教学资源高中数学解题技巧.pdf

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1、高中数学解题技巧研究性学习报告 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决以下问题:一、解决集合问题:在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。二、解决函数问题:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。三、解决方程与不等式的问题:处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。四、解决三角函数问题:有关三角函数单调区间的确定或比

2、较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图象来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。五、解决线性规划 问题:线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。六、解决数列问题:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。七、解决解析几何问题:解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中善于 将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。八、解决立体几何 问题:立

3、体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。2.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应 关系;(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;(5

4、)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数和三角函数解题中,运用数形结思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图见数想图,以开拓自己的思维视野。5、数形结合思想的论文数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数

5、学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中,主要有三种类型:以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。(1)、以“数”化“形”由于“数”和“形”是一种对应,有些数量比较抽象,我们难以把握,而“形”具有形象,直观的优点,能表达较多具体的思维,起着解决问题的定性作用,因此我们可以把“数”的对应“形”找出来,利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”,这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题,并通过对图

6、形的分析、推理最终解决数量问题的方法,就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件,将数量问题转化为图形问题一般有三种途径:应用平面几何知识,应用立体几何知识,应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题,一般来讲都是首先对问题的结构进行分析,分解成已知是什么(条件),要求得到的是什么(目标),然后再把条件与目标相互比较,找出它们之间的内在联系。因此,对于“数”转化为“形”这类问题,解决问题的基本思路:明确题中所给的条件和所求的目标,从题中已知条件或结论出发,先观察分析其是否相似(相同)于已学过的基本公式(定理)或图形的表达式,再作出或构造出与之相适合的图形,最后利

7、用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等,联系所要求解(求证)的目标去解决问题。(2)、以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助代数的计算,特别是对于较复杂的“形”,不但要正确的把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点,发掘题目中的隐含条件,充分利用图形的性质或几何意义,把“形”正确表示成“数”的形式,进行分析计算。解题的基本思路:明确题中所给条件和所求的目标,分析已给出的条件和 所求目标的特点和性质,理解条件或目标在图形中的重要几何意义,用已学过 的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来,再根据条件和结论的联 系,利用相应的公式或定理等。(3)、“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换,不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发,认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力,需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

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