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1、 数列放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能及后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (
2、2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足.设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,求证:.解析:所以
3、 从而例7.已知,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以
4、例14. 已知证明. 解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路及探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 函数）
5、上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令则 例17. 设函数，求的最小值；设正数满足，证明解析:对函数求导数：于是当在区间是减函数，当在区间是增函数.所以时取得最小值，（）证法一：用数学归纳法证明.（i）当n=1时，由（）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知 同理，由可得 综合、两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.证法二：令函数利用（）知，当对任意 . 下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 由得到 由归纳法假设 即当时命题也成立. 所
6、以对一切正整数n命题成立.例18. 设关于x的方程有两个实根，且，定义函数若为正实数，证明不等式：.解析:当上为增函数,由可知同理可得又由（）知所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列及曲线（0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为
7、,.(1)证明4，; (2)证明有，使得对都有. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 设，则当时，。所以，取，对都有：故有成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 解
8、析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五、迭代放缩 例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例26. 设,求证:对任意的正整数k,若kn恒有:|Sn+kSn|0,b0,求证：解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设，从而 例47.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证. 例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足：对任意，都有；对任意都有.（I）试证明：为上的单调增函数；（II）求；（III）令，试证明：. 解析:本题的亮点很多,是一道
9、考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,则可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以, , 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.所以,综合有= (3)在解决的通项公式时
10、也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有.例49. 已知函数f(x)的定义域为0,1，且满足下列条件： 对于任意0,1，总有，且； 若则有（）求f(0)的值；（）求证：f(x)4；（）当时，试证明：.解析: （）解：令，由对于任意0,1，总有， 又由得即 （）解：任取且设 则 因为，所以，即 . 当0,1时，. （）证明：先用数学归纳法证明：（1） 当n=1时，不等式成立；（2） 假设当n=k时，由 得即当n=k+1时，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.于是，当时，而0,1，单调递增 所以， 例50. 已知： 求证：解析:构造对偶
11、式：令 则 又 （ 十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，则. 例51.求证：. 解析: ， 时，. 利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52. 求证：，. 解析: 考虑函数在区间上的定积分.如图，显然-对求和，. 例53. 已知.求证：. 解析:考虑函数在区间上的定积分.-. 例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（）试求及的关系，并求的通项公式；
12、（）当时，证明； （）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，.当时，.证明（）：由知.恰表示阴影部分面积，显然 .奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：；. 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 例56. 设求证： 解析: 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是 例57.设数列满足，当时证明对所有 有； 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证
13、:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.例59.求证:对一切,都有.解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.
14、其基本原理为: 欲证明,只要证明:. 例60.已知数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有引申:已知数列满足:,求证: .解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有. 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,.记,.求证:当时.(1); (2); (3). 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: (i)当时,结论成立; (ii)假设当时,则时, 从而,所以 所以综上有,故 (2)因为则, ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因为,从而,有,所以有 ,从而,所以,所以 所以综上有. 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列
15、的首项, (1)证明:对任意的,; (2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到,要证,即证即证,设所以即证明从而,即,这是显然成立的.所以综上有对任意的, (法二) ,原不等式成立 (2)由(1)知，对任意的，有取，则原不等式成立 十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而. (方法三)设A=,B=,因为AB,所以A21, 求a的取值范围. 解析:函数f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为. () 当0 f (0) =1, 因而这时a满足要求. () 当a2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时a不满足要求.() 当a0时, 对于任意x(0, 1) 恒有 , 这时a满足要求.综上可知, 所求 a的取值范围为 a2.27 / 27