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1、.-高中数学数列常见、常考题型总结高中数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法S1Sa1 1前前 n n 项和法（知项和法（知n求求n）anSn Sn12例 1、已知数列an的前 n 项和Sn12n n，求数列|an|的前 n 项和Tn2变式：已知数列an的前 n 项和Sn n 12n，求数列|an|的前 n 项和Tn(n 1)(n 2)练习：2(n 1)1、若数列an的前 n 项和Sn 2，求该数列的通项公式。答案：ann1(n 2)23n2、若数列an的前 n 项和Snan3，求该数列的通项公式。答案：an 23223、设数列an的前 n 项和为Sn，数列Sn的前 n 项和为Tn
2、，满足Tn 2Sn n，n求数列an的通项公式。4.Sn为an的前 n 项和，Sn=3（an1），求an（nN+）5、设数列an满足a13a23 a3+3an2n-1n(nN*)，求数列an的通项公式（作差法）32.2.形如形如an1 an f(n)型（累加法）型（累加法）（1 1）若）若 f(n)f(n)为常数为常数,即：即：an1and,此时数列为等差数列，则此时数列为等差数列，则an=a1(n 1)d.（2 2）若）若 f(n)f(n)为为 n n 的函数时，用累加法的函数时，用累加法.3n1例 1.已知数列an满足a11,an3 an1(n 2),证明an2*例 2.已知数列an的首项
3、为 1，且an1 an 2n(n N)写出数列an的通项公式.n1例 3.已知数列an满足a1 3，an an11(n 2)，求此数列的通项公式.n(n 1)an13.3.形如形如 f(n)型（累乘法）型（累乘法）anan1（1 1）当）当 f(n)f(n)为常数，即：为常数，即：n1q（其中（其中 q q 是不为是不为 0 0 的常数）的常数），此数列为等比且，此数列为等比且an=a1q.an（2 2）当）当 f(n)f(n)为为 n n 的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.例 1、在数列an中a11,an练习：1、在数列an中a11,an2、求数列a1n2an1(n 2)，求数列的通项公式
4、。答案：ann1n 1n12an1(n 2)，求an与Sn。答案：ann(n 1)n11,an2n3an1(n 2)的通项公式。2n1pan1型（取倒数法）型（取倒数法）ran1 s4.4.形如形如an-可修编-.-an1(n 2)，求通项公式an2an11an1练习：1、若数列an中，a11,an1,求通项公式an.答案：an3an13n 212、若数列an中，a11，an1 an 2anan1，求通项公式an.答案：an2n1例 1.已知数列an中，a1 2，an5 5形如形如an1 can d,(c 0,其中其中a1 a)型（构造新的等比数列）型（构造新的等比数列）（1 1）若）若 c=
5、1c=1 时，数列时，数列 an 为等差数列为等差数列;（2 2）若）若 d=0d=0 时，数列时，数列 an 为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c 1且d 0时，数列时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设an1 Ac(an A),利用待定系数法求出利用待定系数法求出 A A11an,求通项an.22n1练习：1、若数列an中，a1 2,an1 2an1,求通项公式an。答案：an 2122n12、若数列an中，a11,an1an1,求通项公式an。答案：an 3 2()33例 1已知数列a
6、n中，a1 2,an16.6.形如形如an1 pan f(n)型（构造新的等比数列）型（构造新的等比数列）(1)(1)若若f(n)kn b一次函数一次函数(k,b(k,b 是常数，且是常数，且k 0)，则后面待定系数法也用一次函数。，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列an中，a1解：原递推式可化为2(an3，2anan16n3,求通项an.2knb)an1k(n1)b比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bn bn191,公比为.229 111bn()n1即：an 6n 9 9()n，故an 9()n 6n 9.2 222练习：练习：1、已知数列an中，a1 3，an1 3an 4
7、n 2，求通项公式an所以bn是一个等比数列，首项b1 a1 6n 9(2)(2)若若f(n)q(其中其中 q q 是常数，且是常数，且 n n0,1)0,1)n若若 p=1p=1 时，即：时，即：an1 an q，累加即可，累加即可n若若p 1时，即：时，即：an1 p an q，后面的待定系数法也用指数形式。，后面的待定系数法也用指数形式。npan1n,n1qqqqap1bb 令bnn,则可化为.然后转化为类型 5 来解，n1nnqqq2例 1.在数列an中，a1，且an 2an13n1(nN)求通项公式an511nn 11、已知数列an中，a1，2an an1()，求通项公式an。答案：
8、ann1222nn1n2、已知数列an中，a11，an1 3an 32，求通项公式an。答案：an 7332两边同除以qn1.即：an1题型二题型二根据数列的性质求解（整体思想）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11；-可修编-.-2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前 n 项和，若Sn7n 2a，则5.Tnn 3b5a55S,则9（）a39S55、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a7 25，则a3a5_。6、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn 54，S2n 60，则S3n.7、在等差数列
9、an中，若S41,S8 4，则a17 a18 a19 a20的值为（）8、在等比数列中，已知a9 a10 a(a 0)，a19a20 b，则a99a100.题型三：证明数列是等差或等比数列题型三：证明数列是等差或等比数列A)A)证明数列等差证明数列等差例 1、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2），a1=B B）证明数列等比）证明数列等比*例 1、已知数列an满足a11,a2 3,an2 3an12an(nN).11.求证：是等差数列；Sn2证明：数列an1an是等比数列；求数列an的通项公式；题型四：求数列的前题型四：求数列的前 n n 项和项和基本方法：A A）
10、公式法，）公式法，B B）分组求和法）分组求和法1、求数列2 2n3的前n项和Sn.n2.Sn 1 35 7 (1)(2n 1)n3.若数列an的通项公式是an(1)(3n2)，则a1a2a10()A15B12C12D154.求数列 1，2+n1111，3+，4+，nn124822345.已知数列an是 321,62 1,92 1,122 1，写出数列an的通项公式并求其前n项和Sn.C C）裂项相消法）裂项相消法，数列的常见拆项有：11 111()；n1 n；n(nk)k nnkn n 1例 1、求和：S=1+1111 21 231 23 n例 2、求和：1111.2 13 24 3n 1
11、nD D）倒序相加法，）倒序相加法，-可修编-.-x2111)f(2009)f(1例、设f(x)，求：f(20103)f(2)f(2)f(2009)f(2010).21 xE E）错位相减法，）错位相减法，n1、若数列an的通项an(2n 1)3，求此数列的前n项和Sn.22.Sn1 2x3x nxn1(x 0)（将分为x 1和x 1两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题题型五：数列单调性最值问题例 1、数列an中，an 2n 49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n.例 2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a1 25,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；n*例 3、设数列an的
12、前n项和为Sn已知a1 a，an1 Sn3，nN Nn*（）设bn Sn3，求数列bn的通项公式；（）若an1an，nN N，求a的取值围题型六：总结规律题题型六：总结规律题1 已知数列an满足an项的和为？2 数列an满足an+1(1)an2n1，则an的前 60 项和为？常见练习1方程x26x40的两根的等比中项是（）A3B2C 6D22、已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则ann5an12(n 2,nN*)，且an前 2014 项的和为 403，则数列anan1的前 2014an15 3 3 2A4B4C4223nnn1 2D43n13一个有限项的等差数列，前 4 项之和为
13、 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则此数列的项数为（）A12B14C16D184an是等差数列，S10 0,S11 0，则使an 0的最小的 n 值是（）233A5B6C7D85.若数列1,2cos,2 cos,2 cos,A.ka2,前 100 项之和为 0，则的值为（）3b(kZ)B.2kc3(k Z)C.2k2(k Z)D.以上的答案均不对36.设 2=3,2=6,2=12,则数列 a,b,c 成-可修编-.-A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2.a7()（A）14（B）21（C）28（D）3538.
14、设数列an的前 n 项和Sn n，则a4的值为()（A）15(B)37(C)27（D）649.设等比数列an的公比q 2，前 n 项和为Sn，则S4（）a2A2B4C152D17210.设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3 a42，3S2 a32，则公比q（）（A）3（B）4（C）5（D）611已知an是等比数列，a2 2，a51，则a1a2a2a3anan1（）43232A(12n)B16(14n)C16(12n)D(14n)33n12.若数列an的通项公式是an(1)(3n2)，则a1 a2 a20()（A）30（B）29（C）-30（D）-2913.已 知 等 比 数 列an满 足
15、an 0,n 1,2,2n，且a5a2n5 2(n 3)，则 当n1时，log2a1log2a3log2a2n1（）22A.n(2n1)B.(n1)C.n2D.(n1)14巳知函数f(x)cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)m有两个不同的实根x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()ABCD15已知等比数列an的前n项和Snt 541A4B5C.D.55n21，则实数t的值为()516已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a4+a7+a10=9，S14S3=77，则使 Sn取得最小值时 n 的值为（）A 4B5C6D717若an是等差
16、数列，首项 a10，公差 d0，且 a2 013(a2 012a2 013)0 成立的最大自然数 n 是()-可修编-.-A4 027B4 026C4 025D4 024118已知数列满足：a11，an1，(nN N)，若bn1(n)1，b1，且数列bn是单调递增数列，an2an*an则实数的取值围为()A2B3C2D319、由正数构成的等比数列an，若a1a3 a2a4 2a2a3 49，则a2 a3220已知数列an的前n项和为Sn n,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为21、给定an log(n1)(n 2)（nN*），定义乘积a1a22008的所有理想数的和为ak为
17、整数的 k（kN*）叫做“理想数”，则区间1，22设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前项和为Sn，满足S3S415 0，则d的取值围为 11aan111*n 2，则a1023设正整数数列an满足：a2 4，且对于任何nN N，有2an111annn124.已知an为等比数列,a4 a7 2,a5a6 8,则a1 a10_.25.设等差数列an的公差d不为 0，a1 9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k _.26、已知函数f(x)是一次函数，且f(8)15,f(2),f(5),f(14)成等比数列，设an f(n)，(nN)（1）求（2）设ba；ii1nn2n，求数列an
18、bn的前 n 项和Sn。27、已知数列an中，a1 2，a2 3，其前n项和Sn满足Sn1 Sn1 2Sn1（n 2，nN N*）（1）求数nn1列an的通项公式；（2）设bn 4(1)2n(为非零整数，nN N*），试确定的值，使得对任意nN N*，a都有bn1 bn成立28已知数列an中a11,a2 4,满足an252an1an.33（I）设bn an1 an，求证数列bn是等比数列；（）求数列an的通项公式29已知等差数列an满足：a5 9,a2 a614.（）求an的通项公式；（）若bn an qan(q 0)，求数列bn的前 n 项和Sn.-可修编-.-30已知数列an的前n项和为S
19、n，且a.1t*,an1 Sn(nN,t为常数)1164()若数列an为等比数列，求t的值；()若t 4,bn lgan1，数列bn前n项和为Tn，当且仅当n=6时Tn取最小值，数t的取值围31列是一个公差大于 0 的等差数列,a1,a2,a5成等比数列,a2 a614.()求数列和数列满足等式:=,求数列的前 n 项和的通项公式;()若数32已知数列an满足a11,an1121*,其中nN.()设bn,求证:数列bn是等差数列,并求出2an14anan的通项公式an;()设cn*4an1,数列cncn2的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn对n1cmcm1于nN 恒成立,若存在,求出m
20、的最小值,若不存在,请说明理由.33 已知各项均为正数的数列an前 n 项和为Sn，首项为a1，且项公式；（2）若an21,an,Sn成等差数列.（1）求数列an的通2b1()bn，设cnn，求数列cn的前 n 项和Tn.an234一个等比数列an中，a1a4 28，a2a312，求这个数列的通项公式.35有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为16，中间两数和为 12.求这四个数.36.已知等差数列an满足：a2 5，a5a7 26，数列an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）设bnan是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前n项和Tn.37.设an是公比为正
21、数的等比数列，a1 2，a3 a24.（）求an的通项公式；（）求数列(2n1)an的前n项和Sn.S38已知数列an的前n项和为Sn，点n,nn（）求数列an的通项公式；（）设bn式Tn111在直线上.y x223，求数列bn的前n项和为Tn，并求使不等(2an11)(2an111)k对一切nN*都成立的最大正整数k的值20-可修编-.-可修编-.-走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。-可修编-