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1、哈师大附中哈师大附中 2021 级高二级高二学年上学年上学期期学期期中考试中考试数学数学学科学科试题试题 答案答案 满分 150 时间：120 分钟 一、选一、选择择题题（共（共 1212 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 6 60 0 分分，1 1 至至 8 8 题是单选题，题是单选题，9 9 至至 1 12 2 题是多选题题是多选题）1双曲线=xy4122的渐近线方程是（A ）A=xy20 B=xy40 C=xy20 D=xy40 2已知圆+=Cxyx:20122，圆+=Cxyy:40222，则这两个圆的位置关系为（C ）A外离 B外切 C相交 D内切 3中国古代数学著作算法统宗
2、中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（C ）A63 里 B126 里 C192 里 D228 里 4已知椭圆+=xy369122与x轴交于点 A，B，把线段 AB分成 6 等份，过每个分点做x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆 C的右焦点，则+=PFP FPFP FPF12345（D ）A20 B15 3 C36 D30 5在等比数列an
3、中，=a811，q2，则a4与a8的等比中项是（A ）A4 B4 C2 D4 6直线l与圆+=xy(2)222相切，且l在x轴y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（B ）A+=xy0 B+=xy2 220 C=xy0 D+=xy40 7某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线=Cya xx:|12与=Cyb cx:|2构成，若 a，b，c 依次成等比数列，则=（C ）A23 B32 C32 D23 8已知双曲线C：=ababxy10,02222)(的右焦点为F，关于原点对称的两点 A、B分别在双曲线的左、右两支上，以 AB为直径
4、的圆恰好过右焦点F，=BFFC3，且点 C在双曲线上，则双曲线的离心率为（B ）A310 B210 C25 D32 3 9（多选多选题题）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线:=2与抛物线 C交于 A，B两点，则（AB ）A抛物线 C的准线方程为=1 B点 F到直线 l 的距离为22 CAOB=2 D|=10 10（多选题多选题）已知等差数列的前 n 项和为，1=1，2=3，=22，的前n 项和为则下列说法正确的是（ABD ）A数列的公差为 2 B=2 C数列是公比为 4 的等比数列 D=4(116)14 11（多选题多选题）在正方体1111ABCDABC D中，,分别是,11的中点
5、，下列说法正确的是（AC ）A四边形1BEDF是菱形 B直线AC与1BC所成的角为4 C直线1AC与平面ABCD所成角的正弦值是33 D平面1ABD与平面ABCD夹角的余弦值是63 12（多选题多选题）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（BD ）A若1+3 0，则1+2 0，则23 0 C若12 0，则(2 1)(2 3)1 0，则1+3 22 二二、填空题、填空题（共（共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 2 20 0 分）分）13抛物线2=8的焦点到准线的距离是_4_.14已知nS是等差数列的前n项和，若2015S=，40=75，则60=_180_ 15数列满足1=
6、1，1=2+121（，2），则=_=2+13_ 16已知点P是椭圆221168xy+=上非顶点的动点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是12FPF的平分线上一点，且10FM MP=，则OM的取值范围是 (0,22)三三、解答题、解答题（共（共 6 6 个题，个题，1 17 7 题题 1 10 0 分，其余各题每题分，其余各题每题 1 12 2 分，共分，共 7 70 0 分）分）17（10 分）已知圆 C：()()221216xy+=，过点()1,3P 且倾斜角为的直线与圆交于A，B两点(1)当135=时，求弦长|的值；(2)当点P为线段AB中点时，求直线AB的方程（1）解
7、：当135=时，则tan1351ABk=此时直线AB方程为：()31yx=+，即20 xy+=故圆心()1,2C到直线 AB的距离122221 1d+=+又4r=，所以2222222 4622ABrd=（2）解：点P为AB中点时，则CPAB，所以1CPABkk?-，其中3211 12CPk=，所以2ABk=所以直线AB方程为()321yx=+，即250 xy+=18（12 分）如图，在直三棱柱 111中，E为1BB的中点，122ABCCBC=(1)证明：1ACC E(2)求平面1与平面11夹角的余弦值 18（1）在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC,AC平面ABC,所以1CCAC，
8、又由题可知，1CC,BC平面11BCC B 且1CC =,所以AC平面11BCC B,又因为1C E平面11BCC B,所以 1.（2）在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC,，平面ABC,所以1CCAC，1CC B,又 所以,1三条直线两两互相垂直 如图所示，以为坐标原点，1,CA CB CC分别为,x y z轴建系如图，由 ，22ABBC=，可得3AC=，则有(3,0,0),(0,1,1),1(0,0,2),(0,1,0),设平面1AEC的一个方向量为(,),mx y z=1=(3,1,1),=(3,0,2)AEAC,所以1=0,=0AE mAC m 即3+=0,3+2=0 x
9、y zxz 令3,z=则23xy=，所以(2,3,3),m=因为AC平面11BCC B,所以(3,0,0)CA=为平面11BCC B的一个法向量，所以,2 310cos=510?3m CAm CAm CA,即平面1与平面11夹角的余弦值等于105.19（12 分）已知双曲线：经过点()2 2,3P，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为 1 的直线 与双曲线相交于A，B两点，当 过双曲线的右焦点时,求弦长|的值.19（1）解：若焦点(),0F c，其到渐近线byxa=的距离231bcadbba=+，又因为双曲线：经过点()2 2,3P，所以28313a=，解得2a=，所以双
10、曲线的方程为22143xy=；（2）解：由（1）知双曲线的右焦点为(7,0)，所以直线 方程为：=7 设点()11,A x y，()22,B xy，联立=732 42=12，得2 87+40=0，=(87)2 4 40 0 所以1+2=87,12=40，从而|=1+(1)2|1 2|=1+(1)2(1+2)2 412=24 所以弦长|的值为 24.20（12 分）已知等差数列中，10=10，17=17，在各项均为正数的等比数列 nb中，12ba=，38ba=(1)求数列与 nb的通项公式；(2)求数列nna b的前 n 项和nT 20（1）设的公差为，则=17101710=1，所以10=1+9
11、 所以1=1所以nan=；设等比数列 nb的公比为q，由题得12b=，238,28,2.bqq=所以12 22nnnb=.所以2nnb=.（2）由题得2nnna bn=.所以121 22 22nnTn=+则()23121 22 2+1 22nnnTnn+=+两式相减得123122222nnnTn+=+()()1121 2=2=1221 2nnnnn+所以()11 22nnTn+=+.21（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，若2219nSnn=.(1)求证：数列 na是等差数列；(2)若nnba=，求数列 nb的前n项和nT 21（1）因为2219nSnn=所以 2时，2212(1)19
12、(1)22321nSnnnn=+由相减可得，421nan=，2n 当1n=时，421nan=也满足题意，故 na的通项公式为：421nan=.所以 2时，1=4(1)21=4 25 所以 2时，1=4总成立 所以数列 na是等差数列.（2）因为|nnba=，所以123|nnTaaaa=+，当4210nan=时，5n；当4210nan=时，6n，由(1)中结论可知，当5n时，212219nnnTaaaSnn=+；当6n 时，2555()221990nnnTSSSSSnn=+=+，从而22219,521990,6nnn nTnnn+=+.22.(12 分)已知平面内的两点 A(0，22)，B(0，
13、22)，过点 A 的直线 l1与过点 B 的直线 l2相交于点 C，若直线 l1与直线 l2的斜率乘积为12，设点 C 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)设 P 是 E 与 x 轴正半轴的交点，过 P 点作两条直线分别与 E 交于点 M，N，若直线PM，PN 斜率之积为2，求证：直线 MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.化为 y2812x2，即为216281(x0).解：(1)设 C(x，y)，由直线 l1与直线 l2的斜率乘积为12，可得 kAC kBC22022012，(2)证明：设直线 MN：xtym，则，22216(tym)22y216，即(t22)y22tmym2160，设 M(ty1m，y1)，N(ty2m，y2)，而 P(4，0)，y1y2222，y1 y221622，则由 kPM kPN4，得1142242y1y22(ty1m4)(ty2m4)0，则(12t2)y1y22t(m4)(y1y2)2(m4)20，即(12t2)216222t(m4)(222)2(m4)20，整理得（5m-12）(m-4)0，解得 m125或 m4(舍去)，所以直线 MN：xty125，知直线 MN 恒过点(125，0).