高中数学-数列公式及解题技巧.pdf

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1、 数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 自然数方幂和公式：3、)1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn 5、213)1(21nnkSnkn 例 求和 1x2x4x6x2n+4(x0)解：x0 该数列是首项为 1，公比为 x2的等

2、比数列而且有 n+3 项 当 x21 即 x1 时 和为 n+3 评注：(1)利用等比数列求和公式当公比是用字母表示时，应对其是否为 1 进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对 x 是否为 0 进行讨论 (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第 n 项 对应高考考题：设数列 1，（1+2），（1+2+1222n），的前顶和为ns，则ns的值。二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an

3、bn的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。例 求和：132)12(7531 nnxnxxxS（1x）解：由题可知，1)12(nxn的通项是等差数列2n1的通项与等比数列1nx的通项之积 设nnxnxxxxxS)12(7531432 .（设制错位）得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 21)1()1()12()12(

4、xxxnxnSnnn 注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。对 应 高 考 考 题：设 正 项 等 比 数 列 na的 首 项211a，前 n 项 和 为nS，且0)12(21020103010SSS。（）求 na的通项；（）求nnS的前 n 项和nT。三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa.例 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明：设nnnnnnCn

5、CCCS)12(53210 .把式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序）又由mnnmnCC可得 nnnnnnnCCCnCnS 1103)12()12(.+得 nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110 （反序相加）nnnS2)1(四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列 na的通项公式为nnnbac，其中 nnba,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。例：求数列1614,813,412,211的前 n 项

6、和；分析：数列的通项公式为nnna21，而数列nn21,分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；解：因为nnna21，所以)21()813()412()211(nnns )21814121()321(nn（分组）前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此 1212211)211(212)1(2nnnnnn 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1s

7、in（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan 例 求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和.解：设nnnnan111 （裂项）则 11321211 nnSn （裂项求和）)1()23()12(nn 11n 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。2 余下的项前后的正负性是相反的。练习 在数列an中，11211 nnnnan，又12nnnaa

8、b，求数列bn的前 n 项的和.六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa 求的值.解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm （找特殊性质项）和对数的运算性质 NMNMaaalogloglog 得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn （合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9

9、log9log9log333 10 数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。数列通项公式的十种求法 一、公式法 例 1 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：123 2nnnaa 两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa 转

10、化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、累加法 例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列na的通项公式为2nan。评 注：本题 解题的 关键 是把递推 关系式121nnaan转 化 为121nnaan，进而 求出

11、11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 3 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 评注：本题解题的关键是把递推关系式12 31nnnaa转化为12 31nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，

12、即得数列na的通项公式。例4 已知数列na满足1132 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：132 31nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系式132 31

13、nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。三、累乘法 例 5 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn

14、 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnana n 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nn

15、nnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan 。所以，na的通项公式为!.2nna 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnana n转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna 时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。四、待定系数法 例 7 已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列 na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax 将123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnn

16、nnaxax，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx 则代入式得1152(5)nnnnaa 由1156510a 及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnn

17、axyaxy 将135 24nnnaa 代入式，得 135 2423(2)nnnnnaxyaxy 整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得 115 223(5 22)nnnnaa 由115 221 12130a 及式，得5 220nna ，则115 2235 22nnnnaa ，故数列5 22nna 是以115 221 1213a 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此15 22133nnna，则11335 22nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式135 24nnnaa 转化为115 223(5 22)nnnnaa ，从而可知数列5 22nna

18、是等比数列，进而求出数列5 22nna 的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 将212345nnaann代入式，得 2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则 222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz 等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得 2213(1)10(1)182(310

19、18)nnannann 由213 110 1 18131320a 及式，得2310180nann 则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 1813132a 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。五、对数变换法 例 10 已知

20、数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa，所以100nnaa，。在512 3nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 11 将式代入11 式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255x nxyxny，则 lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy 代入11 式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan 12 由1lg3lg3lg2lg

21、3lg3lg2lg1lg71041644164a 及12 式，得lg3lg3lg2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg

22、2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。六、迭代法 例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，

23、求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1)23212nnnnnnnnnaaa 2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)11 2(3)(2)(1)(1)123(1)223(2)23(1)233(2)(1)2332 3(2)(1)213!21nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa 又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnan

24、a，再由累乘法可推知(1)123!213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3!225nn nnna。七、数学归纳法 例 12 已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得 2122322243228(1 1)88 224(2 1 1)(2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1)(2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1)(2 33)4949 8181aaaa

25、aa 由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a ，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21)(23)kkkaakk 222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)(21)1(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)2(1)112(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2 由此可知，当1

26、nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法 例 13 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1 240nnba，故111 240nnba 则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2n

27、nbb，所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法 例 14 已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124()4

28、1xf xx的两个不动点。因为 112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所 以 数 列23nnaa是 以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41xf xx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项公式。例 1

29、5 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x 是函数31()47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa ，所以 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法 例 14 已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则12

30、23xx，是函数2124()41xf xx的两个不动点。因为 112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所 以 数 列23nnaa是 以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41xf xx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项公式。例 15 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x 是函数31()47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa ，所以