《概率与数据统计》.pdf

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1、共2页 第1页概率论 与 数理统计一、判断、填空、单选题:1.若/BC=,则事件/、B、C互不相容,()2.若随机变量X服从二点分布Bc,),则X Bc,),()3,若Z、B相互独立,P)=0.3,P臼)0,4,则 _,P(/-B)=_,4,若随机变量X,则昭X+D_,DOx)=_5,每次射击命中率为0.3,射 击 次,则“至少有一次命中”的概率为 ,6,设X的密度为/(艿)|呵寻7 0叠柑(1,则/=_,P(-1兰x 兰:)=7,设X h,D,试写出密度)=_,叉/)=_,D(X)=8,设X 9,试写出密度)=,E(x)=_,D(X).9.下列计算概率的公式中正确的是_.A.P(/B)P(/

2、)+P(B)B,PB)=P(/)P(B)C,若/B,则P(B-/)=P(B)-P(Z)D,若/B=,则P(/)+P(B)l.10.下列计算期望的公式中错误的是_。A,E(Y+3)=夕EGY)+3 B.E(刀y)=EGY)E(y)C.EGY+y)=EGY)+E(y)D.E(4)=4,11,若随机变量X、y 相互独立,则DX ,A,2DGr)+D(y)B.4DG丫)+D(y)c,2DGY)-D(D D.4DGr)-D(y).12,同时抛掷3枚硬币,则恰好两枚正面向上的概率为 ,A.0.5 B,0.25 C,0.125 D.0,375.13,若Xl、X2、X刀是总体X B,)的样本,则颀,x 冫 _

3、l=1,若X1、X2、X是总体X(,2)的样本,则歹 ,X-X-喃 s 喃 15,设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为O,4,则X2的数学期望E(X2)=_.共2页 第2页X-1l0乙0.20,5二、计算下列各题:1,已知随机变量X的分布列为求:(1)求;(2)z=X2+1的分布列;(3)E(X),D(X),E(z).2,设随机变 量X自勺 密度 为 o)=首j r,艿l 求:(1)系数/;(2)X落在1,D内的概 率:(3)E(X),D(X).3.三人独立地完成 同一个 实验,他们 能完成这个实验 的概率分别为:、:、:,求实验被完成的概率,4.有甲、乙两袋,甲袋中

4、有8个白球和4个黑球;乙袋中有3个白球和5个黑球。由甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中取出一球,求取得 白球的概率。5.某批产品 长度X 60,0,25),求产品 长度在49.5c P9c 和50,5c P99之间的 概率.6.设随机变量X服从正态分布(,2),且方程/+4+x=0无实根 的概率为:,求的值,的图象,是E(X)啊 川刁 J 酣 /栏口 切耻泅 求:玎5_6 D一一 ,朋 邮 的 x R 旦里 /旦里 件变 数 变 事机 系 机 :随 )随 明设 0 设 证 陆叫 第四章第七章 小结一、随机变量的表示法:二、随机变量的分布:1.离散型:分布列及性质。2.连续型:分布密度、分布函数

5、及性质。3.二维随机变量的分布:4.随机变量函数的分布:设y=灭x),贝刂1)x 是离散型,求y 的分布列;2)x 是连续型,求y 的分布密度。(分布函数法)三、正态分布的概率计算:(J眭质、应用题)四、随机变量的数学期望、方差及性质:五、常用分布表:分布名称及简略记号分布列或密度期望E(X)方差D(X)两点分布X B,)PG丫=0)=g 9 PGY=D=g二项分布X B,)PGY=C劳 g 砷(庀=0,1,2,刀)印刀 g洎松分布X P(兄)叉X=告尸12,D兄兄均匀分布X 已1曰,圳曰【苈兰乙其它曰+D2(3-曰)212指数分布X(龙)纟兄 0t豸艿0艿01兄1一正态分布X(,2)田(丌)

6、=、孑 c 考姜芒/rC2共 14 页 第1 页例1 一批产品共10件,其中7件是正品,每次取一件。求直到取得正品为止所需次数X的分布列。(1)不返回抽样;(2)返回抽样,例4 设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在,称X+=据簧詈罟为X的标准化随机变量,证明:E(X衤)0,D(X艹)=1.例5 某批产品 长度X 60,0,25),求产品 长度在49.5c r,F和50,5c J,9之间的 概率。例6 通过半径为R的圆周上的一点,任意作该圆的弦,求这些弦的平均长度。例7 每发炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹命中5发的概率。(三种解法)解 设X表示命中飞机的炮弹数,则X B6

7、00,0,01),所以,印=5,栌石g 2.2乃,(1)用二项分布计算:PGY=5)=C竞00.0150,99495=0.17635,(2)用泊松分布计算:兄叩=5,则X近似 P6)。查表得P(X5)0.175467,(3)用正态分布计算:印=592印g 5,则X近似 6,由拉普拉斯局部极限定理,得叉瀹亻 褚)=圭缶低 珐鸱例8 若一大批产品的次品率为0,01,求任取(D400件时次品数不大于5件的概率;(2)4000件时次品数不大于50件的概率,正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布,但是(1)泊松分布以刀,且 0,叩 兄为条件;(2)而正态分布只要求刀 这一个条件,一股,对于刀很大,

8、(或g)很小的二项分布(印兰,作为近似计算,洎松分布比正态分布更精确.求曰 x ,F 布醐 劫 粉伽 泖 耻旦里 DD 旦里变 丶 变删 硼 删2 D 3例 (例共14页 第2页考 研 题 举例1,已矢 口 随+J眨量X的密度/):召丬 丬,贝 刂X的分布函数F(艿),2.设随机变量X服从均值为10,均方差为0,02的 正态分布,则X落在区间p,95,10.0内的概率为 ,3,若随机变量X服从均值为2,方差为2的正态分布,且PX(0.3,则 GFD(x)6.设随机 变 量X的概 率 密 度 为/)万c+2)求 随机 变 量y=1 7的概 率 密度函数艿o)。7.设随机变量X的概率密度为/(艿)

9、=:Cs:|0亘1J万对X独立地重复观察4次,用y 表示观察值大于管的次数,求y 2的数学期望.8,若随机变量X在G,o 上服从均匀分布,则方程 艿2+光.+1=0有实根的概率为 ,9,设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(X+召9/)=,踟咖娃X的雒灭=拮尸砭H,则E)=,D=.11.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0,4,则/2的数学期望E(X2)=12.设随机变量X服从正态分布(,2),且方程 2+4+X=0无实根的概率为肝 共14页 第3页数 理 统 计第八章 统计与统计学一、前言前面,直接从随机试验入手,研究的是随机变量的概率分布及数字特征,

10、现在,需研究的随机变量的概率分布及数字特征又如何从实际工作中获得?例如,某厂生产的一批灯泡,它的使用寿命是一个随机变量,若规定使用寿命在1000小时以下的为次品,问(1)如何确定这批灯泡的次品率?(2)怎样去估计这批灯泡的平均寿命以及使用寿命的差异程度?自然地,我亻 丨会想到对这批灯泡进行抽样检验。如抽50只,检验有多少只次品,则可得次品率、平均使用寿命等等量作为这批灯泡的某些量的近似估计,但是,如何抽样才能使获得的数据更具代表性?抽多少,才比较合理.因为抽查量太大是浪费,甚至是不可能的;但太少又得不到可靠的结论.其次,从这50只灯泡中得到的数据怎样推断这一批灯泡的质量呢?总之,需要做的是:(

11、1)如何更合理、更有效地获得实验的数据-实验的设计问题,(2)如何对获得的数据进行合理的分析,从而对所关心的问题做出尽可能精确、可靠的结论-统计推断问题。二、总体与样本定义1 研究对象的全体叫总体,记成X、y 等,组成总体的每个基本单元称为个体.记成X1、X2、等.如:1,一批灯泡的使用寿命是总体,而每个灯泡的使用寿命就是个体.2.某校学生的身高是一个 总体,而每个学生的身高就是一个个体,定义2 总体中抽出若干个体组成的集合,叫样本,从某个总体X中,抽取刀个个体X1、X2、X,这刀 个个体组成了容量为刀的样本.而样本取得的一细结果冯、艿2、苈称为样本(Xl、/2、x 刀)的一个观察值,简称样本

12、值。我们的目的,就是如何由样本值来得出总体X的一些量,如X的概率分布、均值、方差等。通常要求样本满足:(1)独立性:X1、X2、X相互独立;(2)代表性:X1、X2、x 与总体X具有相同的分布,具有这样两个特点的样本称为简单随机样本.今后,我们讨论的样本一般指简单随机样本,三、统计与统计学(省略)共14页 第4页第九章 样本分布与统计量一、样本分布例1 灯泡厂从某天生产的一批60瓦灯泡中,抽取10只进行寿命检验,得数据如下:1050 1100 1080 1120 12001250 1040 1130 1300 1200贝 刂 样 本平奶9值 亓=艿1147(/J 日 寸),就可作为这批灯泡的平

13、均寿命的近似估计。1.样本分布 函数(1)将数据分组;(2)统计频数及频率(作为总体X的概率的近似估计);(3)做频率直方图(作为总体X的密度的近似估计):(4)样本分布函数(作为总体X的分布函数的近似估计);设冯、y 2、丌刀是总体X的一个样本值,将它们按大小次序排列豸i 兰花兰【螨凡0O=u,xlxt1*)xr xx2n:*X,X贝 刂称为 总体X样本分布函数(经验分布函数),样本容量越大,则凡)近似得越好.2.样本数字特征设X1、X2、X为总体X的容量为刀的样本,则(D歹=;喜x 订称 为样 本 均 值;)y=砉喜 钅-乃2称为样 本 方 差.它们分别作为总体X的期望E(X)、方差D(X

14、)的近似估计.如在例1中,这批灯泡的平均寿命E(丑0歹=;喜X=亓=斋谨 丨艿l 1147(小时)共 14 页 第5 页方差D(X)=s 2=-(x i-z)2=7578.9,llD(x)=S=87.1即这批灯泡使用寿命的均方差估计为87.1小时,二、统计量及其分布1.定义 样本Xl、其它未知参数,如:歹;喜x、而XF+X2-、2.常用统计量今后经常用到的统计量为:样本均值歹=;喜X攵、样本方差s 2lI/=:竽|子劳(/z、已矢 口)、/、(1)X的分布:定理1 设总体X(,2),X1、X2、X刀的函数r(Xl,/2,X)称为统计量。它不含s 2=t x l 歹)2、x f+X2等都是统计量

15、,/Yl (、是未知参数)就不是统计量,=石 钥=:畀亏箐(已 矢 日).=若号云诂箐L K0,DX2、X刀为总体X的样本,则X(,2兰)刀(2)豸2分布:定义1 设总体X,D,且X1、X2、X刀为总体X的样本,则称统计量艿2=X 服从自 由 度为刀的艿2分布,记成艿2 艿2).=l其中,丌2(刀)分布的密度为丌00,有h m P(汐-汐|)1则称估计量9为参数汐的一致估计(估计量汐 具有相合性),共 14 页 第1o 页第十一章 区间估计上一章介绍了点估计的概念和方法,由于样本的随机性,点估计的缺点在于不易估计所求参数彐的真值,若能在一定的条件下,将所求参数J的真值估计在一个区间范围内,就是

16、区间估计问题.定义1 若存在总体参数彐的 两个估计量G(Xl,X2,2X)与乞(X1,X2,X),使 f(G兰汐岛)=1-,(一般,取=0,1、=0,05)则称,免为参数彐 的 置信度为1-的置信区间.1-也称为置信水平,一、正态总体下均值的区间估计设总体X(,2),Xl、X2、X为总体X的样本,己 吁 汨o 测y=:云秸荸 0,D跗欲的 酞可 癞定咖眦叉 勤J艹蚤蛐雕v 使硐细J妇洲刊锗|细J妇所 以 叉/-云2兰阝歹+号2)=卜 所 以,的旱信度为1-的萱信区间为P-云7+号%阀枷则=铐叫 对于给定的,由r 分布表可以查得相应的临界值/2-1),使P(|r|-/2(刀-1)1-.(亘戈j

17、P()/2(刀 1)=f)即 (丿匚一斋/2(刀 1)兰兰 丿 f-+亏亏7/2(刀1)=1-.月 千以,自 勺 量茹剖芟 为1-自 勺置 信 区 间 为歹-i:;r/2-1),歹+i:;莎/2-1).例1 若一批灯泡寿命X(,9,抽取10只进行寿命检验,得数据如下:共14页 第11页1050 1100 1080 1120 12001250 1040 1130 1300 1200试估计这批灯泡的平均寿命的置信区间(=0,05).解 因为=05,所以勿/2=1,96,(若=0,01,所以笏/2=2,58)而刀10,=2刁,歹=亓=l 147.所以 这批灯泡的 平均寿命的 置信区间为丨1147-;

18、氵;196,1147-卜;:;1961 即 1145,25兰/JK114:75在此例1中,若2未知,刀10,s=87,1,X1147,/2p)2,2622,所 以,这批 灯 泡 的平 均 寿 命 的置 信 区 间 为1147-羊箐226,1147+芊等;226需注意的是:不是正态分布下的总体X,当样本容量很大时,由中心极限定理知,X渐近地服从正态分布,故大样本情况下,对于一般总体X仍可用上述方法对E(X)进行较精确的区间估计,二、正态总体下方差的区间估计设总体X(,2),Xl、X2、X刀为总体X的样本.1,/J已知日寸,则J2=;差:(x 订-)2是2的无 偏 点估 计 量,且筝/2(刀),对

19、 于 给 定 的,查自由度 为刀的艿2分布 表,得相 应 的临界 值犭;/2(和x 豇/2(刀),使P(艿;/2(刀)【跖2 兰 犭/2(刀)1-所”骷豳 为1琶f 孟万 筘 荒 万柳 盹 则鱼 乒泞三讷,对 于 给 定 的,查自由度 为 刀-1的艿2分布 表,得相 应 的 临界值吒/2(和 跖丘/2(,使 P(艿;/2-D兰豸2兰丌廴/2(刀-1)=1-.贼跏切骷团呦黠,黠共 14 页 第12 页第十二章 假设检验上二章介绍了对总体中未知参数的估计方法,本章将介绍统计推断中另一类重要问题 假设检验.定义 通过样本(或样本值)的统计,对总体中未知分布或参数的假设进行是否相符的判断,则这一过程叫做假设检验.一、假设检验的基本原理例1 抛掷一枚硬币100次,“正面向上”出现了60次,问:这枚硬币是否均匀?解 若用“X=0”、“X=1”分别表示一次试验“正面向上”、“正面向下”,贝刂此问题就是要检验X是否服从=0,5的0-1分布,假设0:=0.5成立,则X B(100,0.。因为E(X)=印50,D(x)=25.由 唰铆,卜,衅本 值厂=2则P(|y 2)2(1-(2)=0456.(勿/2)=0.05,而腓|瘳|邛讪因此,可以接受0,即可以确定这批钢索的断裂强度为800馆/c 叨2.共 14 页 第14 页