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1、- 1 -第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。2016，山东卷，9,5 分(函数的奇偶性、周期性)2016，四川卷，14,5 分(函数的奇偶性、周期性)2015，全国卷，13,5 分(函数的奇偶性)2014，全国卷，15,5 分(函数的奇偶性、单调性)2014，全国卷，3,5 分(函数的奇偶性)1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起交汇命题；2.
2、题型多以选择题、填空题形式出现，一般为容易题，但有时难度也会很大。微知识 小题练自|主|排|查1函数的奇偶性奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。- 2 -(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。微点提醒 1
3、函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)。(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性。(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)。(2)若f(xa)，则T2a(a0)。1 fx(3)若f(xa)，则T2a(a0)。1 fx小|题|快|练一 、走进教材1(必修 1P39A 组 T6改编)已知函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)x2 ，则f(1)等于( )
4、1 xA2 B0 C1 D2【解析】 f(1)f(1)(11)2。故选 A。【答案】 A2(必修 1P39A 组 T6改编)已知f(x)是定义域为 R R 的偶函数，当x0 时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)0 的x的取值范围是_。【解析】 由f(x)是奇函数知，f(x)的图象如图所示，f(x)0 的x的取值范围为(1,0)(1，)。【答案】 (1,0)(1，)- 5 -微考点 大课堂考点一 函数奇偶性的判断【典例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；1x2x21(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；4x2|x3|3(4)f(x)(x1) ，x(1,1)。1x 1x【解析】
5、 (1)因为由Error!得x1，所以f(x)的定义域为1,1。又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)。所以f(x)既是奇函数又是偶函数；(2)因为f(x)的定义域为 R R，所以f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数；(3)因为由Error!得2x2 且x0。所以f(x)的定义域为2,0)(0,2，所以f(x)，4x2|x3|34x2x334x2x所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数；(4)已知f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称。因为f(x)(x1) ，1x 1x1x1x所以f(x)f(x)。1x1x即f(x)f(x)，所以f(
6、x)是偶函数。【答案】 (1)既是奇函数又是偶函数 (2)奇函数(3)奇函数 (4)偶函数- 6 -反思归纳 判断函数的奇偶性要注意两点：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。2判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立。【变式训练】 (2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ayxex Byx1 xCy2x Dy1 2x1x2【解析】 函数yxex的定义域为 R R，关于原点对称，因为f(1)1e，f(1)1 ，所以函数yxex既不是
7、奇函数，也不是偶函数；函数yx 的定义域为1 e1 xx|x0，关于原点对称，因为f(x)x f(x)，所以函数yx 是1 x(x1 x)1 x奇函数；函数f(x)2x的定义域为 R R，关于原点对称，因为f(x)1 2x2x2xf(x)，所以函数f(x)2x是偶函数；函数y的定义域为1 2x1 2x1 2x1x2R R，关于原点对称，因为f(x)f(x)，所以函数y是偶1x21x21x2函数。故选 A。【答案】 A考点二 函数周期性的应用母题发散【典例 2】 设定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 016
8、)_。【解析】 f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2。又当x0,2)时，f(x)2xx2，所以f(0)0，f(1)1，所以f(0)f(2)f(4)f(2 016)0，f(1)f(3)f(5)f(2 015)1。故f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】 1 008【母题变式】 1.若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)” ，则结论如何？【解析】 f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)。故函数f(x)的周期为 2。- 7 -由本典例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】 1 0082若将“f(x2)f(x)”
9、改为“f(x1)” ，则结论如何？1 fx【解析】 f(x1)，1 fxf(x2)f(x1)1f(x)。1 fx1故函数f(x)的周期为 2。由本典例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】 1 008反思归纳 1判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ Z 且k0)也是函数的周期。【拓展变式】 (2016四川高考)已知函数f(x)是定义在 R R 上的周期为 2 的
10、奇函数，当0 ，即 logx 或 logx2，所以满足不等式f(logx) 时，ff。则f(6)( )1 2(x1 2)(x1 2)A2 B1C0 D2【解析】 由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当x 时，f(x1)f(x)，1 2所以f(6)f(511)f(1)。而f(1)f(1)(1)312，所以f(6)2。故选 D。【答案】 D角度三：已知函数奇偶性求参数值【典例 5】 (2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则ax2a_。【解析】 解法一：因为yx是奇函数，要使f(x)为偶函数，只需g(x)ln(x)为奇函数，则有g(0)ln0，解得a1。ax2a解法二：由题
11、意知yln(x)是奇函数，所以 ln(x)ln(x)ax2ax2ax2ln(ax2x2)lna0，解得a1。【答案】 1反思归纳 函数奇偶性的问题类型及解题思路1函数单调性与奇偶性结合。注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。2周期性与奇偶性结合。此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。3已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，利用f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。【变式训练】 (1)若f(x)是 R R 上周期为 5 的奇函数，且满足f
12、(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于( )A1 B1C2 D2- 9 -(2)定义在 R R 上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1 对于xR R 恒成立，且f(x)0，则f(119)_。(3)若f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又有f(3)0，则xf(x)0 的解集是_。【解析】 (1)由f(x)是 R R 上周期为 5 的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，所以f(3)f(4)1。故选 A。(2)因为f(x2)，1 fx所以f(x4)f(x22)f(x)，1 fx2所以f(x)为周期函数，且周期为 4，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(
13、x)，所以f(119)f(2943)f(3)f(34)f(1)f(1)，又因为f(12)，1 f1所以f(1)f(1)1即f2(1)1，因为f(x)0，所以f(1)1，所以f(119)1。(3)由题意可得，函数f(x)在(，0)上是增函数，且f(3)f(3)0，函数的单调性示意图如图所示，由不等式xf(x)0 可得，x与f(x)的符号相反，结合函数f(x)的图象可得，不等式的解集为(3,0)(0,3)。【答案】 (1)A (2)1 (3)(3,0)(0,3)- 10 -微考场 新提升1设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()( )2A B.1 21 2C2 D2解析
14、 因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()log2 。故选 B。2221 2答案 B2函数f(x)lg|sinx|是( )A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 2 的偶函数解析 f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|，函数f(x)为偶函数。f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|，函数f(x)的周期为 。故选 C。答案 C3(2016深圳一调)已知函数f(x)是 R R 上的偶函数，g(x)是 R R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(3)2，则f(2 015)的值为( )A2 B0C2 D2解析 f(x)是 R R 上的
15、偶函数，g(x)是 R R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，g(x)f(x1)f(x1)g(x)f(x1)。即f(x1)f(x1)。f(x2)f(x)。f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)。函数f(x)是周期函数，且周期为 4。f(2 015)f(3)2。故选 A。答案 A4函数f(x)在 R R 上为奇函数，且x0 时，f(x)1，则当x0 时，f(x)1，x当x0，f(x)f(x)(1)，x即x0 时，f(x)(1)1。xx答案 1x5设定义在 R R 上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当 0x1 时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_。(1 2)(3 2)(5 2)解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为 2，ff(1)ff(2)f(1 2)(3 2)(5 2)ff(1)ff(0)f(1 2)(1 2)(1 2)ff(1)ff(0)f(1 2)(1 2)(1 2)ff(1)f(0)(1 2)2 12112011 2。2答案 2