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1、本 科 生 毕 业 论 文 高等代数知识在初等数学中的应用 目 录摘要IAbstractII第一章 绪论1第二章 高等代数与初等数学的联系22.1知识方面的区别与联系22.2思想方法方面的区别与联系22.3观念方面的区别与联系4第三章 多项式理论在初等数学中的应用53.1去重因式分解多项式53.2 利用因数定理分解多项式53.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式63.4多项式的一些应用6第四章 行列式在初等数学中的应用84.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性84.2应用行列式分解因式94.3应用行列式解决数列问题9第五章 线性方程组在初等数学中的应用125.1 在平面解析几何上的
2、应用125.2在空间解析几何中的应用135.3在求解二元方程组上的应用14第六章 柯西不等式在初等数学中的应用156.1柯西不等式在解析几何中的应用156.2柯西不等式在解其它题方面的应用15第七章 结 论18参考文献19致谢20摘 要高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充高等代数是初等数学的进化高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往
3、往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识
4、的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维关键词： 高等代数 多项式 行列式 柯西不等式 初等代数 应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not
5、only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the r
6、ole of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with half the effort, make the person find
7、 everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one hand, from the concept of mathematics knowledge, mathematics thought method, mathematics three aspects of excavating the higher mathematics curriculum links with the middle school mathematics. On the other
8、 hand, introduces some knowledge of advanced algebra in the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problem solution,
9、but a mastery of knowledge and the development of students divergent and associative thinking. In view of higher algebra to study the history of elementary mathematics for middle school mathematics teachers in the new century of high level requirements, whether teachers with high teaching point of v
10、iew, is the important measure of teachers mathematics quality. Teachers have a high point of view, and can see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a height, grasp the heavy and difficulties of teaching materials; Teachers have a high point of view, can fro
11、m the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of higher mathematics, develop the students creativity, critical thinking.Keywords: Advanced Algebra Polynomial determinant Cauchy inequality Elementary Algebra Application 20兴义民族师范学院本科毕业论文第一章 绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，
12、数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数
13、知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展这样学生学习高等代数的难度就会大大降低高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。因此在数与教的过程中，要学会融会贯通，灵活运用应用于初等代数
14、是有意义的，它使高等代数知识和方法得到一定的应用它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光看初等数学问题，这才是教与学的真正目的，这对逐步把学生培养成一名合格的数学教师是重要的第二章 高等代数知识与初等数学的联系高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的沿用和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用高等代数作为数学的基础学科，与初等数学有很多
15、联系，参考文献【1】从数学知识、数学思想、数学观念三个方面讨论高等代数与初等数学的区别与联系2.1知识方面的区别与联系初等数学讲多项式的运算法则而高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系高等代数接着讲一元次方程根的定义，复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一次方程根的特点，有理系数一元次方程有理根的性质及求法，一元次方程根的近似解法及公式解简介初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子初等数学学习的有理数、实数
16、、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子初等数学中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中2点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的2.2思想方法方面的区别与联系内容初等
17、数学高等代数抽象化思想小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统向量空间、欧氏空间化归思想化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想在通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究分类思想中学按概念对研究的对象分
18、类高等代数除按概念分类，按元素间的等价关系分类，利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等等结构思想现代数学通过3种数学结构将数学各分支联系成一个整体中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律类比推理思想在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质；由2直线的位置关系类比推理2平面的位置关系；由直角三角形的勾股定理类比推理具有3直角顶点四面体的勾股定理由整数整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论；由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推理规范正交基下，n维
19、欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式严格的逻辑推理方法中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系公理化方法中学平面几何将利用直觉经验不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法由实质公理化方法到形式公理化方法体现了公理化方法的发展坐标方法中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标
20、变换公式变换方法中学数学学过线性方程组的同解变换将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法矩阵的初等变换法构造性方法高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的只是由于中学数学的知识较浅，内容较窄，对思想方法的巨大作用体现不深而已通过学习高等代数等近、现代数学课程，从而深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的2.3观念方面的区别与联系在初等数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发
21、展关于数学研究的对象，由初等数学研究的数、代数式、方程、函数等内容，初等几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到
22、这些特点的首先看抽象性中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来 第三章 多项式理论在初等数学中的应用3.1去重因式分解多项式引理3.1【2】 若一个多项式有重因式，比如则可求与的最大公因式分析：我们利用以上的引理，令，其中是最大公因式，则分解可转化为分解,一方面与有相同的不可约因式，另一方面一般情况下次数低于的次数。当然就降低了分解的难度例3.1.1 求多项式在有理数域上的标准分解式解：()得 所以的不可约因式为但是由重因式定理，是的4重因式，所以3.
23、2 利用因数定理分解多项式引理3.2【3】 是的因式的充分必要条件是=0亦即是的因式，c 是的根，并且 c 是的几重根，就是的几重因式这样只要求出的若干个根，就可得到的若干个因式，用除以这若干个因式的积，得到商式，分解就转化为分解商式，达到“降次”分解的目的 分析：引入新变量代替多项式中某些变量，使原多项式变为新变量的多项式，这种方法叫做换元法通过换元，使关于新变量的多项式次数较原多项式次数小，达到降次分解的目的例3.2.1 求在有理数域上的标准分解式解(的首项系数1的因子有，常数项的因子有故的根有可能是将其代入逐一检验，得出和是(的有理根不妨设，利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得与
24、进行逐项比较，得所以，换元法是一种重要的数学思想方法，通过换元可以使隐蔽的数量关系明朗化，从而达到化难为易、化繁为简在因式分解中，尤其对倒数多项式更为有效3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式对称多项式都是轮换多项式，所以只讨论轮换多项式的分解即可分解轮换多项式就是选定一个元为主元，将其它元看成常数，原多项式就被看成是关于主元的多项式利用因式定理知，求出一个根即可得到一个因式，利用轮换多项式的性质，求出一个元为文字的多项式的根，即可得关于其它元作为主元的根，从而得到几个相应的因式，达到降次分解的目的3.4多项式的一些应用多项式理论是高等代数的主要内容之一,它与中学数学有着密切的联系.
25、它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题,如多项式的根及因式分解理论,对中学数学解题有居高临下的作用.例2.4.1 多项式当时,求此多项式的值.解 将条件等式变形为,由1|f(x),所以|.由多项式的除法,得,在将代入上式,可得.例2.4.2 已知为整数,且满足与均为整数,求证.证明： 设 .于是 由已知条件知是首项系数为1的整系数多项式, 是它的三个有理根,于是均为整数,又因为它们的乘积为1,所以,故.第四章 行列式在初等数学中的应用4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性实系数二元二次多项式在复数域内是否可以分解因式,是初等代数学的一个重要问题它不仅关系到因式分解,而且关系到:方程表
26、示曲线的类型及解二元二次方程;能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性;定理4.1【4】:对于实系数二元二次多项式在复数范围内可分解的充要条件是: 证明: 可以分解成两个一次因式的充要条件是二的二次三项式的判别式是一个完全平方式,即是完全平方式而= =上式是完全平方式的充要条件是它的判别等于O,即展开整理,即:即 证毕例4.1.1 n为何值时,方程表示两条直线解:要使方程表示两条直线,只须使多项式可分解为两个二元一次因式之积,故只须使; 即 或4.2应用行列式分解因式例4.2.1分解因式:解 ： 分析：通过以上例子应用行列式分解因式,可先作出一个行列式使其值等于所给多项式,然后对行列式进行行变
27、换或列变换,使之某一行或某一列元素完全相同,然后降阶展开从而达到因式分解之目的4.3应用行列式解决数列问题行列式在数学各分支中有广泛应用，但在中学数学教学中引入较晚，因此其作用显得不甚突出，其实它在许多方面是有用的工具定理4.3【4】 设是等差数列中的任意三项，则 （1）证 设的公差为，则由等差数列通项公式知是直线上的点，从而由三点共线知（1）成立定理3.3.2【4】 若为等差数列的第项，则也是一个等差数列的第项的从要条件是 （2）证 设、的公差分别为，且及均为第项，则反过来，如果是等差数列的第项，且即 故 因由定理1知是一个等差数列的第项例4.3.1 在等差数列中，已知分别为，求证：证 由定
28、理1有 展开得整理及得例4.3.2 在等差数列中，（1）求；（2）第几项是62？ 解 （1）由 解得 （2）由 解得，即26项为64例4.3.2 依次组成等差数列，求证也依次组成等差数列 解 设的公差为，则由定理3知，也成等差数列从上述几个例子看出，直接用行列式解数列问题不但解法简捷、而且思路清晰、规律性强、易掌握，向学生介绍这种方法，即有助于他们解题能力的提高、又有助于数学知识综合运用第五章 线性方程组在初等数学中的应用5.1 在平面解析几何上的应用定理5.1【5】 设平面上有两条直线与，则：（1） 相交：即两条直线有一个公共点，线性方程组有唯一解，从而其系数行列式（2） 平行:即两条直线无
29、公共点,上式无解,从而有而 至少有一个不为0（3） 重合:即两条直线有无数公共点,上式有无穷多个解,从而利用线性方程组理论判断平面上两条直线的位置关系:相交、平行、重合例5.1.1 求过两点的直线方程解:方法一:由公式求解由两点式方程可知直线的方程为: 方法二:由线性方程组理论求解设直线方程为，则方程组有非零解,即其系数行列式化简求解即有5.2在空间解析几何中的应用定理5.2【5】 设空间中有两条直线其中，分别是上的点,分别是的方向向量(1) 异面:即向量,(2) 相交:即方向向量与不共线,且向量 (3) 平行:即向量与共线,且向量与,都不共线,(4) 重合:即向量,都共线, 同样,利用线性方
30、程组理论也可以判断空间两条直线的位置关系:异面、相交、平行、重合例5.2.2:求过点与平面：平行且与直线相交的直线的方程解:设直线的方向向量为,由直线的方程知的方向向,且过点由与相交,因此,即展开得又与平行,所以: ,联立得方程组:求解,令Z为自由未知量,取Z =1,求得X=0,Y =0,故所求直线的方程为: 5.3在求解二元方程组上的应用齐次线性方程组理论的一个重要结论是：齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零利用这一结论也可以求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可例5.3.1:求方程组 的全部解解:将看成是常数,则方程组可改写为：则有求解得代入方程组求解,得到故
31、原方程组的全部解为：第六章 柯西不等式在初等数学中的应用6.1柯西不等式在解析几何中的应用定理6.1【6】 设（i=1,2n），则 当且仅当时，不等式等号成立例6.1.1 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴。证明直线经过原点分析： 图5.2.1如图所示，欲证直线经过原点，只须证三点共线即可。因为是抛物线的焦点弦，可知两点纵坐标之积为，故可设，据题意不难得出，从而，因此三点共线6.2柯西不等式在解其它题方面的应用柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用，它与我们的其它知识相结之后，就变得更加灵活，使解题增加了难度例6.2.1 设是正实数数列，对所有的
32、满足条件，证明对所有，有证明：先证一个更一般的命题：设和都是正数，且 （2.1）若对所有， （2.2）则有 （2.3）事实上，设，由（2.1）和（2.2）可得改变求和次序得 由此可得 由柯西不等式，有 所以 即令 则 例6.2.2 试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数，使得成立，其中，为虚数单位，.证明你的结论 分析：将成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找的范围解：将转化到实数范围内，即 （2.4）若存在实数使（2-4）成立，则由柯西不等式可得 （2.5）如果，由（2.4）可得，从而与（2.5）矛盾，于是得 （2.6）反之，若（2.6）成立，有两种情况，则取，显
33、然（2.4）成立，则，则不全为0不妨设，取，有.易知（2.4）成立.综上，所求的条件为 第七章 结 论高等代数许多内容的知识背景源于中学，在课程教学改革实践中，不仅要挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系从数学方法论的角度看，高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面注意与中学数学的区别与联系对比不但可以降低高等代数课程的学习难度，而且也可增强本课程对培养中学数学教师的指导作用从基本概念、定理以及知识背景等方面阐述高等代数与中学数学的区别与联系，把中学数学知识恰当地融入到高等代数的教学中来，将受到更好
34、的效果另外，用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维此外,高等代数中讲到的代数运算、数学归纳法、同构映照、变换等方法和思想亦可应用于中学数学中,以免学生学完高等代数只知行列式、矩阵就是用来求解方程组同时使高等代数知识得到一定的应用并让学生对高等代数
35、产生更大的兴趣更重要的是使学生认识到数学的每一个分支都是一种工具,而且各分支之间是有联系的让学生把数学作为一种工具学好用好是我们的目标之一用高等的观点去研究初等数学是新世纪对中学数学教师高水平的要求,教师是否具有较高的数学观点,是衡量教师数学素质的重要标准.教师具有高的观点,就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系,把握教材的重难点;教师具有高观点.就能从认知的角度,在知识的各部分渗透高等数学的观点,培养学生的创造性、批判性思维.教师是否具有高观点,也是提高教学质量、培养高层次人才的重要保证.中学教师绝大多数毕业于师范院校本、专科,具有高等数学知识是无疑的,但能用高等数学的观点去指导中学数学
36、教学的却不多见.因此,作为将来从事中学数学教学的大学生,学好高等数学,使自己成为一名高素质的中学教师,是时代赋予我们的义不容辞的责任参考文献1 候维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系J.数学教育学报，2003年8月，第12卷第三期.2 杨荣友，蒋炜.高等代数理论在多项式分解中的应用J.唐山师范学院学报.3 杨立群.行列式在中学数学中的应用J.硕士论文，2012年3月.4 马德全.行列式在数列中的应用J.科学数学，1984年05期.5 陈亮，张帆.线性方程组理论在初等数学教学中的应用J.湖州职业技术学院学报，2007年第3期.6 王萼方，石生明.高等代数数M.北京：高等教育出版社，2
37、003.7 夏师.高等代数在中学数学的一些应用J. 广西右江民族师专学报, 2002年6月, 第15卷第3期.8 余池增.柯西不等式在高中数学的应用研究J.硕士论文，2012年5月.9 王奇，任文龙，李慧.高等代数在初等数学中的一些应用J.甘肃联合大学学报，2008年5月，第22卷.10 郭竹梅.高等代数理论在中小学数学中的应用J.科学教育，1011年4月.11 王高雄.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2010.致谢在毕业论文完成的过程中，更是走的很困难.完成了这篇论文之时，最深的感触就是时间紧张，专业知识很是缺乏，在此感谢帮助过我的人，没有他们的帮助，我是不可能顺利完成论文的.特别是感谢指导老师在完成整个毕业论文的过程中，给予我悉心的指导和帮助.老师的严谨的治学态度、勤奋的工作作风、平易近人的处世风范，给我留下了深刻的印象，将会在我今后的学习和生活中时刻影响我.值此论文完稿之际，特此向老师致以衷心的感谢!