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1、,4.2 微积分基本定理(79),3,1、变速直线运动问题,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,4.2.1 原函数存在定理,4.2 微积分基本定理(79),4,考察定积分,2、积分上限函数,4.2 微积分基本定理(79),5,证,4.2 微积分基本定理(79),6,由积分中值定理得,4.2 微积分基本定理(79),7,补充,证,4.2 微积分基本定理(79),8,例1 求极限,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,4.2 微积分基本定理(79),9,证,4.2 微积分基本定理(79),10,4.2 微积分基本定理(79),11,证,令,4.2 微积分基本定理(79),12,定
2、理 （原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,4.2 微积分基本定理(79),13,定理 2（微积分基本定理）,证,4.2.2 牛顿莱布尼茨公式,4.2 微积分基本定理(79),14,令,令,牛顿莱布尼茨公式,4.2 微积分基本定理(79),15,微积分基本定理表明：,注意:,求定积分问题转化为求原函数的问题.,4.2 微积分基本定理(79),16,例4 求定积分,原式,例5 设 , 求 .,解,解,4.2 微积分基本定理(79),17,例6 求积分,解,由图形可知,4.2 微积分基本定理(79),18,
3、例7 求积分,解,解 面积,4.2 微积分基本定理(79),19,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,4.2.5 小结与思考题1-2,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系,4.2 微积分基本定理(79),20,思考题,4.2 微积分基本定理(79),21,思考题解答,4.2 微积分基本定理(79),22,课堂练习题,4.2 微积分基本定理(79),23,4.2 微积分基本定理(79),24,课堂练习题答案,4.2 微积分基本定理(79),25,定理3,4.2.3 定积分法,1、换元积分法,4.2 微积分基本定理(79),26,证,4.2 微积分基本定理(7
4、9),27,4.2 微积分基本定理(79),28,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,4.2 微积分基本定理(79),29,例9 计算定积分,解,令,例10 计算定积分,4.2 微积分基本定理(79),30,解,4.2 微积分基本定理(79),31,例11 计算定积分,解,原式,4.2 微积分基本定理(79),32,例12 计算定积分,解,令,原式,4.2 微积分基本定理(79),33,证,4.2 微积分基本定理(79),34,4.2 微积分基本定理(79),35,奇函数,例13 计算定积分,解,原式,偶函数,单位圆的面积,4.2 微积分基本定理(79),36,证,（1）设,4.2 微积分
5、基本定理(79),37,（2）设,4.2 微积分基本定理(79),38,4.2 微积分基本定理(79),39,解,4.2 微积分基本定理(79),40,几个特殊积分、定积分的几个等式.,定积分的换元法:,4.2.5 小结与思考题3,4.2 微积分基本定理(79),41,思考题,解,令,4.2 微积分基本定理(79),42,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,4.2 微积分基本定理(79),43,课堂练习题,4.2 微积分基本定理(79),44,4.2 微积分基本定理(79),45,课堂练习题答案,4.2 微积分基本定理(79),46,推导,2、分部积分法,4.2 微积分基本定理(7
6、9),47,例15 计算定积分,解,令,则,4.2 微积分基本定理(79),48,例16 计算定积分,解,4.2 微积分基本定理(79),49,例17 计算定积分,解,4.2 微积分基本定理(79),50,解,4.2 微积分基本定理(79),51,4.2 微积分基本定理(79),52,证,设,4.2 微积分基本定理(79),53,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,4.2 微积分基本定理(79),54,于是,4.2 微积分基本定理(79),55,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,4.2.5 小结与思考题3,4.2 微积分基本定理(79),56,思考题,4.
7、2 微积分基本定理(79),57,思考题解答,4.2 微积分基本定理(79),58,课堂练习题,4.2 微积分基本定理(79),59,课堂练习题答案,4.2 微积分基本定理(79),60,*4.2.4 定积分的近似计算法,1、定积分近似计算的理由：,(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；,(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；,(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难,4.2 微积分基本定理(79),61,2、解决办法：,4、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法,3、研究思路：,建立定积分的近似计算方法,4.2 微积分基本定理(79),62,一、矩形法(平均
8、值法),则有,4.2 微积分基本定理(79),63,则有,（1）、（2）称为矩形法（平均值法）公式,4.2 微积分基本定理(79),64,二、梯形法,梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图,4.2 微积分基本定理(79),65,解,相应的函数值为,列表:,4.2 微积分基本定理(79),66,利用矩形法公式（），得,利用矩形法公式（），得,4.2 微积分基本定理(79),67,利用梯形法公式（），得,实际上是前面两值的平均值，,4.2 微积分基本定理(79),68,三、抛物线法,4.2 微积分基本定理(79),69,因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,4.
9、2 微积分基本定理(79),70,4.2 微积分基本定理(79),71,于是所求面积为,4.2 微积分基本定理(79),72,4.2 微积分基本定理(79),73,例20,对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 .,4.2 微积分基本定理(79),74,4.2 微积分基本定理(79),75,解,根据抛物线公式(4)，得,4.2 微积分基本定理(79),76,求定积分近似值的方法：,矩形法、梯形法、抛物线法,注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好,4.2.5 小结与思考题4,4.2 微积分基本定理(79),77,课堂练习题,4.2 微积分基本定理(79),78,课堂练习题答案,4.2 微积分基本定理(79),79,Newton, Isaac (1642-1727) England,Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) German,