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1、微积分学习总结 Revised as of 23 November 2020第一章 函数与极限第一节函数 函数内容网络图定义对应法则表格法表达方法图象法单调性函数的特性 奇偶性函数重要的函数复合函数周期性有界性反函数存在性定理定义解析法非初等函数初等函数区间定义域不等式集合1,符号函数：sgn x 0,1,x 0,x 0,x 0.几个具体重要的函数取整函数：fxx，其中x表示不超过 x的最大整数.1,狄里克雷函数：Dx0,x为有理数,x为无理数.内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设 A、B是两个非空实数集，如果存在一个对应法则 f，使得对 A中任何一个实数 x，在 B中都有唯一确定的实数
2、y与 x对应，则称对应法则 f 是 A上的函数，记为f:x y或 f:A B.y称为 x对应的函数值，记为y fx,x A.其中 x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数 f 的定义域，记为 D（f），f(A)f(x)x A,称为函数的值域，记为 R（f），在平面坐标系 Oxy下，集合(x,y)y f(x),xD称为函数 y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否
3、为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。二、反函数定义 设 y=f(x)，xD，若对 R(f)中每一个 y，都有唯一确定且满足 y=f(x)的xD与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在 R（f）上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作f1:Rf D或x f1y,y Rf.1由于习惯上用 x 表示自变量，y表示因变量，所以常把上述函数改写成y f
4、x,x Rf.1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。2、函数 y=f(x)与 x=f-1(y)的图象相同，这因为满足 y=f(x)点（x,y）的集合与满足 x=f-1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数 y=f(x)与 y=f-1(x)图象关于直线 y=x对称。3、若 y=f(x)的反函数是 x=f-1(y)，则y f f1(y),x f1fx.4、定理 1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。三、复合函数定义 设y fu,uE,u x,xD，若D(f)R，则 y 通过 u构成 x的函数，称为由 y=f(u)与u x复
5、合而成的函数，简称为复合函数，记作y f(x)。复合函数的定义域为x xD且(x)E，其中 x 称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，x称为内函数，f(u)称为外函数。1、在实际判断两个函数y f(u),u x能否构成复合函数，只要看y f(x)的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如 y=f(x),y=g(x),若 y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。则复合函数y f(gx)，若y gx作为外函数，y fx作为内函数，则复合函数为 y=g(f(x)。3、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要
6、会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四 初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点与坐标轴的交点是什么以后我们常常要用到。由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如 x,x 0 x x2，是由y u,u x2复合而成。fxx,x 0五 具有某些特性的函数1奇（偶）函数定
7、义 设 D是关于原点对称的数集，y=f(x)为定义在 D上 的函数，若对每一个x D这时也有 x D，都有f x fx f x fx，则称 y=f(x)为 D上的奇（偶）函数。（1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。（2）若 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，事实上，由定义知 f(-0)=-f(0)，有 f(0)=-f(0)，得 f(0)=0.2周期函数定义 设 y=f(x)为定义在 D 上的函数，若存在某个非零常数 T，使得对一切xD，都有f(x+T)=f(x)，则称 y=f(x)为周期函数，T称为 y=f(x)的一个周期。显然，若 T是 f(x)的周期，则kTk Z也是
8、f（x）的周期，若周期函数 f(x)的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为 f(x)的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如 f(x)=c（c为常数），因为对任意的实常数 T，都有 f(x+T)=f(x)=c。所以 f(x)=c是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数 f(x)=c没有最小正周期。如果 f(x)为周期函数，且周期为 T，任给xD，有 f(x)=f(x+kT)，知x kT Dk Z。所以 D是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。3单调函数定义 设 y=f(x)为定义在 D 上的函数，若对 D中
9、任意两个数 x1,x2且 x10，使得对每一个xD，都有则 f(x)为 D上的有界函数。几何意义，若 f(x)为 D上的有界函数，则 f(x)的图象完全落在直线 y=-M与 y=M之间。注意：直线 y=-M，y=M不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是定义 设 y=f(x)为定义在 D上的函数，若对每一个正常数 M（无论 M 多么大），都存在x0 D，使fx0 M，则称 f(x)为 D上的无界函数。6函数的延拓与分解有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知产生新的函数的方法。设y fx,x0,a，我考虑区间-a,a上的函数 F(x)，它是偶函数，且
10、在0,a上，使fx,F(x)=f(x)，则应有Fxf x称 F（x）是 f(x)的偶延拓x0,a,xa,0.同样可给出 f(x)的奇延拓，即函数 F（x）在-a,a上的奇函数，且在（0,a）上，F（x）=f(x)，fx,x0,a则应有Fx0,x 0这样，研究 f(x)只要，研究 F（x）就可以了。f x,x a,0同样，对于函数 y=f(x),xa,b，可以构造一个以（b-a）为周期的周期函数 F（x），在fx,xa,b（a,b）上，F（x）=f(x)，则有Fx f x n ba,x nb n1 a,n1bna,n z这就是函数 f(x)的周期延招，研究 f(x)只要研究 F（x）就可以了。此
11、外，定义在区间（-a,a）上的任何一个函数 f(x)都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实fx f xfx f x22fx f xfx f x,f2x,设f1x22上fx由奇偶函数的定义知，f1(x)是奇函数。f2(x)是偶函数，且fx f1x f2x.我们还可以证明 f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果fx g1x g2x,其中 g1(x)是奇函数，g2(x)是偶函数，于是fx g1x g2x,f x g1 x g2 x g1x g2x,解得g1xfx f xfx f x f1x，g2x f2x22解题基本方法与技巧一、求函数定义域的方法1若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使
12、这式子有意义的一切实数组成的集合，且在（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根号下应大于或等于零；（3）对数式的真数应大于零且底数大于零不为 1；（4）arc sinx或 arccosx，其x1；（5）tanx，其k2x k2,k z;cotx,其kx k,k z.（6）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集；（7）分段函数的定义域是各段定义域的并集。2.若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的集合。3.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。例 1 求下列函数的定义域：（1）y 3x x3；（2）y arcsin2
13、x1 x解（1）要使函数式子有意义，就必须满足3x x3 0。化简有x x 3 x 3 0,即x 3 x x 3 0.解之，得定义域为x ,3 0,3。（2）要使函数式子有意义，就必须满足 2x2x1，即11，1 x1 x221，3 1，1 x1 x311不等式各边除以（-2）有，21 x221各边取倒数得，1 x 2。解之，得函数的定义域为 x 1。33化简有1 2例 2 不清设fxx11x 2，求 f(x)的定义域。解 要使函数式子有意义，必须满足11x 1x 2 0即x 2x 2 0故所给函数的定义域为x:x R且x 1,x 2。注意：如果把1x1x 2化简为xx 2，那么函数的定义域为
14、x 1的一切实数，因此，求函数x 1的定义变形式时需特别小心，避免出错。例 3 已知fx ex,fx1 x且x 0，求x并写出它的定义域。2解 由ex1 x，得xln1 x，2由ln1 x 0，得1 x 1，即 x0，所以xln1 x,x 0。例 4 设 f(x)的定义域为0，1，试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域（a0）。解 要使 f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足0 x a 1,a x 1a,0 x a 1,得a x 1 a.11当0 a 时，由a 1 a，知函数的定义域为a x 1a。当a 时，由 a1a，知定义域22不存在。二、求函数值域的方法1.由定义域 x的范围，利用
15、不等式求出 f(x)的范围；2.若 y=f(x)有反函数 x=f-1(y)，求出反函数的定义域就是函数的值域；3.利用一元二次方程的判别式求函数的值域。例 5 求下列函数值域：x 1x2 2x 1（1）y x 1 x；（2）y；（3）y 2。x 3x x 1155解（1）令1 x t,则x 1t2，于是y x 1 x 1t2t t 。244当且仅当t 5135，即x 时，y。故函数y x 1 x的值域是,。42442（2）由y 13yx 1x 1，得(x+3)y=x+1，解之，x 是y 的反函数，而y 1x 3x 3x 13y的定义域是y 1，故函数值域是,11,。y 1（3）由原函数式变形，
16、得yx2 x 1 x2 2x 1，即y 1x2y 2x y 1 0。当 y-1=0，即 y=1时，x=0；当y 1 0,即y 1时，y 2 4y 1 0，即0 y 4y 1。故函数的值域为0，4。22三、判断两函数是否为同一函数的方法例 6 判断下列各组函数是否为同一函数：（1）（i）y sin x0 x；（ii）s 1cos2t0 t,（2）（i）y x 11；（ii）。y 2x 1x 1解（1）由 y=sinx的定义域是0，s 1cos2t的定义域是0，。知两函数定义域相同，又S 1cos2t sin2t sint sint0 t,知两函数对应法则相同，故（i）（ii）为同一函数。x 11
17、的定义域是的全体实数，的定义域是x 1的全体实数，知两y x 12x 1x 1x 11函数定义域不同，尽管当x 1时，y 2，知两函数对应法则相同，但（i）（ii）不x 1x 1（2）由y 是同一个函数。四、求反函数方法步骤：1.从 y=f(x)中解出 x=f-1(y);2.改写成 y=f-1(x),则 y=f-1(x)是 x=f-1(y)的反函数.例 7 求下列函数的反函数:(1)y 1 x21 x 0；（2）y 3x 1 x23x 1 x2；x,2x 1,（3）y x,1 x 4,x2,x 4.解（1）由x 1 y2,y0,1，知反函数为y 1 x2，x0,1。（2）由y 3x 1 x23
18、x 1 x2两边立方得y x 1 x3x 1 x3232x 21 x233(x 1 x)x 1 x222 x 1 x2,即y3 2x 33x 1 x233x 1 x2 2x 3y,13y y3。21所以反函数为y 3x x3,xR.2解之x y,y 1,x,x 1,（3）由x y,1 y 16,则反函数为y x,1 x 16,log2x,x 16.log2y,y 16,五、求复合函数的方法。1代入法某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。2分析法根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式
19、及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。例 8 设fx,求fnx ff fx.1 xn次2xxx2解f2x ffxfx1 f2x1 x21 fx1 x21x1 x22x1 2x2，2x1 2xf3x fffx ff2x，222x13x1 f2x11 2x2f2xx猜想fnxx1 nx2。x1 kx2当 n=1时，结论已成立，假设 n=k时，fkx成立，当 n=k+1时，x2x1 kxfk1x ffkx。22x1k 1x11 kx2即 n=k+1时结论成立，故fnx1,x 1,例 9 设fx0,x 1,x1 nx2。求ffx。解
20、 当x 1时,fx1,ffx f11，当x 1时,fx 0,ffx f01。故 f(f(x)=1。xe例 10 设fx,x 1,x,x 1.x 2,x 0,xx 1,x 0,求fx。2ex,解 由fxx,x1,x1.（1）当x1时或x 0,x x 2 1,或x 0,x x211,（2）当x1时或x 0,x x 2 1,或x 0,x x211,x 0,即x 1,有x 1。x 0,即,有0 x 2.2 x 2x 0,即x 1,有 1 x 0。x 0,即,有x 2.得x 2或x 2六、判断奇偶函数的方法偶函数 f(x)的图象关于 y轴对称；奇函数 f(x)的图象关于原点对称。奇偶函数的运算性质 1.
21、奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。2.偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。3.一奇一偶的乘积为奇函数 4.两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。判断方法 1用定义 2.若 f(x)+f(-x)=0，则 f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。例 11 判断下列函数的奇偶性：（1）fx31 x31 x；（2）fx ln221 x；1 x（3）fx11（a0,a1 常数）ax122222解（1）由f x31 x31 x31 x31 x fx，知 f(x)为偶函数（2）由fx f x ln1 x1 x ln1 x
22、1 x ln1 x1 x1 x 1 xln ln ln1 0,知 f(x)为奇函数。1 x1 x1 x 1 x1axax1a11111xx121 a221 a121ax（3）由f xax1 ax11111 fx，知 f(x)为奇函数xxx1 a21 a2a 12七、周期函数的判断与周期的求法 1周期函数周期的求法（1）若 T为 f(x)的周期，则 f(ax+b)的周期为Ta 0a（2）若 f(x)的周期为 T1，g(x)的周期为 T2，则 c1f(x)+c2g(x)的周期为 T1，T2的最小公倍数。2周期函数的判断方法。（1）用定义。（2）用周期函数的运算性质。常见函数的周期：sinx,cos
23、x,其周期 T=2；tanx,cotx,sinx,cosx,其周期 T=。例 12 求下列函数周期（1）fx 2tanxx3tan；（2）fx sin4x cos4x；（3）fx x x。23解（1）由tanxx的周期T1 2，tan的周期T2 3。故 f(x)的周期性期为 6。1123322（2）由f xsin2x cos2x 2sin2xcos2x1131211sin22x 11cos4xcos4x，知 f(x)的周期T。244442（3）设x n r0 r 1，nZ，T 为任意整数,由fx T fn T r n T r n T r n T r T n r n r n r fx知任意整数均
24、为其周期，则最小周期 T=1。例 13 若函数fx x 的图形关于两条直线 x=a和 x=b对称（ba），则 f(x)为周期函数。证 由条件函数的对称性知fa x fa x，（1）fb x fb x，（2）故函数在 a,b 中点(a+b)/2 处的值等于点 ab ab a/和b 处的函数值22b ab a从而猜想如果 f(x)为周期函数，则周期应为b a 2b a。22事实上fx 2b a fb x b 2a fb x b 2a f2a x所以 f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数。八、单调函数的判断方法1用定义。2利用单调函数的性质。（1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、
25、一个递减函数的复合是递减函数。例 14 设x,x及 f(x)为递增函数证明：若x fxx（1）则x ffxx（2）证 设 x0为三个函数公共域内的任一点，则x0 fx0 x0由（1）以及函数 f(x)的递增性知fx0 ffx0，x0 fx0；从而x0 ffx0同理可证ffx0 x0。由 x0的任意性知，于是（2）式成立。九、函数有界性的判断判断函数是否有界，经常用定义。例 15 判断下列函数是否有界：（1）fxx1；（2）f x,x0,1。1 x2x2解（1）由 f(x)的定义域是 R。当x 0时,fx知xR时,fxxxx11，当，x 0时,f 0 0,有 f 0 2221 x1 x2 x21
26、，所以 f(x)为有界函数。21M 10,1。fx0（2）M 0,取x01 M 1 M 1 M.1M 1由无界函数的定义知 f(x)在（0，1）上无界。第二节函数极限与连续 函数极限内容网络图lim f(x)Axlim f(x)Axx0函数极限定义lim f(x)xx0lim f(x)x夹逼定理判断函数极限存在准则单调有界定理单侧极限与双侧极限函数极限与数列极限归结原则。关系定理函数极限与无穷小无穷大与无穷小无穷小的阶高阶、同阶、等价。函数极限与连续函数极限与连续闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的性质性质最大（小）值定最大（小）值定零值点定理（根的存在零值点定理（根的存在介值定理介值定理函数
27、连续定义lim f(x)f(x0)或 lim y 0 xx0 x0可去间断点第一类间断点跳跃间断点间断点分类第二类间断点内容提要与释疑解难一、函数极限的概念1.lim f(x)A:若存在一个常数A,0,X 0,当x X时,都有f(x)A。x2.lim f(x)A:把 1 中“x X”换成“x X”。x3lim f(x)A:把 1 中“x X”换成“x X”。x定理lim f(x)A lim f(x)A且lim f(x)A.xxx4lim f(x)A:设f(x)在x0的某空心邻域内Ux0有定义，若存在一个常数 A，xx00 0,0,当0 x x0时，都有f(x)A。5limf(x)A:设f(x)
28、在x0的某左半邻域U(x0)内有定义，若存在一个常数 A，xx00 0,0,当 x x0 0时，都有f(x)A。)表示左极限值 A，因此可写成此时也可用记号f(x00)或f(x0 xx0limf(x)f(x00)或 lim f(x)f(x0)xx06.limf(x)A:设f(x)在x0的某右半邻域U(x0)内有定义，若存在一个常数xx0)表示右A,0,0，当0 x x0 8时，都有f(x)A。此时也可用f(x0 0)或f(x00。极限A。因此可写成limfx fx0 0或 limf(x)fx0 xx0 xx0定理lim fx A limfx A且limfx A.xx0 xx0 xx0该定理是求
29、分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在x0的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。7lim f(x):M 0,0,当0 x x0时，都有f(x)M。此时称x x0时，xx0f(x)是无穷大量。而lim f(x)，只要把公式中“f(x)M”改成“f(x)M”，lim f(x)，只要把上式xx0 xx0中“f(x)M”改成“f(x)M”。8.lim f(x):M 0,X 0。当x X时，都有f(x)M。x读者同理可给出lim(或)f(x)(或)定义。x注：lim f(x)A（常数）与lim f(x)的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极xx0 xx
30、0限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。9lim f(x)0。称f(x)当x x0是无穷小量。这里的x0可以是常数，也可以是xx0,或。定理lim f(x)A(常数)f(x)A(x)。xx0其中lim(x)0。xx010若 0,M 0,当xU(xx,)时，都有f(x)M，称f(x)当x x0时是有界量。二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设lim f(x)0,lim g(x)0，xx0 xx00（这里x0可以是常数，也可以是,，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若limf(x)0，称f
31、(x)当x x0时是g(x)的高阶无穷小量，记作g(x)f(x)(g(x)(x x0).。xx0（2）若limxx0f(x)c(常数)0,，称f(x)当x x0时是g(x)的同价无穷小量。g(x)（3）若limxx0f(x)1，称f(x)当x x0时是g(x)的等价无穷小量，记作fx gxx x0，g(x)此时（2）式也可记作fx cgxx x0。（4）若limf(x)c(常数)0(k 0常数)，称f(x)当x x0时是x x0的 k 阶无穷小量。xx0 x xk0由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若limf(x)1。记作f(x)g(x)(x x0)，g(x)xx0如果f
32、(x),g(x)均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果f(x),g(x)均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果f(x),g(x)既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如lim f(x)A(常数)0，则f(x)A(x x0)。xx0注：A不能为零，若 A=0，f(x)不可能和 0等价。无穷小量的性质：1若1(x),2(x),m(x)当x x0时,均为无穷小量，则（i）limc11(x)c22(x)cmm(x)0.xx0其中c1,c2,cm均为常数。（ii）lim1(x)2(x)m(x)0。xx02若f(x)当x x0时是有界量，(x)当x x0时是无穷小量，则lim f(x)(x)0。xx0无
33、穷大量的性质：1有限个无穷大量之积仍是无穷大量。2有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：若lim f(x),则limxx0 xx01 0；f(x)若lim f(x)0,且 0,当xU(x0,)时f(x)0,则limxx00 xx01。f(x)三、函数连续的概念。定义 1 若lim f(x)f(x0),称f(x)在x x0处连续。xx0用语言可写为定义 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义，若 0,0,当x x0时，都有f(x)f(x0)，称f(x)在x x0处连续。用函数值增量y形式可写为定义 若lim y 0，称f(x)在x x0处连续。x0若limf(x)f
34、(x0),称f(x)在x x0处左连续。xx0若limf(x)f(x0),称f(x)在x x0处右连续。xx0定理f(x)在x0处连续f(x)在x0处既是左连续又是右连续。如果f(x)在x x0处不连续，称x x0为f(x)的间断点。间断点的分类：（1）若lim f(x)A(常数),但f(x)在x x0处不连续,称x x0是f(x)的可去间断点。xx0若x x0为函数f(x)的可去间断点，只须补充定义或改变f(x)在x x0处的函数值,使函数在该点连续。但须注意，这时函数与f(x)已经不是同一个函数但仅在x x0处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数F(x)，使F(x)在
35、某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当x x0时，也具有这种性质。而x x0时，F(x)f(x)，所以f(x)在x x0的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。例如f(x)sin xsin x,lim f(x)lim1，x0 x0 xxsin x,x 0,但f(x)在x 0处没定义,知f(x)在x 0处不连续,设F(x)x1,x 0.则Fx在x 0处连续，但Fx与fx定义域不同，sin x,x 0,虽然F(x)与f(x)不是同一函数,但在x 0处完全相同，又如f(x)xx 0.0,sin xsin x,x 0,lim f(x)lim1 f(0)0,知f(x)在x 0处不连续。设F(x)x
36、x0 x0 xx 0.1,则F(x)在x 0处连续，虽然F(x)与f(x)定义域相同，但在x 0处，两个函数值不同，知F(x)与f(x)不是同一函数，但仅在x 0不同，其余点函数值处处相同。（2）若limf(x)f(x00).limf(x)f(x0 0),但f(x0 0)f(x0 0)，称x x0为f(x)xx0 xx0的跳跃间断点，称f(x00)f(x00)为f(x)的跳跃度。（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。（3）若x0处，左、右极限至少有一个不存在，我们称x x0为f(x)的第二类间断点。若lim f(x)，我们也称x x0为f(x)的无穷型间断点，属于
37、第二类间断点。xx0四、函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：（1）lim f(x)（2）lim f(x)（3）lim f(x)（4）lim f(x)xxxxx0（4）limf(x)（6）limf(x)xx0 xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以lim f(x)为例，其它类型极限的相应性质的叙述xx0只要作适当修改就可以了。性质 1（唯一性）若极限lim f(x)存在，则它只有一个极限。xx0性质 2（局部有界性）若极限lim f(x)存在，则存在x0的某空心邻域U(x0)，使f(x)在U(x0)xx000内有界。注意：lim f(x)存在，只能得出f(x)在x0的某邻域内有界，
38、得不出f(x)在其定义域内有界。xx0性质 3 若lim f(x)A,lim g(x)B,且A B，则存在x0的某空心邻域U(x0,0)，使xx0 xx00 xU(x0,0)时，都有f(x)g(x)。0性质 4（局部保号性）若lim f(x)A 0(或 0)，则对任何常数0 A(或A 0)，存xx0在x0的某空心邻域U(x0)，使得对一切xU(x0)，都有f(x)0(或f(x)0)成立。性质 5（不等式）若lim f(x)A,lim g(x)B，且存在x0的某空心邻域U(x0,0)，使得对xx0 xx0000一切xU(x0,0)，都有f(x)g(x),则A B。性质 6（复合函数的极限）若li
39、m(x)u0,lim f(u)A，且存在x0的某空心邻域xx0uu00U(x0,)，当xU(x0,)时，(x)u0，则lim f(x)lim f(u)A。xx0uu000性质 6是求极限的一个重要方法变量替换法，即xx0lim f(x)令(x)ulim f(u)A。且xx0,(x)u0uu0性质 7（函数极限的四则运算）若lim f(x)与lim g(x)均存在，则函数xx0 xx0f(x)g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数)在x x0时极限均存在且（1）limf(x)g(x)lim f(x)lim g(x)；（2）limf(x)g(x)lim f(x)lim g(x)；xx0
40、xx0 xx0 xx0 xx0 xx0（3）lim cf(x)C lim f(x)；又若lim g(x)0,则xx0 xx0 xx0fx在x x0时的极限也存在，且有gxlim f(x)f(x)xx0（4）lim。xx0g(x)lim g(x)xx0利用极限的四则运算，可得下列重要结果。上面的结论可作为公式用。性质 8（归结原则或海涅（Heine）定理）lim f(x)存在的充要条件是：xx0limxn x0 xn x0,n 1,2,极限lim f(xn)都存在且相等。nn,xn,limxn=x0,limxn=x0,且lim f(xn)A,lim f(xn)B,A B逆否定理若存在两个数列xn
41、nnnn或存在xn,limxn x0,lim f(xn)不存在，则lim f(x0)不存在。nnnx0此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。五、函数连续的性质若函数f(x)在点x x0处连续，即lim f(x)f(x0)，利用极限的性质 1-5可得到函数在x x0 xx0连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把U(x0)改成U(x0)即可，读者自己叙述出来。利用极限的四则运算，我们有性质 1（连续函数的四则运算）若f(x),g(x)在点x x0处连续，则f(x)g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数)f(x)(g(x0)0)在x x0处也连续。g(x)0性质 2 若u(x)
42、在x0处连续,y f(u)在u0(x0)处连续，则y f(x)在x x0处也连续且xx0lim f(x)f(x0)f(lim(x)xx0在满足性质 2的条件下，极限符号与外函数f可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论 若lim(x)u0,y f(u)在u u0处连续,则xx0 xx0lim f(x)f(lim(x)。xx0(x),x x0,证 设g(x)则g(x)在x x0处连续，又y f(u)在u uo g(x0)u,x x,00处连续，由性质 2 知lim f(g(x)f(lim g(x)。xxoxxo由于x x0,要求x x0,有g(x)(x),所以lim f(x)f(lim(x)。xx
43、oxxo在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质 2及推论也是求函数极限的一个重要方法。即极限符号与外函数f交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。定理 初等函数在其定义域上连续。六、闭区间上连续函数的性质定理（最大值与最小值定理）若f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上一定能取到最大值与最小值，即存在x1,x2a,b,f(x1)M,f(x2)m，使得对一切xa,b，都有m f(x)M。推论 1 若f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界。定理（根的存在定理或零值点定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，f(a)f(
44、b)0，则至少存在一点(a,b),使f()0。推论 1 若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b),c为介于f(a),f(b)之间的任何常数，则至少存在一点(a,b),使f()c。推论 2 若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则值域R(f)m,M。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。七、重要的函数极限与重要的等价量利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。sin x1lim1.2.lim(1 x)x e.x0 x0 xln(1 x)1 limln(1 x)limln(1 x)x l
45、nlim(1 x)x lne 1.3limx0 xx0 x0 x0 x111ex1t1设ex1 tlim lim1.4.limx0t0t0ln(1t)xln(1t)tax1exlna1 limlna lna(a 0,a 1为常数).5.limx0 xlnax0 x(1 x)b1ebln(1x)1 ln(1 x)limb b(b为常数,b 0).6、limx0bln(1 x)x0 xx7limx0arcsin xt1设arcsin x tlim lim1.t0t0sintxsinttarctanxtt设arctanx t lim limcost 111.t0t0 x0 xtantsintln x
46、9limk 0(k 0 常数).xx8limxk10limx 0(a 1常数,k为常数).xa11若limu(x)a 0,limv(x)b(a,b均为常数),则xx0 xx0 xx0limu(x)V(x)limeV(x)lnu(x)exx0 xx0 xx0lim V(x)lnu(x)=exx0lim V(x)lim lnu(x)xx0 eblna elnab ab即lim u(x)v(x)ab。注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的x可换成f(x)，只要x xo时，f(x)0，结论依然成立。利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利
47、用他们当x 0时，sin x x,ln(1 x)x,ex1 x,ax1 xlna(a 0,a 1,常数).(1 x)b1 bx(b 0,常数),arcsin x x,arctanx x,1cosx 12x.2注：上式中的x可换成f(x)，只要x x0时，f(x)0.结论依然成立。例如sin f(x)f(x)(若x x0时,f(x)0)。此外，若lim f(x)A(常数)0,f(x)A(x x0).xx0解题基本方法与技巧一、求函数极限的有关定理等价量替换定理，若（1）f(x)f1(x),g(x)g1(x),h(x)h1x(x x0)；（2）limxx0f1(x)g1(x)f(x)g1(x)f(
48、x)g(x)A(或)；，则lim lim1 A(或).xx0 xx0h1(x)h(x)h1(x)证limxx0f(x)g1(x)f(x)g(x)h1(x)f(x)g(x)lim1 A111 A(或),xx0h(x)h1(x)f1(x)g1(x)h(x)即limxx0f(x)g1(x)f(x)g(x)lim1 A(或).xx0h(x)h1(x)这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。但替换以后函数极限要存在或为无穷大。需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替
49、换。夹逼定理 若lim f(x)lim g(x)A，且存在x0的某空心邻域U(x0,)，使得对一切xx0 xx00 xU(x0,)，都有f(x)h(x)g(x)，则lim h(x)A。xx00单调有界定理（1）若f(x)在U(x0)内递增（或递减）有下界（或上界），则limf(x)存xx00在。（2）若f(x)在(,a)内递增（或递减）有下界（或上界），则lim f(x)存在。x,x 的叙述。函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可请读者给出x x0以。洛必达(LHospital)法则 I 设（1）lim f(x)0,lim g(x)0；xx0 xx0（2）存在x0的某邻域U(x0)，当
50、xU(x0)时，f(x),g(x)都存在，且g(x)0；（3）limf(x)f(x)f(x)A(或)，则lim lim A(或).xxxx0g(x)0g(x)g(x)00 xx0洛必达(LHospital)法则 II，设（1）lim f(x),lim g(x)；xx0 xx0（2）存在x0的某邻域U(x0)，当xU(x0)时，f(x),g(x)都存在且g(x)0；（3）limf(x)f(x)f(x)A(或)，则lim lim A(或).xxxx00g(x)g(x)g(x)00 xx0,x x0,x ,x ,x 时，条件（2）只须1上述两个法则中的x x0改成x x0作相应的修改，结论依然成立。