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1、密封线 _ 号学 _ 名姓 _ 级班 _ 校学(这是边文，请据需要手工删加)苏州市 20172018 学年度第一学期期中考试数学 第页(共 6 页)(这是边文，请据需要手工删加)苏州市 20172018 学年度第一学期期中考试 数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1.已知集合 U1，2，3，4，5，A1，3，B2，3，则 A(UB)_ 2.函数 y1ln（x1）的定义域为_ 3.设命题 p：x4；命题 q：x25x40，那么 p 是 q 的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)4.已知幂函数 yx2mm2(mN*)在(0，)是增函数
2、，则实数 m 的值是_ 5.已知曲线 f(x)ax3lnx 在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则实数 a 的取值是_ 6.已知在等比数列an中，a32，a4a616，则a7a9a3a5_ 7.函数 ysin(2x)00 的解集是_ 9.已知 tan42，则 cos2的值是_ 10.若函数 f(x)x8，x2，logax5，x2(a0 且 a1)的值域为6，)，则实数 a 的取值范围是_ 11.已知数列an，bn满足 a112，anbn1，bn11an1(nN*)，则 b1b2b2017_ 12.设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，D 为 AB 的中点，若 bacosC
3、csinA且 CD 2，则ABC 面积的最大值是_ 13.已知函数 f(x)sinx6，若对任意的实数 56，2，都存在唯一的实数0，m，使 f()f()0，则实数 m 的最小值是_ 14.已知函数 f(x)lnx，x0，2x1，x0，若直线 yax 与 yf(x)交于三个不同的点 A(m，f(m)，B(n，f(n)，C(t，f(t)(其中 mn0，b0)的图象与 x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)在0，4上的最大值和最小值 16.(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 sinBsinCm
4、sinA(mR)，且 a24bc0.(1)当 a2，m54时，求 b，c 的值；(2)若角 A 为锐角，求实数 m 的取值范围 17.(本小题满分 15 分)已知数列an的前 n 项和是 Sn，且满足 a11，Sn13Sn1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)在数列bn中，b13，bn1bnan1an(nN*)，若不等式 anbnn2对 nN*有解，求实数 的取值范围 18.(本小题满分 15 分)如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB 为 2 米，梯形的高为 1 米，CD 为 3 米，上部CmD是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点MN 是由电脑控制可以
5、上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和 CD 平行当 MN位于 CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 MNGH(阴影部分均不通风)(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x0 x52且x1 米，试将通风窗的通风面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数 yS(x)；(2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 S 取得最大值？19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)lnx，g(x)x2xm.(1)求过点 P(0，1)的 f(x)的切线方程；(2)当 m0 时，求函数 F(x)f(x)g(x)在(0，a上的最大值；(3)证明：当 m3 时，
6、不等式 f(x)g(x)y，求证：2x1x22xyy22y3.【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.(本小题满分 10 分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请 10 位客人做一个游戏第一轮游戏中，主持人将标有数字 1，2，10 的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字 6，7，10 的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入 1，2，5 五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字 3，4，5 的客人留下；第三轮放入 1，2，3 三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字 2，3 的客人留下；同样第四
7、轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物已知客人甲参加了该游戏(1)求甲拿到礼物的概率；(2)设 表示甲参加游戏的轮数，求 的概率分布列和数学期望 E()23.(本小题满分 10 分)(1)若不等式(x1)ln(x1)ax 对任意 x0，)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)设 nN*，试比较12131n1与 ln(n1)的大小，并证明你的结论 密封线(这是边文，请据需要手工删加)苏州市 20172018 学年度第一学期期中考试数学参考答案 第页(共 4 页)(这是边文，请据需要手工删加)苏州市 20172018 学年度第一学期期中考试 数学参考答案1.12.(1，2)(2，)3.充分不
8、必要 4.15.136.47.38.(2，0)(1，2)9.4510.(1，211.12 01812.21 13.214.1，e1e 15.(1)因为 f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为2，所以 f(x)的周期为2，所以22|a|2且 a0，所以 a2，此时 f(x)22sin4x412b.因为 f(x)的图象与 x 轴相切，所以b1222且 b0，所以 b2212.(2)由(1)可得 f(x)22sin(4x4)22.因为 x0，4，所以 4x44，54，所以当 4x454，即 x4时，f(x)有最大值为212；当 4x42，即 x16时，f(x)有最小值为 0.16.(1)由题意得
9、bcma，a24bc0.当 a2，m54时，bc52，bc1，解得b2，c12或b12，c2.(2)cosAb2c2a22bc（bc）22bca22bc（ma）2a22a2a22 2m23.因为 A 为锐角，所以 cosA2m23(0，1)，所以32m20，所以62m 2.17.解：(1)因为 Sn13Sn1(nN*)，所以 Sn3Sn11(nN*，n2)，所以 an13an(nN*，n2)又当 n1 时，由 S23S11 得 a23符合 a23a1，所以 an13an(nN*)，所以数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an3n1(nN*)(2)因为 bn1bnan1an3(
10、nN*)，所以bn是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 bn33(n1)3n(nN*)，所以 anbnn2，即n23n3n1对 nN*有解 设 f(n)n23n3n1(nN*)因为f(n1)f(n)（n1）23（n1）3nn23n3n12（n24n1）3n，所以当 n4 时，f(n1)f(n)；当 nf(n)，所以 f(1)f(2)f(3)f(5)f(6)，所以 f(n)maxf(4)427，所以 427.18.(1)当 0 x1 时，过点 A 作 AKCD，垂足 K，如图 1，则 AK1，DKCDAB212，HM1x.由AKDKMHDH2，得 DHHM21x2，所以 HG32DH2x
11、，所以 S(x)HMHG(1x)(2x)x2x2；当 1x52时，过点 E 作 ETMN，垂足为 T，连结 EN，如图 2，则 ETx1，TNMN2322（x1）294（x1）2，所以 MN294（x1）2，所以S(x)MNET294（x1）2(x1)综上所述，S(x)x2x2，0 x1，2（x1）94（x1）2，1x52.图 1 图 2(2)当 0 x1 时，S(x)x2x2x12294在0，1)上单调递减，所以 S(x)maxS(0)2；当 1x2，所以 S(x)的最大值为94.答：当 MN 与 AB 之间的距离为3 241 米时，通风窗的通风面积 S 取得最大值 19.(1)设切点坐标为
12、(x0，lnx0)，则切线方程为 ylnx01x0(xx0)，将点 P(0，1)代入上式，得 lnx00，即 x01，所以切线方程为 yx1.(2)当 m0 时，F(x)lnxx2x，x(0，)，所以 F(x)（2x1）（x1）x，x(0，)，所以当 0 x0；当 x1 时，F(x)0，所以 F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以当 01 时，F(x)的最大值为 F(1)0.(3)f(x)g(x)(x2)exlnxx.设 h(x)(x2)exlnxx，x12，1，要证 m3 时 mh(x)对任意 x12，1 均成立，只要证 h(x)max3.下证此结论成立：因为 h(x)(
13、x1)ex1x，所以当12x1 时，x10，所以 u(x)在12，1 上单调递增 因为 u(x)在区间12，1 上的图象是一条不间断的曲线，且 u12 e20，所以x012，1，使得 u(x0)0，即ex01x0，lnx0 x0，所以当 x12，x0时，u(x)0；当 x(x0，1)时，u(x)0，h(x)0，所以函数 h(x)在12，x0上单调递增，在x0，1上单调递减，所以 h(x)maxh(x0)(x02)ex0lnx0 x0(x22)1x02x012x02x0.因为 y12x2x 在 x12，1 上单调递增，所以 h(x0)12x02x01223，即 h(x)max3，所以当 m3 时
14、，不等式 f(x)g(x)0，所以 anan4a2n2(nN*)，所以an的奇数项和偶数项均构成等比数列 设an的奇数项和偶数项的公比分别为q1，q2，则 a2na2qn122qn12，a2n1a1qn11qn11.因为an3an2an1an，所以a4a3a2a122q2q1，即 q1q2.设 q1q2q，则 a2npa2n1q(a2n2pa2n3)，且 a2npa2n10 恒成立，所以数列a2npa2n1是首项为 2p，公比为 q 的等比数列(3)由(2)知 a2n2qn1，a2n1qn1，且S11，S23，S33q，S433q.因为数列Snt为等比数列，所以（S2t）2（S1t）（S3t）
15、，（S3t）2（S2t）（S4t），即（3t）2（1t）（3qt），（3qt）2（3t）（33qt），P(2)122515，P(3)123513110，P(4)12352315，随机变量 的概率分布列为 1 2 3 4 P 12 15 110 15 所以 E()11221531104152.23.(1)原问题等价于 ln(x1)axx10 对任意 x0，)恒成立，令 g(x)ln(x1)axx1，则 g(x)x1a（x1）2.当 a1 时，g(x)x1a（x1）20 恒成立，所以 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x)g(0)0 恒成立；当 a1 时，令 g(x)0，则 xa10，所以 g
16、(x)在(0，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，所以 g(a1)0 使得g(x)xx1(x(0，)，令 x1n(nN*)，上式即为 lnn1n1n1，即 ln(n1)lnn1n1，所以ln2ln112，ln3ln213，ln（n1）lnn1n1，上述各式相加可得12131n1ln(n1)(nN*)方法二：注意到12ln2，1213ln3，故猜想12131n1ln(n1)(nN*)，下面用数学归纳法证明该猜想成立 证明：当 n1 时，12ln2，成立；假设当 nk 时结论成立，即12131k1xx1(x(0，)，令 x1k1(kN*)，则1k2lnk2k1，那么，当 nk1 时，12131k11k2ln(k1)1k2ln(k1)lnk2k1ln(k2)，也成立 由可知12131n1ln(n1)