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1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。第六讲 数项级数的敛散性判别法1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理比较原理I：设u，vnn1n1n都是正项级数，存在c 0，使（i）若vn1n收敛，则un1n也收敛；（ii）若un1n发散，则vn1n也发散比较原理比较原理II（极限形式）（极限形式）设u，vnn1n1n均为正项级数，若则u、vnn1n1n同敛散根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法下面用比较判别法
2、推出更宽泛的柯西柯西判别法定理定理 1 1（柯西判别法（柯西判别法 1 1）设un1n为正项级数，N时）有nun q 1（q为常数）（i）若从某一项起（即存在N，当n 则un1n收敛；（ii）若从某项起，nun1，则un发散n1证证（i）若当n N时，有nun q 1，即un qn，而级数qn1n收敛，根据比较原理I知级数un1n也收敛（ii）若从某项起，n发散定理证毕un1，则un1，故limun 0，由级数收敛的必要条件知unnn1定理定理 2 2（柯西判别法（柯西判别法 2 2）设un1n为正项级数，limnnun r，则：（i）当r 1时，unn11word 格式支持编辑，如有帮助欢迎
3、下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。收敛；（ii）当r（iii）当r 1时，法则失效1（或r）时，un发散；n1例例 1 1判别下列正项级数的敛散性123(1)()2()3357nn()2n1；(2)n en=1nn(3)nxn（为任何实数，x 0）n=1解解(1)(1)因为r limnunn112，所以原级数收敛(2)因为rn limnun limnnen，所以原级数发散(3)(3)对任意，r limnun x当0 x 1时收敛；当x 1时发散；当x 1时，此时级数是p级数，要对p 进行讨论，当时，即1，即 1时收敛；当1 1时发散1n
4、 n 2(1)的敛散性nn13例例 2 2 判别级数解解由于不存在，故应用定理 2 无法判别级数的敛散性又因为由定理 1（柯西判别法 1）知原级数收敛1n例例 3 3（98 考研）设正项数列an单调减少，且(1)an发散，试问级数a 1n1n1nn是否收敛？并说明理由1解解答案：级数a 1n1nn收敛，证明如下：由于an单调减少且an 0,根据单调有界准则知极限liman存在设liman a,则nna 0如果a 0,则由莱布尼兹判别法知(1)ann1n收敛，这与(1)ann1n发散矛盾，故a 0再由an单调减少，故an a 0,取q 11，a11根据柯西判别法 1 知a 1n1nn收敛2wor
5、d 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法广义柯西判别法定理定理 3 3（广义柯西判别法（广义柯西判别法 1 1）设un1n为正项级数，如果它的通项un的anba 0次根的极限等于r，即limanbun r则当r 1时，级数收敛；当r 1时，n级数发散；当r 1级数可能收敛也可能发散证证因为limanbun r，即对任给正数，存在正整数N1，当n N1时，有nr anbunr（1）对于任给常数b，总存在N2，当有n N2时有anb 0（2）取N maxN1,N2，
6、当n N时，式（1）和式（2）同时成立当r 1时，取足够小，使r q 1由上述讨论，存在N，当n N时，式（1）anb和式（2）同时成立，那么有un q，正项级数qn1anb qb(qn1an)收敛（因为其为等比级数且公比0 q 1），由比较审敛法知，级数nun1n收敛当r 1时，取足够小，使r q 1，由上面的讨论，存在N，当n N时，式（1）anb和式（2）同时成立，则un q，正项级数qn1anb qb(qn1an)发散，由比较审敛法知，级数un1n发散当r 1时，取un11anbu lima 0,b，那么，对任何为常数，有lim1 而nnnnp/(anb)np11发散，收敛说明此时级数
7、可能收敛也可能发散定理证毕2n1nn1n1例例 4判别级数n13n1解解因为lim2n1un limn2n1的收敛性1 0 1,由广义柯西判别法 1 知，级数n3n11n13n12n1收敛3word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。注注例 4 也可用柯西判别法 2(定理 2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1 要简单得多定理定理 4 4（广义柯西判别法 2）设un1n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于m1 的正整数）次根的极限等于r，即limnun r则当r 1时，级数收敛；当r 1时，n级数发散
8、；当r 1时，级数可能收敛也可能发散证证因为limnun r，即对任给的正数，存在正整数N，当n N时有mn当r 1时，取足够小，使r q 1由上面的讨论，存在N，当n N时，有un q 因为qnmnmn又正项级数q收敛（因q(0,1)），由比较审敛法知qq，nnmn1n1收敛，所以un1n收敛当r 1时，取足够小，使r q 1由上面的讨论，存在N，当n N时，有nmun q1，那么limun 0，所以级数un发散nn1当r 1时，同样取un1p 0，那么pn这说明r 1时，级数可能收敛也可能发散定理证毕注注广义柯西判别法是柯西判别法2(定理 2)的推广1事实上，在广义柯西判别法1 中，取a
9、1,b 0，在广义柯西判别法 2 中，取m 1便得定理 2（柯西判别法 2）例例 5 5判断级数n的收敛性n12n12n2解解因为limnun limnnn收敛2n2n1n2 limn11，由广义柯西判别法2 知原级数n2n12)，若定理定理 5 5（广义柯西判别法广义柯西判别法 3 3）设wn unvn,un 0,vn 0,(n 1,2,vn v则当uv 1时，级数wn收敛；当uv 1时，级数wn发limnun u，limnvnn1n1n1散2为证明定理 5，需要一些预备知识：StolzStolz 定理定理设an、bn为两个数列，数列bn在某顶之后单调递增,且4word 格式支持编辑，如有帮
10、助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。limbn，若limnanan1a l，（或），则limn l（或）nb bnbnn1nn命题命题 1 1设数列xn若limxnl，则lim证证令an x1 x2命题证毕命题命题 2 2 设an 0，(n 1,2,x1 x2nn xnl limxn。n xn，bn n，由 Stolz 定理，)liman a，则limna1a2nnan a limann证证由an 0，考虑数列lnan，由对数函数的连续性易知limln an lna再n由命题 1 知根据指数函数的连续性便得a 0或a 时，结论仍成立
11、，这里证明略去命题命题 3 3设vn 0，limvnv v，则limnvn v limnnvnnvn1n1vn(n 2,3)，由命题 2vn1证证令a1 v1，an命题证毕证明定理证明定理 5 5由命题 3 知，再用柯西判敛法(定理 2)便得结论定理证毕显然，定理 2(柯西判敛法 2)是广义柯西判别法 3 当vn1时的特例例例 6 6 判定级数 n1的敛散性.nnn12n1n2n!n2解解设unn!n1，则v nnn2n1n2由于en!n1111，根据广义柯西判别法 3 知，级数收敛nn2e2n12n12n n n3 xn1例例 7 7 判定2x 0的敛散性nn 3n41 xn1 n2n3 x
12、n1解解设un2，则,vnn1 xn 3n42n n31，limnun lim2nnn 3n4n5word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。n2n3 xn1所以，当0 x 1时，级数2收敛当x 1时，由于nn 3n41 xn1nlimnunlimnvn1，nvn1n广义柯西判别法 3 失效然而x 1时 n2n3 xn1由级数收敛的必要条件知，当x 1时级数2发散nn 3n41 xn12 达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔达朗贝尔判别法定理定理 6 6（达朗贝尔判别法（达朗贝尔判别法 1
13、1）设un1n为正项级数,un1（i）若从某项起(N,n N)，有 q 1，则un收敛；unn1un1（ii）若从某项起(N,n N)，有1，则un发散unn1证明证明（i）由n N时，有un1 q 1，从而un，uNk收敛uN1 quN，uN2 quN1 q2uN，uN3uNq3uNqk,由于uk1Nqk收敛，由比较原理知uk1Nk收敛，故un1n（ii）若存在N，当n N时，有un11，则un1 un，故limun 0，nun由级数收敛的必要条件知un1n发散定理证毕un1定理定理 7 7（达朗贝尔判别法（达朗贝尔判别法 2 2）设lim r，则（i）若r 1，则unnun1n收敛；（ii
14、）若r，则un发散；（iii）若r 1，敛散性不能确定这1（或r）n1正是高等数学中的达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法例例 8 8 判别下列级数的敛散性6word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。n!22223(1)n；(2)123n1n2nn；(3)n1nns(s 0,0)n!un11解解（1）因为r lim1，所以级数n收敛nuen1nn（2）因为r limun1 2 1，所以原级数发散nunun1n1ns lim当01时，级数收敛（3）对任意S 0，r limnun(n1)snn(s 0)；当1时，级数发散
15、；当1时原级数为S 1时级数收敛，当S 1时级数发散1sn1n的敛散性要进一步判定 当(n1)!n例例 9 9 判别级数的敛散性4!(2n)!n12!解解因为11111及lim1故存在当时，有N,n N,1从而，当n Nnn3e2n32(n1)!un11根据定理 6，可知级数时，收敛un24!(2n)!n12!nnn下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法广义达朗贝尔判别法定理定理 8 8（广义达朗贝尔判别法）（广义达朗贝尔判别法）设un1n为正项级数，k是某正整数，（i）如果对一切n，有unk q 1，则级数收敛；un（ii）如果unk1，则级数发散ununk q，则unk
16、 qun，从而un证证（i）由于其中m是任意正整数，可见，对i 1,2,分和序列,k，都有limumki 0考虑级数的部m即S(m1)k有上界，从而lim S(m1)k存在，设lim S(m1)k S注意到mm7word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。故lim Smk1 lim Smk2mm即limSn S，所以un收 lim Smk(k1)lim Smkk S，mmnn1敛若unk1成立，则unk un，从而umk1 u(m1)k1 u1 0，故limun 0，所以级nun数发散定理证毕例例 1010 判
17、别级数111122232311nn23的收敛性解解 取k 2，由于根据定理 8 知该级数收敛定定 理理 9 9（广广 义义达达 朗朗贝贝尔尔 判判 别别法法 2 2）设un1n为 正项级 数，k是某 一正整数，limunk q(或+)nun（i）如果q 1,则级数收敛；（ii）如果q 1,则级数发散证（i）如果q 1，对从而由定理 8（广义达朗贝尔判别法1）知1q 0，存在N，当n N时，有2un1n收敛如果q 1，则从某项开始，un0k un0,此时limun 0，故原级数发散n例例 1111 确定下列级数的敛散性（1）2n1n(1)n；（2）en1nn2sincosn22.n2un22(n
18、2)(1)解解（1）取k 2，由于lim limn(1)nnun2nun4e limnunn11，所以原级数收敛411，所以原级数收敛e4（2）取k 4，由于lim(n4)(n4)cos(n4)2sin22nn2sincosn22e3 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性8word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。定理定理 1010（柯西积分判别法）（柯西积分判别法）对于正项级数un1n，设un单调减少，作单调减少的连续函数f(x)(
19、f(x)0)，使un f(n)单调减少，则级数un与n1广义积分证证由1f(x)dx同时收敛，同时发散f(x)单调减少，故对xk 1,k，uk1 f(k 1)f(x)f(k)uk，nnknn所以uk1k1k2k1f(x)dx f(x)dx uk（3）1k2若广义积分1f(x)dx收敛，则对任何自然数n,由上不等式（3），有既部分数列Sn有界，故级数un1n收敛反之，若级数un1n收敛，则由不等式（3），则对任何自然数n(n 1),有n1n1f(x)dx Sn1ukuk S（4）k1k1又知f(t)0,则F(x)调有界准则知广义积分xaf(t)dt是x的单增函数，由（4）可知F(x)有上界S，根
20、据单1f(x)dx收敛定理证毕的敛散性，其中p 0为常数例例 1212 讨论级数1pn1n(lnn)解解取f(x)1,p 0 它 在3,)px(lnx)上 非 负，单 调 减 少 且 连 续 令unf(n)1.pn(lnn)当p 1时，limx3x1dt limlnln xlnln3 ,xtlnt9word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。x当p 1时，limx3111p1pdt lim(lnx)(ln3)pxt(lnt)1 p当p 1收敛，当0 p 1时发散故级数1pn1n(lnn)注注1dx,同,对于正项
21、级数考察广义积分pp1xln x(lnln x)n1n(lnn)(lnln n)样可推得当p 1收敛，当0 p 1时发散4 拉贝尔判别法与高斯判别法柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了拉贝（RaabeRaabe）以p级数1作为比较对象，得到了拉贝判别法高斯pn1n(Gauss)(Gauss)以级数1pn1n(lnn)作为比较对象，得到了高斯判别法定理定理 1111（拉贝判别法）设un1n为
22、正项级数，若有un1 1 1o(n),（5）unnn则在1时，级数un1n收敛；而在1时，级数un1n发散证略证略注注 等式（5）式其实相当于un1limn1（6）nun推论推论（拉贝判别法的极限形式）设un1n为正项级数，且极限（6）存在，则：（i）当1时，级数时，拉贝判别法失效un1n收敛；（ii）当1时，级数un1n发散；（iii）当110word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。例例 13 13 讨论级数13(2n1)(2n)n124ss当s 1,2,3时的敛散性解解对于任何s,都有u 2n1limn
23、1 lim1nun2n2n因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性下面用拉贝判别法来讨论：当s 1时，由于故当s 1时级数发散；当s 2时，由于此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性；当s 3时，由于 2n13n(12n218n7)un13n11(n)n13un(2n 2)22n 2此，当s 3时级数收敛还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法：定理定理 1212（高斯判别法）设因un1n为正项级数，若有un1111o(n),（7）unnnlnnnlnn则在1时级数un1n收敛；而在1时级数un1n发散注注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的一般说来，部分和Sn不易求得，于是级数的
24、敛散性判别法就应运而生 以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理它须用预知其敛散性的级数作比较对象 若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法这两个方法简单易行，但当极限为1 时，方法就失效了若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数拉贝选取了p级数，从而得到了以他命名的判别法 拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的可能为 1，此法仍可能失效于是又得寻求比p级数收敛得慢的级数，级数1就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别pn(lnn)n111法的用途更广沿此思路下去又会发现级数较收敛散
25、得ppnlnn(lnlnn)n(lnn)n1n1更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法如果某级数，用上述的判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy）收11word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法阿贝尔变换阿贝尔变换为了求和数S和数即aibi a1b1 a2b2.ambm，阿贝尔阿贝尔给出了一个初等变换，引进i1mm1mabi1ii amBm(ai ai1)Bii1 am
26、Bm(ai1 ai)Bii1m1（8）公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似：f(b)G(b)G(x)df(x)（9）ab其中，G(x)bg(t)dt,G(a)0如果把Bi换成G(x)，ai1 ai换成df(x)，ax换成a，则(8)式就转化为(9)式阿贝尔引理阿贝尔引理如果（i）ai(i 1,2,1,2,m)单调（增或减）的；,m)有界，即存在M 0,使Bi M;M(a1 2 am)（10）（ii）Bi(i则S abi1mii证证 利用阿贝尔变换：由于ai1，Bi M，于是有 ai是同号（an单调）m1S M amMai1 ai M(a1 2 am)i1推论推论如果ai 0,
27、(i 1,2,m)，并且a1 a2 a3 am那么S Ma1（11）下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克阿贝尔判别法及狄立克雷判别法雷判别法用它们判别形如级数的敛散性十分有效定理定理 1313（阿贝尔判别法）如果：（i）bn1n收敛，（ii）数列an单调有界，即存在正数12word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。K，使得|an|K(n 1,2,3,.)则级数证证 利用阿贝尔引理来估计和数a b收敛nnn1a b akkkn1i1nmmnibni（12）0，存在N，
28、当n N时,对任何自然数P，有由条件（i）bn1mn收敛，即对任给取为阿贝尔引理中的M,再由条件（ii），则有a bkkn1nmkai1ninib(an1 2 anm)3K，由柯西收敛原理知级数a b收敛定理证毕nnn1定理定理 1414（狄立克雷判别法）如果：（i）级数bn1n的部分和Bn有界，即存在正数M，使（ii）并设数列an单调趋向于零，则级数anbn收敛Bn M(n 1,2,3.)；n1证证 由于limann 0，故对任意0，存在N，当n N时，就有an 再由条件（i）有注意这里的 2M就是引理中的M，所以当n N时，对任何自然数 m，有由柯西收敛原理知a b收敛n nn1n注注 在
29、在狄立克雷判别法中，特取bn(1)，就是莱布尼茨判别法因此，莱布尼茨判别法是狄立克雷判别法的特殊情况unun例例 1414若级数un收敛，证级数，nn1n1nn1 un，分别取annun，都收敛n1n1证证取bn11，annn，ann，它们都是单调有界的，由阿n1贝尔判别法知它们均收敛例例 1515若数列an单调趋于零，证明：13word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。（1）级数an1nsinnx对任何x都收敛；cosnx对任何x 2k都收敛，而当x 2k时，须根据an的性（2）级数an1n质进一步判定证证
30、（1）先考虑当x 2k时，级数sinnx的部分和sinkx，由积化和差公式n1k1nsin AsinB 从而1cos(A B)cos(A B)，有2sinkx k1n22 sinx21sinx2（x 2k）由狄立克雷判别法知an1nsinnx收敛当x 2k时，级数的通项为零，级数自然收敛（2）由和差化积公式（x 2k）有2sinxcosx cos2x 2cosnx从而coskx k1n22 sinx21sinx2由狄立克雷判别法知习题习题选择题（1）设0 anan1ncosnx收敛1(n 1,2,)，则下列级数中肯定收敛的是（）n（2）设un(1)nln11，则级数（）n（3）下列各选项正确的
31、是（）（4）若级数an1n收敛，则级数（）14word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。用比较判别法判别下列级数的敛散性：设级数a,b,c,有annnn1n1n1n bn cn,试证an,cn,收敛时，bnn1n1n1敛4判别下列级数的敛散性：5判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛6.设f(x)在点x 0的某一邻域内具有二阶连续导数，且f(x)lim 0,证明级数x0 xn1 1 f绝对收敛n11 7 设a1 2,an1an证明：（1）liman存在；（2）级数(n 1,2,)n2an收敛8
32、若两个正项级数 an1an1n1un1n和vn1n发散，问max(u,v),min(u,v)两级数的敛散nnnnn1n1性如何？9讨论下列级数的敛散性10讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性(1)n(1);(2)n1n xsin(2nx);(3)n!n1sin nxnn111设nan收敛，n(an1nan1)收敛，证明an也收敛n112设级数答案答案1(1)D;(an1nan1)收敛，又bn是收敛的正项级数，证明anbn绝对收敛n1n1(2)C;(3)A;(4)D.2.(1)发散;(2)收敛;(3)11时收敛,时发散;(4)收敛.224.(1)收敛;(2)收敛;(3)收敛;(4)发散.5.(1)
33、条件收敛;(2)绝对收敛;(3)条件收敛;(4)条件收敛.8max(u,v)发散，min(u,v)敛散性不能确定nnnnn1n19(1)发散；(2)0时收敛,0时发散10(1)条件收敛;(2)绝对收敛;(3)条件收敛参考资料参考资料15word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。1 根值审敛法的几个推论侯亚君 高峰 高等数学研究2003.NO22 柯西根值判敛法的推广花树忠 高等数学研究2004.NO13DAlembert 判别法的一个推广徐文雄龚冬保 数学学习1994.NO216word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。