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1、南京市 20172018 学年度第一学期期中考试 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.已知集合 A2，3，5，Bx|2x4，则 AB_.2.若复数 z 满足 z(1i)2i，其中 i 是虚数单位，则复数 z_.3.从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为奇数的概率是_.4.某中学共有学生 2000 人，其中高一年级共有学生 650 人，高二男生有 370 人现在全校学生中随机抽取 1 名，则该校高三学生共有_人.5.下面是一个算法的伪代码如果输出的 y 值是 30，那么输入的 x 值是_.6.已知等差数列an的
2、前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6的值为_ 7.若曲线yx1x1在点(3，2)处的切线与直线axy30垂直，则实数a的值为_.8.已知函数 f(x)2sin2x4，xR，若 f(x)在区间8，34上的最大值和最小值分别为 a，b，则 ab 的值为_ 9.已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，当 x0，2时，f(x)2x，那么 f(6)的值为_.10.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc14a，2sinB3sinC，则 cosA 的值为_.11.已知 ab0，ab1，则4ab12b的最小值等于_.12.在ABC 中，已知 AB4，AC
3、 10，BC 2，M 为边 AB 的中点，P 是ABC 内(包括边界)一点，则APCM的最小值是_.13.设函数 yx3x2，x1)的左、右焦点分别为 F1，F2，A，B 为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆 C 的离心率为 e.(1)若点 A 的坐标为2e，12，求椭圆 C 的方程；(2)记 AF1的中点为 M，BF1的中点为 N，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上.证明AF1AF2为定值；设直线 AB 的斜率为 k，若 k33，求 e 的取值范围.19.(本小题满分 16 分)设函数 f(x)x3ax，aR，g(x)xex，h(x)f（x），f（x）g（x），g（x），f（x）g（x）(
4、e 为自然对数的底数)(1)当 a0 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 h(x)的最小值为1e，求实数 a 的取值范围；(3)当 h(x)g(x)时，求实数 a 的值.20.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)ax3，g(x)bx1cx2(a，b，c 是实数)且 g12g(1)f(0)(1)试求 b，c 所满足的关系式；(2)若 b0，方程 f(x)g(x)在(0，)有唯一解，求实数 a 的取值范围；(3)若 b1，集合 Ax|f(x)g(x)且 g(x)0，试求集合 A.密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线 _ 号学 _ 名姓 _ 级班 _ 校学(这是边文，请据需要手工删
5、加)南京市 20172018 学年度第一学期期中考试数学附加题 第页(共 2 页)(这是边文，请据需要手工删加)南京市 20172018 学年度第一学期期中考试 数学附加题 21.【限选题】共 2 小题，每小题 10 分，共计 20 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 B.选修 42：矩阵与变换 若点 A(2，1)在矩阵 M1ab1对应变换的作用下得到点 B(4，5)，求矩阵 M 的逆矩阵 M1.C.选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程是x22t，y22t4 2(t 是参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建
6、立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2cos4.由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AA1AC4.(1)求二面角 A1BC1B1的正弦值；(2)在线段 BC1上是否存在点 D，使得 ADA1B？若存在，求出BDBC1的值；若不存在，请说明理由 23.(本小题满分 10 分)如图，已知正六棱锥 PABCDEF 的底面边长为 2，3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得三角形的面积.
7、(1)求概率 P(X 3)的值；(2)求 X 的分布.密封线(这是边文，请据需要手工删加)南京市 20172018 学年度第一学期期中考试数学参考答案 第页(共 4 页)(这是边文，请据需要手工删加)南京市 20172018 学年度第一学期期中考试 数学参考答案1.2，32.1i3.354.6005.2 或 56.127.28.219.410.14 11.912.413.0，1e114.y2 2x 15.(1)ab(sinx1，3cosx1)因为(ab)c，所以 sinx1 3cosx1，则 sinx 3cosx2，可得 212sinx32cosx 2，故 sinx31.因 为 x0，所 以
8、x 33，23，故 x32，解得 x56.(2)因为 ab12，所以sinx 3cosx12，即 sinx 3cosx12，可得 212sinx32cosx 12，故 sinx314.因为x6x32，所以 sinx6sin2x3cosx3.由x0，可 得x 33，23，又 sinx3140.因为 sin2x3cos2x31，所以 cosx31142154.16.(1)如图，连结 OE.由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点 因为 PD平面 ACE，PD平面 PBD，平面 PBD平面 ACEOE，所以 PDOE.在PBD 中，PDDE，O 为 BD 为中点，所以 E 为 PB 的中点(2)在四
9、棱锥 PABCD 中，AB 2PC，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC 2AB2OC，则 AB 2OC，所以 PCOC.在CPO 中，PCOC，G 为 PO 的中点，所以 CGPO.因为 PC底面 ABCD，BD底面ABCD，所以 PCBD.因为四边形 ABCD 是正方形，所以ACBD，因为 AC，PC平面 PAC，ACPCC，所以 BD平面 PAC，因为 CG平面 PAC，所以 BDCG.因为 PO，BD平面 PBD，POBDO，所以 CG平面 PBD.17.(1)由题意可知 A1B1CDx，CA1DB1h，则 AC12(ABx)12(30 x)，hACtan6032(30 x)，故
10、 V(x)Sh634x232(30 x)94x2(30 x)，0 x0；当 x(20，30)时，V(x)0，所以 V(x)在(0，20)单调递增，在(20，30)单调递减，所以当且仅当 x20 时，V(x)取得最大值 9000.答：当容器的底面边长为 20cm 时，容器的容积最大，最大容积为 9000cm3.18.(1)由题意知4e2a2141，即a21a4316，所以 3a416a2160，解得 a24 或a243.所以椭圆 C 的方程为x24y21 或3x24y21.(2)设 F2(c，0)，A(x1，y1)，则 F1(c，0)，B(x1，y1)，故 Mx1c2，y12，Ncx12，y12
11、.由题意，得OMON，得 x21y21c2，AF1AF2(cx1，y1)(cx1，y1)x21y21c20(定值)由题意y1kx1，x21a2y211，x21y21c2得到 k2(a42a2)1.因为 k33，所以 a42a21k2(0，3，即 0a42a23，解得 20 时，令 f(x)0，得 x1a3，x2a3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(，a3)a3(a3，a3)a3(a3，)f(x)0 0 f(x)极大值 极小值 所以当 xa3时，f(x)取极大值 f(a3)2a3a32a 3a9，当 xa3时，f(x)取极小值 fa32a3a32a 3a9.(2)g(x)(
12、x1)ex.当 x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)ln2，p(x)0；当 x0，所以 p(x)max2ln220 时，问题转化为 ap(x)在 R上恒成立；当 x0 时，不等式恒成立，则 aR；当 x0 时，p(x)p(0)1，所以 a1；当 xp(0)1，所以 a1.综上所述，a1.20.(1)由 g12g(1)f(0)，得(2b4c)(bc)3，故 b、c 所满足的关系式为 bc10.(2)方法一：由 b0，bc10，可得 c1.方程 f(x)g(x)，即 ax3x2，可转化为 ax33x210 在(0，)上有唯一解 令 h(x)ax33x21，则 h(x)3ax26x3x(ax
13、2)当 a0 时，h(x)0，h(1)a20 时，令 h(x)0，得 x0 或 x2a，所以 h(x)在0，2a上单调递减，在(2a，)上单调递增，所以 h(x)minh2a14a2.若 h2a0，即 a2，则当 x(0，)时，h(x)0，当且仅当 x2a时，h(x)0，即 h(x)在(0，)上有唯一的零点；若 h2a0，则当 x(0，)时，h(x)0恒成立，即 h(x)在(0，)上不存在零点；若 h2a0，h3a10，所以 h(x)在0，2a和2a，3a内各有一个零点，即函数 h(x)的零点不唯一 综上所述，实数 a 的取值范围是(，0)2 方法二：由方法一可知 a3x1x3.令 x1t，则
14、由题意可得 a3tt3在(0，)上有唯一解 令 h(t)3tt3(t0)，则由 h(t)33t20，可得 t1，当 0t0，可知 h(t)在(0，1)上是单调增函数；当 t1 时，由 h(t)0，可知 h(t)是在(1，)上是单调减函数，故当 t1 时，h(t)取得最大值 2；当 0th(0)0，所以 f(x)g(x)在(0，1)无解；当 t1 时，因为 h(3)0，所以当 t 3时，h(t)g(x)且 g(x)1x且x0，即ax23x10且x0 时，A3 94a2a，0；当 a0 时，A13，0；当 a94时，A(，0)；当94a0 时，A(，因此 P(X 3)635，P(X2)935，P(X 6)635，P(X2 3)1235，P(X3 3)235.所以随机变量 X 的概率分布列为 X 3 2 6 2 3 3 3 P 635 935 635 1235 235