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1、- 1 -第六节第六节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点。2015，全国卷，18,6 分(直接证明)2015，江苏卷，23,10 分(反证法)2014，山东卷，4,5 分(反证法)直接证明与间接证明常以函数、不等式、数列、解析几何等为背景考查，题型以解答题为主。微知识 小题练自|主|排|查1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻
2、求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2 QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后- 2 -得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。微点提醒 1分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件。2综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法。3用反证法证题时，首先否定
3、结论，否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 22P89练习 T2改编)若P，Q(a0)，则P，Qa6a7a8a5的大小关系是( )APQ BPQCPQ，只需P2Q2，即 2a1322a132a6a7，只需a213a42a213a40。因为 4240 成立，所以PQ成立。故a8a5选 A。【答案】 A2(选修 22P90 例 5 改编)用反证法证明命题“a，bN N，ab可被 5 整除，那么a，b中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( )Aa，b都能被 5 整除Ba，b都不能被 5 整除C
4、a，b不都能被 5 整除Da不能被 5 整除【解析】 “a，b至少有一个能被 5 整除”的否定是“a，b都不能被 5 整除” 。故选B。【答案】 B二、双基查验1用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的( )A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 由题意可知，应有，故是的必要条件。故选 B。【答案】 B2如果abab，则实数a，b应满足的条件是( )abba- 3 -Aab0 Bab Da0，b0，且ab【解析】 (ab)(ab)(ab)()0，a0，b0，且ab。abbaab故选 D。【答案】 D3设a，b，c都是正数，则a ，b ，c 三个数( )1 b1 c1 a
5、A都大于 2B都小于 2C至少有一个不大于 2D至少有一个不小于 2【解析】 因为(a1 b) (b1 c) (c1 a)6，(a1 a) (b1 b) (c1 c)当且仅当abc时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。【答案】 D4用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为 180矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90。正确顺序的序号排列为_。【解析】 由反证法证明的步骤知，先反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为。故
6、填。【答案】 5命题“a，b是实数，若|a1|(b1)20，则ab1” ，用反证法证明时应假设_。【解析】 ab1 表示a1 且b1，故其否定是a1，或b1。故填a1，或b1。【答案】 a1，或b1微考点 大课堂考点一 分析法【典例 1】 已知函数f(x)3x2x，求证：对于任意的x1，x2R R，均有- 4 -f。fx1fx2 2(x1x2 2)【证明】 要证明f，即证明fx1fx2 2(x1x2 2)32，3x12x13x22x2 2x1x2 2x1x2 2因此只要证明(x1x2)3(x1x2)，3x13x2 2x1x2 2即证明3，3x13x2 2x1x2 2因此只要证明，3x13x2
7、23x13x2由于x1，x2R R，所以 3x10,3x20，由基本不等式知显然成立，故原结论成立。3x13x2 23x13x2反思归纳 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。【变式训练】 已知a0，求证： a 2。a21 a221 a【证明】 要证 a 2，a21 a221 a只要证 2a 。a21 a21 a2a0，故只要证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a24 4a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只要证 2 ，a21 a22(a
8、1 a)只要证 42，即a22，(a21 a2)(a221 a2)1 a2而上述不等式显然成立，故原不等式成立。考点二 综合法【典例 2】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1。- 5 -(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b。2 3【证明】 (1)由已知得 sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为 sinB0，所以 sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列。(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b20，所以2 3 ，即 5a3b。a
9、b3 5反思归纳 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。【变式训练】 已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函1 21 3数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)。【解析】 (1)f(x)，g(x)bxx2，1 1x由题意得Error!解得a0，b1。(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)。1 31 2
10、h(x)x2x1。1 x1x3 x1h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)。【答案】 (1)a0，b1 (2)见解析考点三 反证法【典例 3】 设an是公比为q的等比数列。(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列。【解析】 (1)分两种情况讨论。- 6 -当q1 时，数列an是首项为a1的常数数列，所以Sna1a1a1na1。当q1 时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan。上面两式错位相减：(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qan
11、Sn。a1qan 1qa11qn 1q综上，SnError!(2)使用反证法：设an是公比q1 的等比数列，假设数列an1是等比数列，则(a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得a1(q1)20 得a10 或q1 均与题设矛盾，故数列an1不是等比数列。【答案】 (1)SnError!(2)见解析反思归纳 (1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多” 、 “至少” 、 “唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证。(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。【变式
12、训练】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393。22(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn (nN N*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。Sn n【解析】 (1)由已知得Error!d2，故an2n1，Snn(n)。22(2)证明：由(1)得bnn。Sn n2假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p、q、rN N*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr。2q即(q)2(p)(r)。222(q2pr)(2qpr)0。2p，q，rN N*，Error!2pr，(pr)20，pr。(pr 2)与pr矛盾。所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列
13、。- 7 -【答案】 (1)an2n1，Snn(n)22(2)见解析- 8 -微考场 新提升1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( )A充分条件 B必要条件C充要条件 D等价条件答案 A2若a0，b0，且ab4，则下列不等式中恒成立的是( )A. B. 11 ab1 21 a1 bC.2 D.ab1 a2b21 8解析 a2b22ab，2(a2b2)(ab)216。a2b28， 。1 a2b21 8答案 D3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，
14、b，c都是偶数答案 B4已知a，b，c为互不相等的非负数。求证：a2b2c2()。abcabc证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又a，b，c为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“” 。a2b2c2abbcac。abbc2，bcac2，ab2cabc2abac2，a2bc又a，b，c为互不相等的非负数，abbcac()。abcabca2b2c2()。abcabc- 9 -5设数列an满足a10 且1。1 1an11 1an(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snbk，证明：Sn1。1an1nn k1解析 (1)由题设1，1 1an11 1an得是公差为 1 的等差数列。1 1an又1，故n。所以an1 。1 1a11 1an1 n(2)证明：由(1)得bn，1an1nn1nn1n1n1n1Snbk11。n k1n k1(1k1k1)1n1答案 (1)an1 (2)见解析1n