0r2dI2(r2 x2)3 20r22(r2 x2)3 2rdr02r3dr,(r2 x2)3 2故P点处的总磁感应强度为B 变换积分02R0r3dr,223 2(r x)r3rr2dr dr x(r2 x2)3 2(r2 x2)1 2(r2 x2)3 2dr所以B 020qR2 2x2 R x 2x 2x，222222RR xR x22x2B的方向与方向
11、相同(q 0)或(q 0).于是在圆盘中心x 0处，磁感应强度B 0q.2R例例 8 8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：解：设雨滴的本体为m.由物理学知d(mv)F.(1)dt1)在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为r,则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看成是不变的，于是m k1r3，(2)其中k1为常数。2)由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即dm k 4r2 k2r2,(3)dt其中k2为常数。由(2)，得dmdr k13r2.(4)dtdt由(3)=(4)，得drk2.(5)
12、dt3k1对(5)两边积分：dr dt,得a0rtr t a,(6)将(6)代入(2)，得m k1(t a)3.3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式(7)dk1(t a)3v k1(t a)3g,(8)dtv0dk1(t a)3v k1(t a)3gdt,0tk1(t a)3v 1k1g(t a)4 k3,（k3为常数）4k1ga4ga4,v 当t 0时，v 0，故k3 t a.344(t a)三三 曲线、曲面积分的应用曲线、曲面积分的应用分析分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是
13、有效的。例例 9 9 设力F Fxi Fyj Fzk,其中Fx 6abz3y 20bx3y2,Fy 6abxz34210bx y,Fz18abxyz,验证F为保守力，并求出其势能。解：解：为验证F是否为保守力，将题设中力F的表达式代入F，得ijk F xyzFxFxFxFzFyFxFzFyFx()i()j()kyzzxxy2222(18abxz 18abxz)i(18abz y 18abz y)j3333(6abz 40abx y 6abz 40abx y)k 0,于是F是保守力。故其势能为(x,y,z)V F dr(Fxdx Fydy Fzdz)(0,0,0)(x,0,0)(0,0,0)(6
14、abz3y 20bx3y2)dx(x,y,0)(x,0,0)(6abxz310bx4y)dy(x,y,z)(x,y,0)18abxyz2dz 5bx4y26abxyz3.例例 1010 一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度 kr,式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并求E与r的关系。解：解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1)当r R时，E ds 10q,而E ds E 4r12，(1)10q 10dv 0r0kr4r2dr k4r,(2)0由(1)=(2)，得E(r)k2r,方向为径向方向。4
15、012)当r R时，由高斯定理E ds 0q,有E ds E 4r12,(3)10q 10dv 0R0kr4r2dr k4R,(4)0kR4由(3)=(4)，得E(r),方向沿径向方向。40r2例例 1111 一根很长的铜导线，载有电流 10A，在导线内部通过中心线作一平面S试计算通过导线1m长的S平面内的磁感应通量。解：解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。取以轴线为圆心的半径为r的同心圆环为积分环路，由安培环路定理Bdl I，有0Bdl 2rB,(1)(r R):0I 01r2,(2)2R由(1)=(2)，所以有B 0Ir.22R在剖面上取面积
16、微元ds ldr，有d Bds 0Irldr.22R所以单位长(l 1m)的导线内通过剖面的磁通量为dsR00Ir0I410710dr 106Wb.2442R例例 1212 在半径为R的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为R.设电介质的相对电容率为r,金属球的电荷量为Q,求：1)1)介质层内、外的场强分布；2)2)介质层内、外的电势分布；3)3)金属球的电势。解：解：1)1)由高斯定理Dds q，可得(R r R):D1(r R):D2QDQ,E,10r40rr24r2QDQ,E.2040r24r22)2)由电势定义，有(R r R):V Edl E1dr E2drrrRRRQ40rr2rdr Q40r2Rdr 11Q()40rrR40RQ11(r).40rrRQ(r R):V Edl E2drrrQ40r2rdr Q40r.3)3)当r R时，有VREdl E1dr E2drRRRR140r(1r1).RR