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1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空间角和距离求空间角和距离1 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m m1 1，m m2 2，则l1与l2所成的角满足 cos|cosm m1 1，m m2 2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m m，n n，则直线l与平面所成角满足 sin|cosm m，n n|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小AB，CD 2如图，n n1 1，n n2 2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足 coscosn n1 1，n n2 2或cos
2、n n1 1，n n2 2 2 点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n n为平面的法向量，则B到|ABn n|平面的距离d.|n n|1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0，二面角的22范围是0，()(5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为 120，则l和所成角为 30.()(6)若二面角a的两个半平面、的法向量n n1，n n2所成角为，
3、则二面角a的大小是.()2 已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成3的角为A.()23B.3C.2D.6答案B解析m，n，异面直线m，n所成的角的补角与二面角l互补又异面直线所成角的范围为(0，2m，n所成的角为.33在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于A4答案B解析P点到平面OAB的距离为|OPn|n|262|d2，故选 B.|n|n|94 若平面的一个法向量为n n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a a(2，3,3)，则B2()C3D1l与所成角的正弦值为_答案4 11
4、33解析n na a8338，|n n|16113 2，|a a|499 22，n na a84 11cosn n，a a.|n|n|a|a|3 2 22334 11又l与所成角记为，即 sin|cosn n，a a|.335P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_答案90解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PE22a，PFb，22EMFN(PMPE)(PNPF)PMPNPMPFPEPNPEPFabcos 60a2222bcos 45abcos 45ab22220，2222E
5、MFN，二面角AB的大小为 90.abababab题型一求异面直线所成的角例 1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A.1010B.3010D.3 1010()2 15C.10思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC1、AE所成的角来求答案B解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)BC1(1,0,2)，AE(1,2,1)，BC1AE30cosBC1，AE.10|BC1|AE|所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为30.10思维升华用向量方法求两条异面直
6、线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是0，两向量的夹角的范围是0，2所以要注意二者的区别与联系，应有cos|cos|.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为A.10101B.53 10C.103D.5()答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，BE(0，1,1)，CD1(0，1,2)，123 10cosBE，CD1.102 5题型二求直线与平面所成的角例 2
7、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值思维启迪平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量(1)证明以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,0)1m设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E，0.221m可得PE，n，BC(m，1,0)22mm因为PEBC
8、 00，所以PEBC.22(2)解由已知条件可得m故C3，n1，33331，0，0，D0，0，E，0，3362P(0,0,1)设n n(x，y，z)为平面PEH的法向量，n nHE0，则n nHP0，1x3y0，6即2z0.因此可以取n n(1，3，0)又PA(1,0，1)，2所以|cosPA，n n|.4所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角(2013湖南)如图，
9、在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，2.4ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为)如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1
10、是正方形于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而 RtABCRtDAB，故即ABDABC 3.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1DBB1BDBB1ABAD21，即B1D 21.在 RtAB1D中，cosADB1222222ABBC，DAABAD321，B1D721即 cos(90)2121.从而 sin.7721.7即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA
11、1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而B1D(t,3，3)，AC(t,1,0)，BD(t,3,0)2因为ACBD，所以ACBDt300，解得t 3或t 3(舍去)于是B1D(3，3，3)，AC(3，1,0)，因为ACB1D3300，所以ACB1D，即ACB1D.(2)解由(1)知，AD1(0,3,3)，AC(3，1,0)，B1C1(0,1,0)设n n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，n nAC0，则n nAD10
12、3xy0，即3y3z0，令x1，则n n(1，3，3)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则n nB1C1321.sin|cosn n，B1C1|n n|B771C1|即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为题型三求二面角例 3(2013课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是21.7AB，BB1的中点，AA1ACCB(1)证明：BC1平面A1CD；2AB.2(2)求二面角DA1CE的正弦值思维启迪根据题意知ACB90，故CA、CB、CC1两两垂直，可以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量求二面角(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连
13、接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCB2AB得，ACBC.2以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD(1,1,0)，CE(0,2,1)，CA1(2,0,2)设n n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，n nCD0，则n nCA10，x1y10，即2x12z10.可取n n(1，1，1)同理，设m m是平面A1CE的法向量，m mCE0，则m mCA10.可取m
14、m(2,1，2)n nm m36从而 cosn n，m m，故 sinn n，m m.|n n|m m|33即二面角DA1CE的正弦值为6.3思维升华求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角如图，在圆锥PO中，已知PO 2，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值(1)证明如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，
15、C(0,1,0)，P(0,0，2)，D(，0)设n n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n n1OD0，n n1OP0，112x12y10，得2z10.1212所以z10，x1y1，取y11，得n n1(1,1,0)设n n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n n2PA0，n n2PC0，x2 2z20，得y2 2z20.所以x2 2z2，y2 2z2.取z21，得n n2(2，2，1)因为n n1n n2(1,1,0)(2，2，1)0，所以n n1n n2.从而平面POD平面PAC.(2)解因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n n3(0,1,
16、0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n n2(2，2，1)设向量n n2和n n3的夹角为，n n2n n3210则 cos.|n n2|n n3|55由图可知，二面角BPAC的平面角为锐角，所以二面角BPAC的余弦值为题型四求空间距离例 4已知正方形ABCD的边长为 4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_思维启迪所求距离可以看作CG在平面GEF的法向量的投影答案6 111110.5解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则CG(0,0,2)，由题意易得平面GEF的一个法向量为n n(1,1,3)，|n nCG|6 11所以点C到平面GE
17、F的距离为d.|n n|11思维升华求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便(2012大纲全国改编)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB2，CC12 2，E为CC1的中点，则点A到平面BED的距离为()A2C.2答案D解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，B.3D1C(0,2,0)，C1(0,2,2 2)，E(0,2，2)设n n(x，y，z)是平面BD
18、E的法向量n nBD2x2y0则n nDE2y 2z02.取y1，则n n(1,1，2)为平面BDE的一个法向量又DA(2,0,0)，点A到平面BDE的距离是|n nDA|d|n n|1200|11 2221.利用空间向量求角典例：(15 分)(2013江西)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G3为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.2(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值思维启迪(1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用AD、AP、AB两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹
19、角求两个平面BCP、DCP夹角的余弦值规范解答(1)证明在ABD中，因为E为BD的中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，2ABEAEB.3因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，3所以FEDFEA.3 分故EFAD，AFFD，又因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C3，322，0，D(0，3，0)，P0，0，32，故BC132，2，0，CP3，322，32，CD332，2，0.设平面BCP的法向量为n n1(x1，y1，z1)，则n n1CP0n
20、 n1BC032x132y132z10即12x312y10令y1 3，则x13，z12，n n1(3，3，2)同理求得面DCP的法向量为n n2(1，3，2)，从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos|cosn n|n n1n n2|1，n n2|n n|n n12|442 224.利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点的坐标5 分7 分9 分11 分13 分15 分第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标第四步：计算向量的夹角(或函数值)第五步：将向量夹角转化为所求的空间角第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)利用向量求角是高考的
21、热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错.方法与技巧1用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算2求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段失误与防范1 利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角 因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同2求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便3求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角A 组专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 已知正方体ABC
22、DA1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为()A60C30答案DB45D90解析以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则射线CD1、B1D的方向向量分别是CD1(1,0,1)，B1D(1,1，1011)，cosCD1，B1D0，2 3直线B1D和CD1所成的角为 90.2 如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D解析四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底
23、面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC平面SDB，从而ACSB.故 A 正确；易知 B 正确；设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故 C 正确；由排除法可知选D.93(2013山东)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为 3的4正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.512B.3C.4D.6()答案B13 3解析如图所示：SABC 3 3sin 60.243 39VABCA1B1C1SABCOPOP，OP 3.44又OA32
24、OP 3 1，tanOAP 3，23OA又 0OAP，OAP.234 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为1A.2答案BC.D.22()2B.333解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，1则A1(0,0,1)，E1，0，D(0,1,0)，21A1D(0,1，1)，A1E 1，0，2设平面A1ED的一个法向量为n n1(1，y，z)，yz0，则11z0，2y2，z2.22n n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n n2(0,0,1)，cosn n1，n n2.3132即所成的锐二面角的余弦值
25、为.35 在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为A.63B.()3a3C.3aD.6a答案B解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为，.333PHaaaa02a02a023a.33333a.3点P到平面ABC的距离为二、填空题6 已知两平面的法向量分别为m m(0,1,0)，n n(0,1,1)，
26、则两平面所成的二面角的大小为_答案3或44m mn n2解析cosm m，n n，m m，n n.|m m|n n|243两平面所成二面角的大小为或.447 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案60解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF(0，1,1)，BC1(2,0,2)，EFBC12，cosEF，BC11，22 222EF和BC1所成的角为 60.8 正方体ABCDA
27、1B1C1D1的棱长为 1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_答案3 510解析以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，11则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)221A1E(1,0，)，A1D1(0,1,0)2设平面A1D1E的一个法向量为n n(x，y，z)，n nA1E0，则n nA1D10，1xz0，即2y0.令z2，则x1.n n(1,0,2)1又A1F(，1，1)，2点F到平面A1D1E的距离为1|2|A1Fn n|23 5d.|n n|105三、解答题9 如图，四
28、棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABD所成的角为 60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值解(1)建立如图空间直角坐标系，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD平面ABCD，得PAD为PA与平面ABCD所成的角，PAD60.在 RtPAD中，由AD2，得PD2 3，P(0,0,2 3)(2)PA(2,0，2 3)，BC(2，3,0)，cosPA，BC22034 132 3013，1313.13异面直线PA
29、与BC所成的角的余弦值为10(2013天津)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为长方法一如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，2，求线段AM的6y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明易得B1C1(1,0，1)，CE(1,1，1)，于是B
30、1C1CE0，所以B1C1CE.(2)解B1C(1，2，1)设平面B1CE的法向量m m(x，y，z)，m mB1C0，则m mCE0，x2yz0，即xyz0.消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故B1C1(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量42 721于是 cosm m，B1C1，从而 sinm m，B1C1，7714 2|m m|B1C1|所以二面角B1CEC1的正弦值为21.7m mB1C1(3)解AE(0,1,0)，EC1(1,1,1)，设EMEC1(，)，01，有AMAEEM(，
31、1，)可取AB(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则|AMAB|sin|cosAM，AB|AM|AB|221，2222321于是21，解得(负值舍去)，233216所以AM 2.方法二(1)证明因为侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1 平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.经计算可得B1E 5，B1C1 2，EC1 3，从而B1EB1C1EC1，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E 平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E，222又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)解过B1作B1GCE于点G，连接C1
32、G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1CEC1的平面角2 6在CC1E中，由CEC1E 3，CC12，可得C1G.3在 RtB1C1G中，B1G4221，所以 sin B1GC1，3721.7即二面角B1CEC1的正弦值为(3)解连接D1E，过点M作MHED1于点H，可得MH平面ADD1A1，连接AH，AM，则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角设AMx，从而在 RtAHM中，有MH234x，AHx.66在 RtC1D1E中，C1D11，ED1 2，1得EH 2MHx.3在AEH中，AEH135，AE1，由AHAEEH2AEEHcos
33、 135，172122得x1xx，1893整理得 5x2 2x60，解得x 2(负值舍去)所以线段AM的长为 2.B 组专项能力提升(时间：30 分钟)1 过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为A30答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，()2222B45C60D90P(0,0,1)由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.11AD(0,1,0)，AE(0，)分别是
34、平面ABP、平面CDP的法向量，而AD，AE2245，平面ABP与平面CDP所成的二面角为 45.2 在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案155解析以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，FD1(1,0,2)，OE(1,1,1)，1215cosFD1，OE.55 33 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则点D1到平面A1BD的距离是_答案2 33解析如图建立
35、空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1A1(2,0,0)，DA1(2,0,2)，DB(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量n n(x，y，z)，n nDA12x2z0则n nDB2x2y0.令x1，则n n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离|D1A1n n|22 3d.|n n|334 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2 3，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2
36、3，0,0)，C(2 3，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，AP(0,0,3)，AC(2 3，6,0)，BD(2 3，2,0)BDAP0，BDAC0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD平面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n n(x，y，z)，则n nBD0，n nBP0.BP(2 3，0,3)，2 3x2y0，2 3x3z0，y 3x，解得2 3zx.3m mn n1令x 3，则n n(3，3,2)，cosm m，n n.|m|nm|n|2二面角PBDA的大小为 60.5(2013北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1
37、C1C是边长为 4 的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求(1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解在ABC中，AC4，AB3，BC5，BCACAB，ABAC以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.222BD的值BC1A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，A1C1(4,0,0)，A1B(0,3，4)，B1C1(4，
38、3,0)，BB1(0,0,4)设平面A1BC1的法向量n n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n n2(x2，y2，z2)A1C1n n10，A1Bn n104x103y14z10取向量n n1(0,4,3)B1C1n n20，由BB1n n204x23y20，4z20.取向量n n2(3,4,0)cos n n1，n n2n n1n n21616.|n n1|n n2|5525由题意知二面角A1BC1B1为锐角，16所以二面角A1BC1B1的余弦值为.25(3)证明设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BDBC1.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4.AD(4
39、，33，4)又ADA1B，03(33)1609BD9则，因此.25BC125第 7 讲立体几何中的向量方法（二）一、选择题1两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n n(1,0,1)，则两平面间的距离是()32A.B.C.3 D3 222解析两平面的一个单位法向量n n02.222，0，故两平面间的距离d|OAn n0|22答案B12已知向量m m，n n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm m，n n，则l2与所成的角为A30 ()D150B60C1201解析设l与所成的角为，则 sin|cosm m，n n|，30.2答案A3长方体ABCDA1
40、B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A.1010B.C.()D.3 101030102 1510解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)30.1030.10BC1(1,0,2)，AE(1,2,1)，cosBC1，AEBC1AE|BC1|AE|所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为答案B4已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD()A2 B.3 C.2 D1解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0
41、)(t0)，由AB2 解得t 2.答案C5如图，在四面体ABCD中，AB1，AD2 3，BC3，CD2.ABCDCB，则二面2角ABCD的大小为()A.6B.3C.53D.56解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.ADABBC CD.而AD2AB2CD2BC22|AB|CD|cosAB，CD，即 1214922cos AB，CD，cosAB，CD，AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.故1233选 B.答案B6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为 60，则AD的长为()A.2C2 B.3 D.22解析如图，以C
42、为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)u uu uu u r r设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，CDCD(1,0，a)，u uu uu u r rCBCB1 1(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)u uu uu u r rmCBCB1 10则u uu uu u r rmCDCD02y2z0 xaz0，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，mn11则由 cos60，得2，即a 2，|m|n|a2
43、2故AD 2.答案 A二、填空题7若平面的一个法向量为n n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_n na a84 11解析cosn n，a a.|n n|a a|3 2 22334 11又l与所成角记为，即 sin|cosn n，a a|.33答案4 11.3388若向量a a(1，2)，b b(2，1,2)且a a与b b的夹角的余弦值为，则_.98a ab b24解析由已知得，29|a a|b b|5 922853(6)，解得2 或.552答案2 或559已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，C
44、F2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_1解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1 由已知条件A(1,0,0)，E1，1，3F0，1，3212AE0，1，AF1，1，33设平面AEF的法向量为n n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为，n nAE0，由n nAF01yz0，3得2xyz0.3令y1，z3，x1，则n n(1,1，3)平面ABC的法向量为m m(0,0，1)3 112coscosn n，m m，tan.113答案2310在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析如图所
45、示建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，1111C(0,0,1)，M，0，故AB(1,1,0)，AC(1,0,1)，OM，0.2222设平面ABC的法向量为n n(x，y，z)，n nAB，则由n nAC，xy0，得xz0，令x1，得n n(1,1,1)故 cosn n，OM13226，3所以OM与平面ABC所成角的正弦值为答案26，其正切值为 2.3三、解答题11如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，ABBCBD4，E、F分别为棱BC、AD的中点(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所
46、成角的正弦值解如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)AB(0,0，4)，EF(2,2,2)，|cosAB，EF|383，42 33.3异面直线AB与EF所成角的余弦值为(2)设平面ACD的一个法向量为n n(x，y,1)，n nAC0，则n nCD0，AC(4,0，4)，CD(4,4,0)，4x40，4x4y0，xy1，n n(1,1,1，)F平面ACD，EF(2,2,2)，E到平面ACD的距离为d|n nEF|22 3.|n n|33(3)EF与平面AC
47、D所成角的正弦值为|cosn n，EF|132 33212 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2 3，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2 3，0,0)，C(2 3，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，AP(0,0,3)，AC(2 3，6,0)，BD(2 3，2,0)BDAP0，BDAC0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n n(x，y，
48、z)，则n nBD0，n nBP0.BP(2 3，0,3)，2 3x2y0，2 3x3z0y 3x，解得2 3zx.3m mn n1令x 3，则n n(3，3,2)，cosm m，n n.|m|nm|n|2二面角PBDA的大小为 60.113如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.2(1)证明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.1222又ACAA1，可得DC1DCCC1，所以DC1DC.2而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1B
49、C.(2)解由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向，|CA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)则A1D(0,0，1)，BD(1，1,1)，DC1(1,0,1)设n n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则n nBD0，n nA D0，1即xyz0，z0，可取n n(1,1,0)同理，设m m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则m mBD0，m mDC0，1xyz0，即xz0，可取m m(1,2,
50、1)从而 cosn n，m mn nm m3.|n n|m m|2故二面角A1BDC1的大小为 30.14如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值解方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.1F为CD的中点，GFDE且GFDE，2AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.1又ABDE，GFAB.又DE2AB，2四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF 平面BCE，BG 平面BCE，AF平面BCE.证法二：取DE的中