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1、 课堂导学（1.1.3 导数的几何意义）第 2 页 课堂导学 三点剖析 一、求切线方程【例 1】求曲线 y=x1-x上一点 P（4，47）处的切线方程 解析：要求过点 P（4，47）的切线方程，只需求出切线的斜率，由导数的几何意义知，其斜率为 f(4)，为此需求出曲线在点 P（4，47）处的导数.y=-21xx21x,f(4)=165,所求切线的斜率为165 所求切线方程为 5x+16y+8=0.温馨提示 f(x)对 x 的导数即为在该点处的切线的斜率，应明确导数的几何意义 二、求切点坐标【例 2】在曲线 y=x2上过点 P 的切线，第 3 页（1）平行于直线 y=4x-5；（2）与 x 轴成
2、 135的倾斜角分别求点 P 的坐标.思路分析：设切点坐标为（x0,y0）.根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用直线平行、垂直的条件，求出切点坐标 解：f(x)=lim0 xxxfxxf)()(设 P（x0，y0）是满足条件的点.(1)因为切线与直线 y=4x-5 平行，所以 2x0=4，x0=2,y0=4，即 P（2，4）（2）因为切线与 x 轴成 135的倾斜角，所以其斜率为-1 即 2x0=-1，得 x0=21,y0=41,即 P（21，41）温馨提示 注意利用解析几何中有关两直线平行垂直的条件 三、综合应用【例 3】已知点 M（0，-1），F（0，1），过点M 的直线 l 与曲
3、线 y=31x3-4x+4 在 x=2 处的切线平行 第 4 页（1）求直线 l 的方程；（2）求以点 F 为焦点，l 为准线的抛物线 C 的方程 思路分析：（1）依题意，要求直线 l 的方程，只需求其斜率即可，而直线 l 与曲线在 x=2 处的切线平行，只要求出 f(2)即可（2）设出抛物线方程，利用条件求出 p 即可 解：（1）因为f（2）=lim0 x0)424231(4)2(4)2(3133xxx，所以直线 l的斜率为 0，其直线方程为 y=-1.(2)因为抛物线以点 F（0，1）为焦点，y=-1 为准线，设抛物线方程为 x2=2py，则2p=1,p=2.故抛物线 C 的方程为 x2=
4、4y.温馨提示 本题以导数为工具，主要考查了直线方程，抛物线的焦点、准线等基础知识 各个击破 类题演练 1 已知曲线 C：y=x3-3x2+2x，直线 l:y=kx,且 第 5 页 直线 l 与曲线 C 相切于点（x0,y0）(x00).求直线 l 的方程及切点坐标 解：直线 l 过原点，则 k=00 xy(x00).由点（x0,y0）在曲线 C 上的 y0=x30-3x20+2x0,00 xy=x20-3x0+2,y=3x2-6x+2,k=3x20-6x0+2.又 k=00 xy,3x20-6x0+2=00 xy=x20-3x0+2,整理得 2x20-3x0=0,x00,x0=23,此时 y
5、0=83,k=-41,因此直线 l 的方程为 y=-41x，切点坐标为（23，83）变式提示 1 已知曲线 y=x2+x1+5 上的一点 P（2，219），求 P处的切线方程 解：因为 k=f(2)=limoxxfxf)2()2(第 6 页 所以在 P 点处的切线方程为 y-219=415(x-2),即 15x-4y+8=0.类题演练 2 在曲线 y=x2上过 P 点的切线垂直于直线2x-6y+5=0，求点 P 的坐标.解：切线与直线 y=4x+3 平行，斜率为 4 又切线在 x0点的斜率为 y|x0=(x3+x-10)|x0=3x20+1,3x20+1=4,x01,切点为（1，-8）或（-1
6、，-12）切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.变式提升 2 如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线y=4x+3 平行，求切点坐标与切线方程 解：f(x)=limoxxxfxxf)()(=limoxxxxx22)(=2x 设 P(x0,y0)是满足条件的点，因为切线与直线2x-6y+5=0 垂直，所以 2x031=-1,第 7 页 得 x0=23,y0=49,即 P(23，49).类题演练 3 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=21x2+a(a 为常数)，直线 l 与函数 f(x）、g(x)的图象都相切，且 l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为 1，求直线 l 的方程及a
7、 的值 解：设直线 l 与两曲线的切点的坐标分别为 A（a,a2），B（b,-(b-2)2）.因 为 两 曲 线 对 应 函 数 的 导 函 数 分 别 为y1=2x,y2=-2(x-2).所 以 在 A、B 两 点 处 直 线 的 斜 率 分 别 为y1|x=a=2a,y2|x=b=-2(b-2).由题意baa222)-(b=2a=-2b+4,即442,222babbaba 解得.2,00,2baba或 所以 A（2，4）或（0，0），切线的斜率 k=4 或0,从而切线方程为 y=4x-4 或 y=0.第 8 页 变式提升 3 已知曲线 C1：y=x2与 C2：y=-(x-2)2，若直线 l 与 C1、C2都相切，求直线 l 的方程 解：由 f(x)|x=1=1，知直线 l 的斜率为 1，切点为（1,f(1)），即（1，0）所以 l 的方程为 y=x-1.又直线 l 与 y=g(x)的图象相切，即方程组axyxy221,1只有一解.即方程21x2-x+(1+a)=0 有两个相等的实数根，=1-421（1+a）=0.a=21.