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1、 1概率论与数理统计讲义概率论与数理统计讲义 授课教师：郭志军授课教师：郭志军（2013，8第二次修订）第二次修订）【前言】本讲义虽经两次修订，但仍系仓促成稿，错漏之处在所难免；请读者不吝赐教！（联系方式：【前言】本讲义虽经两次修订，但仍系仓促成稿，错漏之处在所难免；请读者不吝赐教！（联系方式：）讲义中所选习题系作者多年教学积累；讲义的内容几经锤炼且有别于绝大多数讲义、教材；其最大特色在于架起了初等概率论与高等概率论之间的友好“桥梁”，特别适合期待进一步深造的经管类学生！讲义后所附的阅读材料可供学有余力时选读，其所选内容会在以后的修订中有所调整或增删！）讲义中所选习题系作者多年教学积累；讲义的
2、内容几经锤炼且有别于绝大多数讲义、教材；其最大特色在于架起了初等概率论与高等概率论之间的友好“桥梁”，特别适合期待进一步深造的经管类学生！讲义后所附的阅读材料可供学有余力时选读，其所选内容会在以后的修订中有所调整或增删！第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1 概率论的发展简史概率论的发展简史 2 随机事件及其概率随机事件及其概率 3 概率模型与公理化结构概率模型与公理化结构 4 条件概率条件概率 5 事件（试验）的独立性事件（试验）的独立性 第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量 1 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 2 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字
3、特征 3 离散型随机变量的条件分布、独立性离散型随机变量的条件分布、独立性 4 条件数学期望条件数学期望 第三章第三章 连续型随机变量连续型随机变量 1 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 3 连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性 4 条件分布与条件数学期望条件分布与条件数学期望 5 随机向量的函数、随机变量的函数和随机向量的向量值随机向量的函数、随机变量的函数和随机向量的向量值 函数的分布函数的分布 6 概率不等式、协方差和相关系数、二元正态分布概率不等式、协方差和相关系数、二元正态分布 第四章第四章 极限定理极限定理
4、1（弱）大数定律（弱）大数定律 2 中心极限定理中心极限定理 第五章第五章 数理统计的基本概念（见教材）数理统计的基本概念（见教材）2第六章第六章 参数估计、假设检验参数估计、假设检验 1（参数）点估计（参数）点估计 2（参数）区间估计（参数）区间估计 3 假设检验假设检验【附录部分】【附录部分】阅读材料一关于正态分布的推导（基于极大似然方法）阅读材料一关于正态分布的推导（基于极大似然方法）阅读材料二阅读材料二RS 积分及其性质积分及其性质 阅读材料三条件期望的另一种计算方法阅读材料三条件期望的另一种计算方法 阅读材料四微分法求（联合）概率密度阅读材料四微分法求（联合）概率密度 阅读材料五期望
5、向量、协方差矩阵与多元正态分布阅读材料五期望向量、协方差矩阵与多元正态分布【参考阅读书目】【参考阅读书目】随机数学钱敏平、叶俊著，高等教育出版社；随机数学钱敏平、叶俊著，高等教育出版社；随机数学引论林元烈著，清华大学出版社；随机数学引论林元烈著，清华大学出版社；概率论杨振明著，科学出版社；概率论杨振明著，科学出版社；概率与统计陈家鼎、郑忠国著，北京大学出版社；概率与统计陈家鼎、郑忠国著，北京大学出版社；概率论基础教程 概率论基础教程Sheldon M.Ross 著（中译本：郑忠国、詹从赞译），人民邮电出版社；著（中译本：郑忠国、詹从赞译），人民邮电出版社；概率论与数理统计教程茆诗松著，高等教育
6、出版社；概率论与数理统计教程茆诗松著，高等教育出版社；应用概率统计刘嘉焜等著，科学出版社；应用概率统计刘嘉焜等著，科学出版社；测度与积分赵荣侠等著，西安电子科技大学出版社；测度与积分赵荣侠等著，西安电子科技大学出版社；【概率论部分】【概率论部分】第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1 概率论的发展简史概率论的发展简史 概率论是研究随机现象数量规律性的一门学科，它源于对机会游戏（赌博问题）的研究。概率概念的要旨只是在概率论是研究随机现象数量规律性的一门学科，它源于对机会游戏（赌博问题）的研究。概率概念的要旨只是在 17世纪中叶法国数学家帕斯卡世纪中叶法国数学家帕斯卡(Pascal)与
7、费马与费马(Fermat)的讨论中才比较明确，他们在往来的信函中讨论的讨论中才比较明确，他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题合理分配赌注问题；该问题可以简化为：；该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币，各出相同的赌注；规定：掷出正面者获胜；先胜满三局者赢取全部赌注。假定在甲胜二局乙胜一局时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。甲、乙两人同掷一枚硬币，各出相同的赌注；规定：掷出正面者获胜；先胜满三局者赢取全部赌注。假定在甲胜二局乙胜一局时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若再掷一次甲胜，甲获全部赌注，帕斯卡：若再掷一次甲胜，甲获全部赌注，两
8、种情况可能两种情况可能 3性相同，所以这两种情况平均一下；若乙胜，甲、乙平分赌注；甲应得总赌注的性相同，所以这两种情况平均一下；若乙胜，甲、乙平分赌注；甲应得总赌注的34，乙得总赌注的，乙得总赌注的14。费马：结束赌局至多还要费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：局，结果为四种等可能情况：情况情况 赌局赌局 甲甲甲甲 甲乙甲乙 乙甲乙甲 乙乙乙乙 ；前；前3种情况，甲获全部赌注，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得总赌注的种情况，甲获全部赌注，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得总赌注的34，乙得总赌注的，乙得总赌注的14。帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在
9、解答中没有明确定义概念；但是他们定义了使该赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等地提出均促进了概率论的发展。从帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念；但是他们定义了使该赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。在概率问题早期的研究
10、中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等地提出均促进了概率论的发展。从 17 世纪到世纪到 19 世纪，贝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、泊松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果以及在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义（古典概率）的局限性很快便暴露了出来，其甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到世纪，贝努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、泊
11、松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果以及在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义（古典概率）的局限性很快便暴露了出来，其甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到 20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支缺乏严格的理论基础。概率论的第一本专著是世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支缺乏严格的理论基础。概率论的第一本专著是 1713 年问世的雅各布年问世的雅各布贝努利的推测
12、术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在书中表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当试验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在书中表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当试验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，
13、贝努利被称为概率论的奠基人。为概率论首先建立严格理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（为概率论首先建立严格理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）。）。1933 年，他发表了著名的概年，他发表了著名的概 4率论的基本概念并于其中建立了概率论的公理化体系，成为概率论发展史上的一个里程碑，为其以后的迅速发展奠定了基础。率论的基本概念并于其中建立了概率论的公理化体系，成为概率论发展史上的一个里程碑，为其以后的迅速发展奠定了基础。20 世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论获得了飞速发展，其理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年
14、中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震和气象预报、质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用；其方法已被越来越多地引入经济、金融和管理科学领域，出现了诸如：统计物理学，生物统计学，随机微分方程（随机微积分或随机分析），随机信号分析，随机振动分析，随机运筹学，金融随机分析等等等交叉学科；特别是二十世纪以来，作为概率统计的一个新兴领域随机过程 20 世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论获得了飞速发展，其理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学
15、科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震和气象预报、质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用；其方法已被越来越多地引入经济、金融和管理科学领域，出现了诸如：统计物理学，生物统计学，随机微分方程（随机微积分或随机分析），随机信号分析，随机振动分析，随机运筹学，金融随机分析等等等交叉学科；特别是二十世纪以来，作为概率统计的一个新兴领域随机过程，获得了迅猛的发展，迄今，已成为经济金融等学科不可或缺的重要工具！现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。，获得了迅猛的发
16、展，迄今，已成为经济金融等学科不可或缺的重要工具！现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。2 随机事件及其概率 2 随机事件及其概率 必然（确定性）现象自然界中的现象个别随机现象随机（偶然性）现象大量随机现象 【必然现象】在一定的条件下，一定会出现（发生）的现象。【必然现象】在一定的条件下，一定会出现（发生）的现象。【随机现象】在一定的条件下，可能出现也可能不出现的现象。【随机现象】在一定的条件下，可能出现也可能不出现的现象。【注【注 1】在概率论中，“出现”与“发生”
17、同义。】在概率论中，“出现”与“发生”同义。概率论概率论主要研究大量随机现象主要研究大量随机现象（统计规律性），但是也不排斥个别随机现象（统计规律性），但是也不排斥个别随机现象。很小以致可以忽略随机性的作用基本的，如布朗运动【注【注 2】随机现象中的“不确定性”】随机现象中的“不确定性”有两层含义，一则指客观结果的不确定性；一则指主观猜测的不确定性，后者融入有两层含义，一则指客观结果的不确定性；一则指主观猜测的不确定性，后者融入 5了观察者个人的信念。了观察者个人的信念。【统计规律性】大量随机现象所具有的规律性，概率论主要研究此。【统计规律性】大量随机现象所具有的规律性，概率论主要研究此。对于
18、随机现象，即使条件完全相同，它们的出现所产生的结果也不尽相同，此之谓“现象的随机性”；那么随机性产生的原因是什么呢？对于随机现象，即使条件完全相同，它们的出现所产生的结果也不尽相同，此之谓“现象的随机性”；那么随机性产生的原因是什么呢？任何随机现象都是相互联系和相互影响的，它的行为受任何随机现象都是相互联系和相互影响的，它的行为受许多因素地支配或制约；而控制所有这些因素原则上做不许多因素地支配或制约；而控制所有这些因素原则上做不到，往往只限于决定该现象状态的最基本因素。并且除此之到，往往只限于决定该现象状态的最基本因素。并且除此之外还有许多时隐时现，转瞬即逝，无法控制的偶然因素；当外还有许多时
19、隐时现，转瞬即逝，无法控制的偶然因素；当随机现象重复出现时，这些因素产生的效应是不同的，不确随机现象重复出现时，这些因素产生的效应是不同的，不确定的，从而使得现象带有随机性定的，从而使得现象带有随机性。【试验】凡对现象的观察或为此而进行的实验。【试验】凡对现象的观察或为此而进行的实验。【决定性试验】凡对决定性（必然）现象的观察或为此而进行的实验。【决定性试验】凡对决定性（必然）现象的观察或为此而进行的实验。【随机试验】凡对随机现象的观察或为此而进行的实验，常记为【随机试验】凡对随机现象的观察或为此而进行的实验，常记为E(experiment)或或iE。【事件（试验的结局）】试验观察的结果。【事
20、件（试验的结局）】试验观察的结果。无论何种试验，都包含两个方面，即试验的条件和试验的结果。随机试验的条件有的是“人为的”，如在一定的条件下观察“射击是否命中目标”；有的是“不依人的意志为转移的”，如花粉微粒的无规则运动（布朗运动）。无论何种试验，都包含两个方面，即试验的条件和试验的结果。随机试验的条件有的是“人为的”，如在一定的条件下观察“射击是否命中目标”；有的是“不依人的意志为转移的”，如花粉微粒的无规则运动（布朗运动）。【统计规律性】大量重复试验中随机现象所呈现的固有规律。【统计规律性】大量重复试验中随机现象所呈现的固有规律。【随机事件】随机试验的结果，常简称为事件。【随机事件】随机试验
21、的结果，常简称为事件。【注【注 3】为以后研究方便，有时把有固有结果的试验看作是随机试验的极端情形；有时需把几次试验作为一个整体看成一次随机试验，如连续地掷三次骰子。同理，也将必然事件和不可能事件视作随机事件的极端情形。】为以后研究方便，有时把有固有结果的试验看作是随机试验的极端情形；有时需把几次试验作为一个整体看成一次随机试验，如连续地掷三次骰子。同理，也将必然事件和不可能事件视作随机事件的极端情形。【必然事件】每次试验中一定会出现的事件，记作【必然事件】每次试验中一定会出现的事件，记作；【不可能事件】每次试验中一定不会出现的事件，记作【不可能事件】每次试验中一定不会出现的事件，记作；【注【
22、注 4】任何随机试验都伴随有必然事件和不可能事件】任何随机试验都伴随有必然事件和不可能事件，如，如 E：对某目标进行两次射击，“至多命中目标两次”就是必然：对某目标进行两次射击，“至多命中目标两次”就是必然 6事件，“命中目标三次”就是不可能事件。常用大写英文（拉丁）字母事件，“命中目标三次”就是不可能事件。常用大写英文（拉丁）字母,A B C等或等或,ijkA B C等表示；有时也用等表示；有时也用LL、“、“LL”表示事件，花括弧中和双引号下指明事件的内容表示事件，花括弧中和双引号下指明事件的内容。随机试验的共同特点为；随机试验的共同特点为；1、在相同的条件下可重复进行；、在相同的条件下可
23、重复进行；2、每次试验的结果可能不止一个，但事先明确所有可能的结果；、每次试验的结果可能不止一个，但事先明确所有可能的结果；3、试验之前不能确定那个结果会出现。、试验之前不能确定那个结果会出现。概率论只关心在随机试验中可能会观察到的那些事件以及每次具体的试验中出现了的事件；因此，与每个随机试验相联系的有一个事件的集合，即在试验中可以观察到的事件的全体。至于这个事件集应该具备什么性质，以后将会讨论。既然数学本身从来不只研究那些只由孤立元素组成的集合，我们就有必要在上述事件集中定义事件之间的各种关系概率论只关心在随机试验中可能会观察到的那些事件以及每次具体的试验中出现了的事件；因此，与每个随机试验
24、相联系的有一个事件的集合，即在试验中可以观察到的事件的全体。至于这个事件集应该具备什么性质，以后将会讨论。既然数学本身从来不只研究那些只由孤立元素组成的集合，我们就有必要在上述事件集中定义事件之间的各种关系与运算与运算。【注【注 5】自从集合论进入了概率论，概率论才真正进入了现】自从集合论进入了概率论，概率论才真正进入了现 代化门槛。代化门槛。事件的关系事件的关系 1【包含关系】若事件【包含关系】若事件A出现必然会导致事件出现必然会导致事件B出现，则称“出现，则称“A是是B的特款”或“的特款”或“A包含于包含于B”，记作”，记作AB；易见对任意事件易见对任意事件A，这里规定，这里规定A；2【等
25、价（相等）关系】若事件【等价（相等）关系】若事件,A B满足满足AB且且BA,则称则称 事件事件,A B等价或相等；等价或相等；【注【注 6】在概率论中，对同一事件给出不同的等价表示是一】在概率论中，对同一事件给出不同的等价表示是一 种主要的技巧。种主要的技巧。事件的运算事件的运算 1【事件的并运算】设【事件的并运算】设,A B为两事件，则“为两事件，则“,A B至少一个发生”这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为至少一个发生”这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为,A B的并（事件），记作：的并（事件），记作：ABU；若若12,nA AAL均为事件，则“均
26、为事件，则“12,nA AAL至少一个发生”作为事件，称之为至少一个发生”作为事件，称之为12,nA AAL的并事件，记作：的并事件，记作：12nAAAUULU，简记为：，简记为：1niiA=U；7若若12,nA AALL为一列事件，则“为一列事件，则“12,nA AALL至少一个发生”作为事件，称之为至少一个发生”作为事件，称之为12,nA AALL的并事件，记作：的并事件，记作：12nAAAUULUUL，简记为：，简记为：1nnA=U；（可列并）；（可列并）2【事件的交运算】设【事件的交运算】设,A B为两事件，则“为两事件，则“,A B同时发生”同时发生”这种情况可能出现也可能不出现，其
27、作为一个随机事件，称之为这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为,A B的交（积）（事件），记作：的交（积）（事件），记作：ABI；若若12,nA AAL均为事件，则“均为事件，则“12,nA AAL同时发生”作为事件，称之为同时发生”作为事件，称之为12,nA AAL的交事件，记作：的交事件，记作：12nAAAIILI，简记为：，简记为：1niiA=I；若若12,nA AALL为一列事件，则“为一列事件，则“12,nA AALL同时发生”作为事件，称之为同时发生”作为事件，称之为12,nA AALL的交事件，记作：的交事件，记作：12nAAAIILIIL，简记为：，简记为：1
28、nnA=I；（可列交）；（可列交）若若,A B两事件不可能同时发生，则称两事件不可能同时发生，则称,A B互不相容（互斥），记作：互不相容（互斥），记作：AB=I；若；若12,nA AAL互不相容（两两互不相容），则又称互不相容（两两互不相容），则又称12,nA AAL的并为的并为12,nA AAL的和，记作：的和，记作：1niiA=；即有：；即有：11nniiiiAA=U；若；若12,nA AALL互不相容（两两互不相容），则又称互不相容（两两互不相容），则又称 12,nA AALL的并（可列并）为的并（可列并）为12,nA AALL的和，记作：的和，记作：1nnA=；即有：；即有：11nn
29、nnAA=U；3【事件的差运算】设【事件的差运算】设,A B为两事件，则“为两事件，则“A发生而发生而B不发生”不发生”这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为,A B的差事件，记作：的差事件，记作：(/)AB A B；利用差运算，可以将“有交并”转化为“不交并”，如：利用差运算，可以将“有交并”转化为“不交并”，如：()()()()ABABBABBBAABAA=+=+UUU；4【事件的逆（余）运算】设【事件的逆（余）运算】设A为事件，则“为事件，则“A不发生”不发生”这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之
30、为这种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之为A的逆（余）（事件），记作：的逆（余）（事件），记作：()cA A；【差积转化律】【差积转化律】ABAB=；5【事件列的极限（运算）】【事件列的极限（运算）】8规定：规定：11limnninniAA=UU，11limnninniAA=II；依此若事件列；依此若事件列,1nA n，(a)单调递增，即：单调递增，即：12nAAALL；则定义事件列的极限为；则定义事件列的极限为 11limlimnninnninAAA=UU ；(b)单调递减，即：单调递减，即：12nAAALL；则定义事件列的极限为；则定义事件列的极限为 11limlimnni
31、nnninAAA=II ；对于任意的随机事件列对于任意的随机事件列,1nA n，令，令，(1),1nkk nBA n=U,则则,1nB n 单调递减，从而有：单调递减，从而有：1limlimnkknnk nnk nBAA=UIU ；称此极限为称此极限为,1nA n 的上极限的上极限，记作：，记作：limsupnnA，即有：，即有：1limsupnknnk nAA=IU；(2),1nkk nCA n=I，则，则,1nC n 单调递增，从而有：单调递增，从而有：1limlimnkknnk nnk nCAA=IUI ；称此极限为称此极限为,1nA n 的下极限的下极限，记作：，记作：liminfnn
32、A，即有：，即有：1liminfnknnk nAA=UI；(3)若若limsupliminfnnnnAA=，则称此极限为，则称此极限为,1nA n 的极限的极限，也即：，也即：limsupliminflimnnnnnnAAA=；【注【注 7】在概率论中，所谓“定义一个事件”，即指其是否发生；因此，对于很多表述，往往有“名词性”和“动词性”两种意味；如：】在概率论中，所谓“定义一个事件”，即指其是否发生；因此，对于很多表述，往往有“名词性”和“动词性”两种意味；如：A既表示既表示A事件，又可表示事件，又可表示A事件发生；其他情形类似！事件发生；其他情形类似！【例【例 1.2.1】设】设,A B
33、C为三个事件，试表示如下事件；为三个事件，试表示如下事件；1、“、“A发生”发生”；2、“只有、“只有A发生”；发生”；3、“三事件中至少两个发生”；、“三事件中至少两个发生”；4、“三事件中不多于一个发生”；、“三事件中不多于一个发生”；【例【例 1.2.2】在某系任选一名学生，】在某系任选一名学生，A“被选学生是男生”“被选学生是男生”,B被选学生是三年级学生被选学生是三年级学生,C被选学生是运动员被选学生是运动员，1、试述、试述ABC的意义；的意义；2、在何情况下，、在何情况下，ABCC=？3、在何情况下、在何情况下,AB=？【例【例 1.2.3】若】若A表示“产品甲畅销且产品乙滞销”，
34、试述表示“产品甲畅销且产品乙滞销”，试述A；9【例【例 1.2.4】求事件列】求事件列11,1,1abna bnnn 的上的上(下下)极极 限；限；事件的概率事件的概率 几何学中，线段的长度、平面（空间）图形的面积（体积）、物理学中物质的某些量等都可用数值来度量；我们观察一个随机试验的诸事件，总发现“有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些”，而这些“可能性大小”自然也可用数值来度量，这是由于事件出现的“可能性大小”是客观存在的。这个刻划事件发生可能性大小的数值至少应几何学中，线段的长度、平面（空间）图形的面积（体积）、物理学中物质的某些量等都可用数值来度量；我们观察一个随机试验的诸
35、事件，总发现“有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些”，而这些“可能性大小”自然也可用数值来度量，这是由于事件出现的“可能性大小”是客观存在的。这个刻划事件发生可能性大小的数值至少应该满足两个要求该满足两个要求；1、它具有一定的客观性，不能随意改变，而且理论上应可通过在“相同条件下”大量的重复试验加以识别和检验；、它具有一定的客观性，不能随意改变，而且理论上应可通过在“相同条件下”大量的重复试验加以识别和检验；2、它必须符合一般常理，如：事件发生可能性大（小）的，这个值就应该大（小）些；必然事件的值最大为、它必须符合一般常理，如：事件发生可能性大（小）的，这个值就应该大（小）些；必
36、然事件的值最大为1，不可能事件的值最小为，不可能事件的值最小为0。【概率的一般（直观）定义】刻划（随机）事件发生（出现）【概率的一般（直观）定义】刻划（随机）事件发生（出现）可能性大小的数值（数量指标），又称或然率或几（机）率，它介于可能性大小的数值（数量指标），又称或然率或几（机）率，它介于0与与1之间。之间。在概率论的发展史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法；然而这些“定义的概率”都存在一定的缺陷与其称它们为概率的定义，弗如称它们为计算概率的方法在概率论的发展史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法；然而这些“定义的概
37、率”都存在一定的缺陷与其称它们为概率的定义，弗如称它们为计算概率的方法。下面我们将陆续介绍之。下面我们将陆续介绍之。以下介绍两种等可能概型（概率模型以下介绍两种等可能概型（概率模型），先考虑一种特殊的随机试验，譬如掷一枚（质地均匀）硬币，人们自然会想到硬币正反两面对称，故出现正面与反面应是一样，从而有理由认为出现正面和反面的可能性都是），先考虑一种特殊的随机试验，譬如掷一枚（质地均匀）硬币，人们自然会想到硬币正反两面对称，故出现正面与反面应是一样，从而有理由认为出现正面和反面的可能性都是0.5；在其他一些例子中，人们得出类似的结论也多是由于人们利用了研究对象的物理均衡性；在其他一些例子中，人们
38、得出类似的结论也多是由于人们利用了研究对象的物理均衡性或者几何对称性或者几何对称性。古典概型【等可能概型古典概型【等可能概型 1】古典概率：概率的古典定义（计算概率的古典方法【】古典概率：概率的古典定义（计算概率的古典方法【Laplace】）】）由于它的简单，曾是历史上最早被研究的一类概型，归由于它的简单，曾是历史上最早被研究的一类概型，归 10纳它的特点如下：如果一个随机试验的所有可能结果只有有限个，而且每个结果的出现都是等可能的，则称这个随机试验是古典概型。纳它的特点如下：如果一个随机试验的所有可能结果只有有限个，而且每个结果的出现都是等可能的，则称这个随机试验是古典概型。设有古典概型设有
39、古典概型E,以以12,n L表示它的样本空间；则对于任意的事件表示它的样本空间；则对于任意的事件A，若它恰好包含其中的，若它恰好包含其中的m个样本点，则称事件个样本点，则称事件A（发生）的（古典）概率（即在古典概型背景下计算概率的古典方法）为（发生）的（古典）概率（即在古典概型背景下计算概率的古典方法）为mn,记作：记作：()mP An=;也即在古典概型下，由古典方法计算出的事件也即在古典概型下，由古典方法计算出的事件A的（古典）概率为的（古典）概率为()AAP A=事件 所包含的样本点数（有利于 的样本点数）样本空间所包含的样本点数。【例【例 1.2.5】（错例分析）掷两枚硬币，求“出现一正
40、一反”的概率；】（错例分析）掷两枚硬币，求“出现一正一反”的概率；【例【例 1.2.6】1、从、从1,2,nL中任取两数，求中任取两数，求A两数之和为偶两数之和为偶 数数的概率；的概率；2、从、从 N 中任取两数，求中任取两数，求A“两数之和为偶数”的概率；“两数之和为偶数”的概率；【例【例 1.2.7】袋中有】袋中有a只黑球和只黑球和b只白球，将球随机一一取出，取后不放回，试球求只白球，将球随机一一取出，取后不放回，试球求A第第k（1kab+）次取出黑球）次取出黑球的概率；（四种方法）的概率；（四种方法）“古典概率”有如下性质：“古典概率”有如下性质：1【非负性】设是【非负性】设是A古典概型
41、中任一事件，则古典概型中任一事件，则()01P A；2【规范性】（又称规一性或正则性）对必然事件【规范性】（又称规一性或正则性）对必然事件，()1P=；3【有限可加性】设同一古典概型中的事件【有限可加性】设同一古典概型中的事件12,nA AAL互不相容，则互不相容，则()111nnniiiiiiPAPAP A=U;对于古典概型，“样本点出现的等可能性”是个基本假设；对于古典概型，“样本点出现的等可能性”是个基本假设；在实际问题中，往往并不知道这个假设是否满足，而只凭主观对物理均衡性质，几何对称性质来判断是不完全确切的。通常，人们认为“判断事件发生的可能性大小最可靠的办法”即是通过大量重复试验；
42、特别是当样本点不可能判定为等可能出现时尤其要采取这个方法，这便有了“统计概率”的称谓。在实际问题中，往往并不知道这个假设是否满足，而只凭主观对物理均衡性质，几何对称性质来判断是不完全确切的。通常，人们认为“判断事件发生的可能性大小最可靠的办法”即是通过大量重复试验；特别是当样本点不可能判定为等可能出现时尤其要采取这个方法，这便有了“统计概率”的称谓。统计概率计算概率的统计（频率）方法统计概率计算概率的统计（频率）方法【频数】在相同的条件下进行【频数】在相同的条件下进行n次试验，在这次试验，在这n次试验中次试验中A发发 11生的次数生的次数An，即为事件，即为事件A的频数；的频数；【频率】比值称
43、为【频率】比值称为nnA事件发生的频率，记之为事件发生的频率，记之为()nfAnnA;频率具有如下特点：频率具有如下特点：1、频率的大小能体现事件发生的可能性大小，频率大（小）频率的大小能体现事件发生的可能性大小，频率大（小）的发生的可能性应该大（小）些；的发生的可能性应该大（小）些；2、频率具有一定的随机波动性；频率具有一定的随机波动性；3、随着重复试验次数的增加，频率呈现出相对的稳定性。随着重复试验次数的增加，频率呈现出相对的稳定性。事实上，频率具有稳定性这一事实，说明了刻划事件发生可能性大小的概率具有一定的客观存在性，而且频率的稳定性也正反映出大量随机现象的统计规律性。事实上，频率具有稳
44、定性这一事实，说明了刻划事件发生可能性大小的概率具有一定的客观存在性，而且频率的稳定性也正反映出大量随机现象的统计规律性。基于人们不自觉的共识，人们常用频率基于人们不自觉的共识，人们常用频率(frequency)()fA作为事件作为事件A的概率的一种量度，这样计算的概率称为统计概率，即为计算概率的统计方法；不妨将的概率的一种量度，这样计算的概率称为统计概率，即为计算概率的统计方法；不妨将()fA写作写作()P A，从而“统计概率”满足如下性质：，从而“统计概率”满足如下性质：1【非负性】设【非负性】设A是任一事件，则是任一事件，则()01P A；2【规范性】【规范性】()1P=;3【有限可加性
45、】设事件【有限可加性】设事件12,nA AAL互不相容，则互不相容，则()111nnniiiiiiPAPAP A=U;“统计概率”同样也有理论和应用上的缺陷性，我们没“统计概率”同样也有理论和应用上的缺陷性，我们没 有理由可以这样认为：有理由可以这样认为：1、取试验次数为取试验次数为1n+来计算频率总会比取试验次数为来计算频率总会比取试验次数为n来来 计算频率更准确；计算频率更准确；2、实际情况是，我们不知道试验次数究竟取多大；甚至很实际情况是，我们不知道试验次数究竟取多大；甚至很 难保证：在多次（大量）重复试验时，每次试验的条件完全一样。难保证：在多次（大量）重复试验时，每次试验的条件完全一
46、样。几何概型【等可能概型几何概型【等可能概型 2】几何概率概率的几何定义（计算概率的几何方法）】几何概率概率的几何定义（计算概率的几何方法）在概率论的发展早期，人们就已注意到只考虑随机现象的可能结果只有有穷个是不够的，还需考虑无穷个的情形；事实上，当试验的可能结果无穷多时，当然不能简单地通过样本点的计数来计算概率；如在概率论的发展早期，人们就已注意到只考虑随机现象的可能结果只有有穷个是不够的，还需考虑无穷个的情形；事实上，当试验的可能结果无穷多时，当然不能简单地通过样本点的计数来计算概率；如 12【引例】在区间【引例】在区间()0,1内任取两个数，求事件内任取两个数，求事件A=两数之和小于两数
47、之和小于56和和B=两数之积不小于两数之积不小于163的概率；的概率；归纳这类例子的共同特点，即可以通过空间集合的几何度量（如：长度、面积、体积等）来计算概率。归纳这类例子的共同特点，即可以通过空间集合的几何度量（如：长度、面积、体积等）来计算概率。【几何概型（几何概率）】设试验【几何概型（几何概率）】设试验E的样本空间为某可度量的几何区域的样本空间为某可度量的几何区域，且，且中任一子区域（事件）出现的可能性大小中任一子区域（事件）出现的可能性大小 与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关，则称试验与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关，则称试验E为几何概型。若为几何
48、概型。若A是是中一区域，且中一区域，且A可度量，则定义事件可度量，则定义事件A的概率的概率()()AAP A=的几何度量（的几何度量，其中若，其中若是一维是一维的，二维的或三维的，那么的，二维的或三维的，那么的几何度量分别是长度、面积或体积，称这样定义的概率为几何概率（即计算概率的几何方法）。的几何度量分别是长度、面积或体积，称这样定义的概率为几何概率（即计算概率的几何方法）。由定义，计算概率的几何方法和古典方法类似，也是由一个比值来刻划，只是前者是后者的推广。由定义，计算概率的几何方法和古典方法类似，也是由一个比值来刻划，只是前者是后者的推广。【注】求解几何概型归纳起来一般有如下关联的四个步
49、骤：【注】求解几何概型归纳起来一般有如下关联的四个步骤：1、明确问题的实质，即是否为几何概型；、明确问题的实质，即是否为几何概型；2、明确等可能性的几何元素任何一个几何概型其样本点、明确等可能性的几何元素任何一个几何概型其样本点 都可归纳为具有某种等可能性的几何元素；都可归纳为具有某种等可能性的几何元素；3、用几何区域（如；区间，平面区域，空间区域等）来表、用几何区域（如；区间，平面区域，空间区域等）来表 示样本点数的总和；示样本点数的总和；4、利用初等几何或微积分知识求出样本空间利用初等几何或微积分知识求出样本空间 的几何区的几何区 域的几何度量域的几何度量)(和随机事件和随机事件A的几何区
50、域的几何度量的几何区域的几何度量)(A，最终由几何方法得到，最终由几何方法得到()()AP A=（,即为即为A的（几何）概率。的（几何）概率。【注】通常几何概型大体可分为两类；【注】通常几何概型大体可分为两类；(a)样本空间具有明显的几何意义，这类问题结构简单，易于求得；样本空间具有明显的几何意义，这类问题结构简单，易于求得；(b)样本空间所对应的几何区域没有直接给出，这类问题比较复杂；一般可从代数方法入手，引入适当变量，利用代数和几何的联系找出几何区域，再依几何方法计算概率。样本空间所对应的几何区域没有直接给出，这类问题比较复杂；一般可从代数方法入手，引入适当变量，利用代数和几何的联系找出几